多種形式　多元表征　多樣推理

倪小紅

摘 ?要：推理能力的培養(yǎng)應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，特別是在計(jì)算數(shù)學(xué)中。然而，如何有效地培養(yǎng)學(xué)生在表內(nèi)乘法中的推理能力，是一個(gè)值得思考的數(shù)學(xué)問題。筆者通過自身的教學(xué)實(shí)踐，以表內(nèi)乘法的六類知識(shí)為教學(xué)載體，以學(xué)生自主參與的手段，借助數(shù)形結(jié)合，各種直觀模型讓學(xué)生參與算法的探討過程，幫助學(xué)生理解算理，培養(yǎng)學(xué)生的類比推理、演繹推理、歸納推理等推理能力，增加學(xué)生學(xué)習(xí)乘法計(jì)算的興趣。

關(guān)鍵詞：表內(nèi)乘法;推理能力

一、緣起

在學(xué)生眼中，乘法計(jì)算大多是枯燥的，只要會(huì)算，算得快，算的對(duì)就夠了。教師在實(shí)際教學(xué)中常常忽視推理思想的滲透，也不知如何把握算理理解的方式和時(shí)機(jī)，想面面俱到卻往往顧此失彼。針對(duì)師生對(duì)于乘法計(jì)算教學(xué)理解上的誤區(qū)和不足，我們就需要加強(qiáng)在乘法計(jì)算教學(xué)中滲透推理思想，建立學(xué)生的推理能力。

“推理能力的培養(yǎng)應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活經(jīng)常使用的思維方式。”這是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2011版》對(duì)推理能力的要求。它貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)內(nèi)容中，即圖形與幾何、數(shù)與代數(shù)、統(tǒng)計(jì)與概率及綜合實(shí)踐等所有內(nèi)容，都是培養(yǎng)推理能力的載體。人教版二年級(jí)上冊(cè)《表內(nèi)乘法（一）》和《表內(nèi)乘法（二）》這兩個(gè)單元中多處體現(xiàn)了對(duì)推理能力的重視，并安排了專門的教學(xué)例題和大量的習(xí)題來培養(yǎng)學(xué)生在表內(nèi)乘法中的推理能力。

下圖內(nèi)容為課本教學(xué)例題，8的乘法口訣的編排充分利用了學(xué)習(xí)7的乘法口訣的思路，旨在喚起學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，利用知識(shí)的類比推理，自主圖1探索8的乘法口訣。

這樣的類比推理一般學(xué)生都能理解。在背誦口訣的同時(shí)，思考口訣間的聯(lián)系，自然而然能將口訣記得更深，更熟。重視這樣的推理過程既能解釋口訣的合理性，又能加強(qiáng)對(duì)口訣的感性認(rèn)識(shí)和理解。在備課時(shí)，教材的每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)在提出之前都進(jìn)行該知識(shí)的合理性或產(chǎn)生必然性的思維準(zhǔn)備，在教學(xué)中要充分展現(xiàn)推理和推理過程，并在黑板上演示出來，讓學(xué)生一起模仿，加強(qiáng)師生互動(dòng)，逐步培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力。

1討論：等號(hào)兩邊為什么能相等？

教師有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生，在填符號(hào)時(shí)，喚起已有的乘法意義學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，不僅從數(shù)據(jù)特征入手，還應(yīng)抓住等式的特征展開教學(xué)。

如36和18是大數(shù)，6和9是小數(shù)，要使等式成立，小數(shù)必須是相乘才能使得數(shù)變大。再觀察36和18的共同點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)他們都是6的乘法口訣或是9的乘法口訣。如果從6出發(fā)（圖5）：等式左邊的36表示6個(gè)6相加，18表示3個(gè)6相加，等式右邊的6×9表示9個(gè)6相加，可想而知，6個(gè)6加上3個(gè)6才等于9個(gè)6，即36+18=6×9?；蚴菑?出發(fā)（圖6）：等式左邊的36表示4個(gè)9相加，18表示2個(gè)9相加，等式右邊的6×9表示6個(gè)9相加，所以4個(gè)9加上2個(gè)9才等于6個(gè)9，也能說明36+18=6×9。

