觀數(shù)列命題方向 做引航科學(xué)備考

余榮華

(福建省清流縣第一中學(xué) 365300)

數(shù)列的的考查是高考的必考點(diǎn)，也是熱點(diǎn)內(nèi)容，考查類型涵蓋選擇、填空及解答題.在復(fù)習(xí)備考時(shí)應(yīng)熟練掌握并運(yùn)用等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本公式和重要性質(zhì).只有這樣才能做到知彼知己，百戰(zhàn)百勝.本文主要就數(shù)列問題展開討論，通過例題展示，對(duì)各類考題破題方法進(jìn)行總結(jié)，望能夠給讀者帶來幫助.

一、數(shù)列的基本運(yùn)算

例1(2019重慶期中)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a3+a7=10，S7=14，則數(shù)列{an}的公差為( ).

A.1 B.2 C.3 D.4

點(diǎn)評(píng)等差數(shù)列的基本運(yùn)算方法

(1)等差數(shù)列的某一項(xiàng)可以根據(jù)首項(xiàng)a1和公差d來確定，因此等差數(shù)列的基本量問題可以圍繞著首項(xiàng)和公差來展開.

(2)對(duì)于等差數(shù)列問題，一般題目中會(huì)給出兩個(gè)以上條件，則可以利用方程思想，建立方程進(jìn)行破解.

二、數(shù)列的性質(zhì)

A.2 B.4 C.8 D.16

點(diǎn)評(píng)對(duì)于數(shù)列的性質(zhì)問題，要做到熟記數(shù)列中相關(guān)的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，熟練掌握等差或等比數(shù)列的性質(zhì)，另外還需要注意題目中的隱含條件，如“遞增數(shù)列”、“各項(xiàng)均為正”.

三、數(shù)列的證明

例3 (2019廣西省南寧市第二次適應(yīng)性考試)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an+1=Sn+n+1(n=1,2,3,…)，a1=1.

(1)求證：{an+1}為等比數(shù)列；

(2)數(shù)列{an}中是否存在不同的三項(xiàng)，適當(dāng)排列順序后構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列？并說明理由.

解析(1)證明：

因?yàn)閍n+1=Sn+n+1(n=1,2,3,…)，①

所以an=Sn-1+n(n≥2).②

(2)不存在.

理由如下：由(2)得an=2n-1.

假設(shè)能得到一個(gè)等差數(shù)列，不妨設(shè)滿足條件的3項(xiàng)為ar，as，at，則2·(2s-1)=2r-1+2t-1，即2s+1=2r+2t.所以2r-s-1+2t-s-1=1，因?yàn)閧an}是遞增數(shù)列，則r-s-1≥0，t-s-1≥0中必有一個(gè)成立.則2r-s-1+2t-s-1>1與2r-s-1+2t-s-1=1矛盾，所以數(shù)列{an}中不存在不同的三項(xiàng)，適當(dāng)排列順序后構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列.

點(diǎn)評(píng)等比數(shù)列的判定與證明

③通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證：an=abn(a≠0,b≠0).

④前n項(xiàng)和公式法：驗(yàn)證：Sn=a·bn-a(a≠0,b≠0,b≠1)．

四、數(shù)列的求和問題

例4 (2019廣東一模)已知公差不為零的等差數(shù)列{an}滿足a1=5且a3,a6,a11成等比數(shù)列．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)bn=an·3n-1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．

化簡(jiǎn)得：Sn=(n+1)3n-1．

點(diǎn)評(píng)用錯(cuò)位相減法求和的3個(gè)注意事項(xiàng)

(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn-qSn”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解．

五、數(shù)列的綜合問題

點(diǎn)評(píng)數(shù)列作為一類特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)而不是某個(gè)區(qū)間上的連續(xù)實(shí)數(shù)，所以它的圖象是一群孤立的點(diǎn).若題中已知函數(shù)條件解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題；若已知數(shù)列條件解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的有關(guān)公式與求和技巧等.

六、數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化

例6 朱世杰是中國歷史上偉大的數(shù)學(xué)家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數(shù)”五問有如下問題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉(zhuǎn)多七人.”其大意為“官府陸續(xù)派遣1864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從第二天開始每天派出的人數(shù)比前一天多7人.”在該問題中的1864人全部派遣到位需要的天數(shù)為( ).

A.9 B.16 C.18 D.20

點(diǎn)評(píng)對(duì)于等差數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化問題，首先要能夠?qū)㈩}目中所給的數(shù)學(xué)文化問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列問題，再根據(jù)等差數(shù)列知識(shí)進(jìn)行求解.另外，該類試題除直接給出古代數(shù)學(xué)文化問題進(jìn)行命題的形式外，有時(shí)還會(huì)以古代數(shù)學(xué)思想為載體進(jìn)行命題(如：以格點(diǎn)問題為背景)或根據(jù)世界名題進(jìn)行命題(如：哥德巴赫猜想，角谷猜想，四色定理).