求積公式坐標(biāo)化優(yōu)化解題的思維

2021-01-12 10:09:44田耀祖

數(shù)理化解題研究 2020年34期

田耀祖

(甘肅省通渭縣第二中學(xué) 743300)

面積、體積是高中數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)題型.此類問(wèn)題的解答，通常利用給定的面積、體積公式，若給定圖形的點(diǎn)的坐標(biāo)，則如何求其面積或體積呢？除了化歸于公式求解，是否能將面積與體積由點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)公理化呢？經(jīng)過(guò)筆者的深入思考、探究、嘗試，終有一份收獲.

定理1在平面內(nèi)，已知△ABC，若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),則△ABC的面積

設(shè)x′=x2-x1,y′=y2-y1,x″=x3-x1,y″=y3-y1,

∵x′=x2-x1,y′=y2-y1,x″=x3-x1,y″=y3-y1，

記|x1y2+x2y3+x3y1-x2y1-x3y2-x1y3|

定理2 在空間內(nèi)，已知△ABC，若A(x1,y1z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),則△ABC的面積

定理2的證明方法與定理1的很相似，只是將二維變?cè)D(zhuǎn)化為三維變?cè)涂梢粤?在此定理2的證明過(guò)程簡(jiǎn)略.

推論在空間中，已知四面體ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),D(x4,y4,z4),那么四面體ABCD體積

上述坐標(biāo)形式的求積公式，體現(xiàn)了頂點(diǎn)坐標(biāo)與面積、體積的直接關(guān)系，并且此公式在形式上充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的完美性、對(duì)稱性.在內(nèi)容上充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)捷性，規(guī)律性.更重要的是此公式在解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)表現(xiàn)出它優(yōu)異的本色，能優(yōu)化解題思維.下面舉例說(shuō)明它的應(yīng)用.

一、解面(體)積的問(wèn)題

圖1

解如圖1所示,不等式組表示的平面區(qū)域是三角形ABC.而A,B,C點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(0,2),B(2,0),C(2,4).

因此，答案是B.

二、解最值問(wèn)題

因此,答案為D.

例3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩不同動(dòng)點(diǎn)A,B滿足OA⊥OB.

△ABO的面積是否存在最小值?若存在，請(qǐng)求出最小值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

所以，△ABO的面積

∵k>0,

∴S≥1.

因此，△ABO面積S是存在的且最小值是1.

三、解共線、共面問(wèn)題

例4已知A(3,-6),B(-5,2),C(6,y)三點(diǎn)共線，則y=____.

解∵A,B,C三點(diǎn)共線,

即|3×2+(-5)×y+6×(-6)-(-5)×(-6)-6×2-3×y|=0.

圖2

例5如圖，已知ABCD-A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為3的正方體，點(diǎn)E在AA1上，點(diǎn)F在CC1上，且AE=FC1=1，

求證：E,B,F,D1四點(diǎn)共面.

證明建立如圖2所示的坐標(biāo)系，則E,B,F,D1的坐標(biāo)如下：

E(0,3,1),B(3,3,0),F(3,0,2),D1(0,0,3).

∴E,B,F,D1四點(diǎn)共面.

四、解點(diǎn)到平面距離的問(wèn)題

圖3

例6在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，BB1的中點(diǎn)，G為棱A1B1上的一點(diǎn)，且A1G=λ(0≤λ≤1)．則點(diǎn)G到平面D1EF的距離為( ).

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