極限思維法在高中物理解題中的有效應(yīng)用

許奇龍

(浙江省龍游縣第二高級(jí)中學(xué) 324400)

一、運(yùn)用極限思維法攻克解題難點(diǎn)

例1現(xiàn)有一輛小推車，利用一根穿過定滑輪的繩索來搬運(yùn)物體，將物體從低處移動(dòng)到高處，如圖1所示，現(xiàn)將繩索記為PQ，物體質(zhì)量記為m.已知繩索PQ的P端固定在小車末尾的掛鉤上，而Q端則與物體接觸，固定物體，忽略繩索在拉動(dòng)物體時(shí)的長度變化，同時(shí)繩索的質(zhì)量、定滑輪的質(zhì)量和尺寸以及繩索與滑輪之間存在的摩擦都不進(jìn)行考慮.在初始階段，小車處于A點(diǎn)，左側(cè)以及右側(cè)的繩索都已固定且處于豎直、繃緊狀態(tài)，記A點(diǎn)的小車的繩索的長度為H，在拉升物體的過程中，小車處于加速狀態(tài)且向左側(cè)水平運(yùn)動(dòng)，從A點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng).設(shè)A點(diǎn)與B點(diǎn)之間的距離也恰好是H，且小車經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度為vB，試求：小車由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程中繩索的拉力對(duì)物體所作的功.

根據(jù)圖1可以得出繩索的速度v從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)再向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，繩索的速度v會(huì)隨著角度θ發(fā)生變化而出現(xiàn)相應(yīng)的變化，因此在對(duì)小車由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)所具有的即時(shí)速度大小vt的思考過程中，就可以從B點(diǎn)向外推到兩個(gè)理想性極限值來進(jìn)行考察和推斷.在A點(diǎn)時(shí)，θ=90°，繩索的速度v=0，而當(dāng)小車運(yùn)動(dòng)到無限遠(yuǎn)時(shí)，可以認(rèn)為θ=0°，而此時(shí)的繩索的速度則逐漸由A點(diǎn)的速度v=0增大到和小車速度一致.那么就可以認(rèn)為從A點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到無窮遠(yuǎn)處的過程中的繩索速度的改變規(guī)律是滿足關(guān)系v=v車cos90°=0的.進(jìn)行驗(yàn)證：在A處，v=v車cos90°=0；在無窮遠(yuǎn)處，v=v車cos90°=v車，故成立.因此，就可以在B點(diǎn)應(yīng)用關(guān)系式v=vBcosθ.而由于vt=v，就可以推出小車在到達(dá)B點(diǎn)時(shí)相應(yīng)的物體的速度為vt.而在得出小車由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，物體所具備的即時(shí)速度的大小vt后，本題的突破口就已經(jīng)找到，難點(diǎn)就已經(jīng)解決了，繩索的拉力對(duì)物體所做的功的大小的計(jì)算自然也就迎刃而解了.

以質(zhì)量為m的物體作為研究對(duì)象，根據(jù)動(dòng)能定理就可得出：

即繩索的拉力對(duì)物體所做的功

二、運(yùn)用極限思維法探求解題方向

例2現(xiàn)有兩個(gè)高度相同的光滑斜面，記為甲、乙.斜面乙和斜面甲是總長度一致，但是斜面乙是由兩部分拼接而成的，如圖2所示.現(xiàn)有兩個(gè)完全相同的小球，將它們分別從兩個(gè)斜面的頂端釋放，小球與接觸處的能量損失忽略不計(jì)，問：斜面甲和斜面乙上釋放的小球哪一個(gè)會(huì)先到達(dá)底端？

解析首先設(shè)斜面甲的長度為L，斜面乙長度與甲相等，因此也為L.對(duì)斜面甲來說，小球運(yùn)動(dòng)到斜面底端所花費(fèi)的時(shí)間直接用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式就可以求得，

對(duì)斜面乙來說，由于題干信息不足，因此無法利用常規(guī)方法直接求得小球運(yùn)動(dòng)到底端的時(shí)間.在這里，就可以利用極限思維法進(jìn)行思考和分析.從斜面乙的兩部分所成夾角的連續(xù)性變化出發(fā)，可以得到夾角的變化范圍為90°-180°，那么斜面甲就可以視為是斜面乙的理想極限值，即180°.繼續(xù)外推斜面乙到另一個(gè)理想極限值90°，如圖3所示，在90°斜面的情況下小球運(yùn)用到底部所花費(fèi)的時(shí)間就可以分為兩部分來進(jìn)行計(jì)算，即AB段以及BC段.

因此小球運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t乙′為

因?yàn)長>h，所以t甲>t乙′.

又因?yàn)樵趫D2中斜面乙的折角為90°-180°，因此小球沿斜面乙滑行的時(shí)間t乙滿足t甲>t乙>t乙′.故斜面乙上的小球先滑到底端.

總而言之，面對(duì)物理題時(shí)，學(xué)生可以嘗試?yán)脴O限思維方法來進(jìn)行解題，極限思維法能夠有效地攻克解題難點(diǎn)，幫助學(xué)生快速找到解題方向.同時(shí)，極限思維法能夠做到另辟蹊徑，化繁為簡，化難為易，其特殊性也使得學(xué)生在解題時(shí)的解題效率能夠得到極大的提升.