在上面計(jì)算的教學(xué)中，我主要從以下方面入手：結(jié)合具體計(jì)算類型，運(yùn)用畫圖等策略引導(dǎo)學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上構(gòu)建數(shù)學(xué)等式。在教學(xué)中可以先放手讓學(xué)生用自己喜歡的方法嘗試，再將抽象難懂的文本信息轉(zhuǎn)化為形象易懂的圖畫信息，幫助學(xué)生直觀地理清信息之間的關(guān)系;并對(duì)各種解題策略進(jìn)行分析與比較，突出了畫圖整理信息的優(yōu)越性。在理解的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生通過自己的探索，從而獲得了解題方法，最后構(gòu)建起數(shù)學(xué)等式。在構(gòu)建數(shù)學(xué)等式的過程中不斷強(qiáng)化學(xué)生的推理能力。

2.等差數(shù)列中的推理

張景中院士認(rèn)為：“計(jì)算和推理是相通的，計(jì)算要有方法，這方法里就體現(xiàn)了推理，即寓理于算的思想;計(jì)算是具體的推理，推理是抽象的計(jì)算?！庇?jì)算的具體推理，一定意義上就是算理的理解。

（1）多種方式理解算理

在這節(jié)課中，我們主要采取了以下方式幫助學(xué)生更好地理解算理。

① 聯(lián)系舊知

在理解“等差數(shù)列求和”的計(jì)算原理時(shí)，要以學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，即加

法與乘法的聯(lián)系、乘法的意義為基礎(chǔ)，讓學(xué)生理解“能寫成乘法算式的條件是什么”“如何把等差數(shù)列轉(zhuǎn)化為乘法算式”，從而將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通。

② 直觀模型

直觀模型是指具有一定結(jié)構(gòu)的操作材料和直觀材料。這節(jié)課，我們也選擇了

數(shù)列小方塊作為直觀模型，讓學(xué)生通過動(dòng)手移一移來感知整個(gè)變化過程，在操作活動(dòng)中讓數(shù)與形、形與式有機(jī)結(jié)合，學(xué)生在后面的嘗試計(jì)算中有圖可依，在直觀模型的充分體驗(yàn)中經(jīng)歷了“動(dòng)作思維——形象思維——抽象思維”的發(fā)展過程。

3.乘加乘減中的推理

在教材設(shè)計(jì)中將類比推理、演繹推理、歸納推理等知識(shí)點(diǎn)同步呈現(xiàn)，讓學(xué)生在掌握和梳理知識(shí)的同時(shí)發(fā)展數(shù)學(xué)思想，真正實(shí)現(xiàn)知識(shí)和能力同步提高。

以乘法中的演繹推理為例：把乘加或乘減算式改寫成乘法算式

4×3+8=（）×（） ? ?3×2+9=（）×（）

6×6-12=（）×（） ? 3×4+12=（）×（）

（1）嘗試計(jì)算，列出多種算法。

師：乘加或乘減算式，應(yīng)該怎么轉(zhuǎn)化成乘法算式呢？請(qǐng)把你的思考過程寫下來。

（2）全班交流，歸納不同算法。

生1：我算的是4×3+8，首先把4×3+8的結(jié)果算出來得20，根據(jù)口訣四五二十，寫成乘法算式4×5。

生2：我算的是6×6-12，2×6=12，6×6-12就是6個(gè)6-2個(gè)6，得4個(gè)6，所以乘法算式是4×6。

（3）對(duì)比分析，找出一般方法。

師：把乘加或乘減算式改寫成乘法算式，大家找出了兩種方法來解決。在這兩種方法中，你覺得哪種方法適用于所有算式？

生1：我覺得第二種方法是適用于所有算式的，第一種方法有局限性。

師：說說你的想法！

生1：6×6-12如果按照第一種方法，先算得數(shù)是24，口訣有四六二十四，三八二十四。但根據(jù)乘法的意義，乘法算式不能寫成3×8。

師：看來，得數(shù)只有一句口訣時(shí)，才能寫出正確的乘法算式。當(dāng)口訣有2句時(shí)，就會(huì)出錯(cuò)。

師：那么，第二種方法是不是適用于所以算式呢？把自己的算式都用第二種方法再算一算就知道了。

（學(xué)生用第二種方法再次計(jì)算）

師：和你之前寫出的乘法算式一樣嗎？

生（齊）：一樣。

師：看來，它的確是一般方法，適用于所有加數(shù)或減數(shù)比乘數(shù)大的乘加或乘減算式改寫成乘法算式。

（4）借助圖形，深入理解算理。

以3×2+9為例，課件出示點(diǎn)子圖，教師說明算理：2個(gè)3加上3個(gè)3等于5

個(gè)3，即3×5或5×3。

合理運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題（擇優(yōu)），也是計(jì)算教學(xué)比較關(guān)注的方面。讓學(xué)生在自己選擇更適合的方法的過程中，滲透數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生的推理能力。

