小物和小理的物理對話錄(82)
——從勻變速直線運動的函數圖象說起

◇ 北京 何 龍 劉亞英 孟衛(wèi)東(特級教師)

前言:小物和小理是兩名普通的高中生,他們酷愛物理,在學習物理的過程中,小物經常向小理提出許多刁鉆而有趣的物理問題,了解他們的故事也能讓你的物理達到新的高度.

1 對話錄

小物:小理小理!可算找到你了!

小理:怎么了?跑得氣喘吁吁的.

小物:我想跟你吐槽一下,最近的物理課越來越不“物理”了!

小理:不會吧?我覺得挺好的呀.

小物:你沒發(fā)現最近物理課都變成數學課了嗎?一會兒函數圖象,一會兒圖象斜率,甚至還得搞清楚坐標軸截距的物理意義!聽得我云里霧里……

小理:哈哈,數理不分家!你自己不也說了嘛,我們要弄清楚其中的物理意義.

小物:但我就是感覺怪怪的,物體運動就運動,我們去找它的運動規(guī)律就好了,畫圖、求斜率什么的感覺毫不相干啊.

小理:你要這么說,我就得批評一下你的態(tài)度了,我們學習的最終目的是解釋我們看到的現象,解決我們遇到的問題,創(chuàng)造我們想要的事物.數學、物理這些學科只不過是知識領域相對獨立而已,在面對問題時,不同的學科知識都要為我所用.

小物:你說得對……

小理:而且,數學是描述物理規(guī)律、解決物理問題的有效工具,我們需要用函數表達式描述不同物理量的作用關系,實驗得到的不同函數圖象可以極大地方便我們去分析現象背后蘊含的物理規(guī)律.

小物:你說得太籠統(tǒng)了,我不太明白.這樣吧,我們剛學了勻變速直線運動的相關內容,里面有好多函數圖象的分析我弄不太清楚,你能用它來解釋一下嗎?

小理:好,那咱們就用事實說話!

2 小理的解釋

物理學中的函數圖象有著雙重身份,它既是數學上對變量函數關系的圖形化展示,又是真實物理過程中某種規(guī)律的表征.如圖1所示,同樣都是對勻加速直線運動的圖形化描述,選取作為描述主體的物理量不同,圖象結構也不同,我們不妨來做一下簡單分析.讀圖的第一步一定是弄清楚坐標軸分別代表哪些物理量,然后再做進一步分析.

圖1 勻加速直線運動的不同函數圖象表示方式

在圖1中,三幅圖的橫軸均為時間t,縱軸分別為加速度a、速度v和位移x.由于縱軸物理量只有正負,所以我們可以判斷該圖只能描述一維運動情境,而物理量的正負則表示該矢量的方向,并不代表大小關系.在圖1-甲中,隨著時間的推移加速度始終恒定;在圖1-乙中圖象是一條傾斜的直線,斜率保持恒定,并且我們可以讀到當t＝0時,物體的初速度為v0;而圖1-丙則是一條曲線,單靠目測無法判定其函數特征.此外,利用微分思想我們還可以知道,圖1-甲中函數圖象與時間軸所圍圖形的面積表示對應時間段內速度的變化量;圖1-乙中函數圖象與時間軸所圍圖形的面積則表示對應時間段內位移的變化量.

或許你會有疑問,為什么不提圖1-丙中函數圖象與時間軸所圍圖形的面積呢?它有什么具體的物理意義嗎?其實,當你提出這個問題,就已經開始嘗試區(qū)分物理與數學的關系了.從數學上當然可以求解圖1-丙中的面積大小,但那并沒有實際的物理意義.要說清楚這件事,我們需要先區(qū)分一下位矢和位移.

簡單來說,位移和位矢都是矢量,但二者是兩個不同的概念,只不過在高中階段我們并不對其做嚴格區(qū)分.如圖2所示,位矢是在某一時刻,以坐標原點為起點,以運動質點所在位置為終點的有向線段,如OA、OB,它們對應于時間軸上的一點.而位移則是在一段時間內,從質點的初始位置指向末位置的有向線段,如AB,對應的是一段時間.這樣我們不難分辨出,圖1-丙中描述的是一段時間內位移演化過程,已經包含了隨時間的積累.如果再求其函數圖象與時間軸所圍圖形的面積,就是位移與時間的乘積關系,在物理學中并沒有物理量與之對應.反觀a-t圖象和v-t圖象,在極短時間內有Δv＝aΔt和Δx＝vΔt關系存在,就從物理上為數學函數圖象的涵蓋面積找到了實際意義.

圖2 位移與位矢

自然界中有著各種各樣的物理現象和物理過程,函數圖象等數學工具,包括我們定義的各種物理量,都是我們描述問題、解決問題的人造工具.“工欲善其事,必先利其器”,好的工具會幫助我們更便捷地達成所求.我們要學會選擇“學科工具”,以便見微知著,從不同的工具表現形式探究其背后的物理規(guī)律.