多觀察，多思考，學(xué)生的推理就會(huì)有抓手，不知不覺就對(duì)研究乘法的知識(shí)有了興趣。著名數(shù)學(xué)家皮埃爾·德利涅說：“在數(shù)學(xué)中，當(dāng)你發(fā)現(xiàn)兩個(gè)看似沒有共同之處的東西事實(shí)上互相關(guān)聯(lián)是一種樂趣，而在兩個(gè)問題之間建立一個(gè)支點(diǎn)則是一個(gè)強(qiáng)大的工具?！边@個(gè)支點(diǎn)就是我們進(jìn)行推理的關(guān)鍵點(diǎn)。我們?cè)诮虒W(xué)中，也要用整體、聯(lián)系的眼光看待數(shù)學(xué)的不同知識(shí)內(nèi)容，讓學(xué)生在理解、推理中內(nèi)化數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、研究后感

本次實(shí)踐研究，圍繞“多種形式，多元表征，多樣推理”這一內(nèi)容，通過對(duì)表內(nèi)乘法中六類情況的實(shí)踐研究，結(jié)果分析等活動(dòng)，獲得了以下感悟：

1.教師的感悟

在課堂上教師不是單純地強(qiáng)調(diào)乘法計(jì)算速度和計(jì)算正確率。更注重引導(dǎo)學(xué)生多問幾個(gè)為什么，讓整個(gè)課堂成為一個(gè)思考的課堂，時(shí)不時(shí)會(huì)迸射出思維的火花。雖然上課進(jìn)度不是很快，但每堂課上師生互動(dòng)、生生互動(dòng)比較頻繁，整節(jié)課都很豐滿。我想這樣的課堂更加適合學(xué)生，讓學(xué)生更感興趣。在表內(nèi)乘法的學(xué)習(xí)中注重學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，注重學(xué)生自身的探索操作過程，從而培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力，建立了推理意識(shí)。

2.學(xué)生的收獲

剛開始學(xué)習(xí)乘法時(shí)，很多學(xué)生爭(zhēng)相說，“我知道，很簡(jiǎn)單，我在暑假班學(xué)過，我還會(huì)背1-9的乘法口訣了”。通過在乘法學(xué)習(xí)中不斷地滲透推理思想，學(xué)生在課堂上變得會(huì)思考、會(huì)表達(dá)、會(huì)推理，上課積極性頗高。表內(nèi)乘法學(xué)習(xí)結(jié)束后，問學(xué)生：再次學(xué)習(xí)了表內(nèi)乘法，除了會(huì)背乘法口訣，你還有什么收獲？學(xué)生有的說會(huì)從一句口訣推導(dǎo)到另一句，不怕因忘記口訣而不會(huì)計(jì)算了。還有學(xué)生說學(xué)會(huì)了用畫點(diǎn)子圖的方法將乘加算式、加法算式改寫成乘法算式等等。學(xué)生的作業(yè)質(zhì)量也挺高，不光會(huì)計(jì)算，還能正確運(yùn)用乘法解決問題，還會(huì)試著自己推理解決較難的題目。學(xué)生們說其實(shí)乘法里蘊(yùn)藏著很多有趣的秘密，找秘密的過程有點(diǎn)辛苦，不過我們已經(jīng)學(xué)會(huì)如何尋找了。

3.有待完善的地方

不僅在表內(nèi)乘法中需要培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，而且在加法、除法等計(jì)算教學(xué)中也需要強(qiáng)化學(xué)生的推理能力，才能使學(xué)生不再覺得計(jì)算數(shù)學(xué)是枯燥的。

參考文獻(xiàn)：

[1]黃喆.從掌握算法到理解算理【J】.現(xiàn)代教學(xué)，2016（4A）.

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