DFT譜分析中分辨率與采樣點(diǎn)數(shù)的關(guān)系

何立功

摘要：根據(jù)DFT變換的理論，探討了DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析時(shí)存在的問題，以及工程上的解決辦法。得出提高譜分辨率需要增加采樣點(diǎn)數(shù)的結(jié)論。最后通過仿真驗(yàn)證，仿真結(jié)果與結(jié)論一致。

關(guān)鍵詞：DFT;譜分析;分辨率;仿真

1. 引言

通常所說的信號(hào)譜分析，其實(shí)就是計(jì)算信號(hào)的傅里葉變換。但是對(duì)于連續(xù)信號(hào)進(jìn)行傅里葉計(jì)算，只能是單純的數(shù)學(xué)上計(jì)算，無法直接在工程上實(shí)現(xiàn)，即無法直接借助計(jì)算機(jī)計(jì)算。而離散傅里葉變換（DFT）是一種時(shí)域與頻域均離散化的變換，很適合計(jì)算機(jī)對(duì)離散信號(hào)進(jìn)行計(jì)算。本文將針對(duì)使用DFT進(jìn)行譜分析時(shí)，如何提高譜的分辨率進(jìn)行探討，對(duì)DFT在工程上應(yīng)用具有一定的指導(dǎo)意義。

2. DFT譜分析

為了使用DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)xa（t）進(jìn)行譜分析，必須先進(jìn)行時(shí)域離散采樣，得到離散信號(hào)x（n），然后再對(duì)x（n）進(jìn)行DFT，得到的X（k）是x（n）的傅里葉變換x（ejω）在頻率區(qū)間[0，2π]上的N點(diǎn)等間隔采樣。但是，根據(jù)傅里葉變換理論可知，時(shí)域有限長，頻譜有限寬的信號(hào)實(shí)際上不存在。所以，根據(jù)采樣定理采樣時(shí)，時(shí)域采樣必然都是無限長的，是不滿足DFT的變換條件的。

在工程上，對(duì)頻譜很寬的信號(hào)，在采樣之前增加一級(jí)預(yù)濾波器，濾除高頻成分，達(dá)到保留主要信息的同時(shí)還可以防止采樣后產(chǎn)生頻率混疊的效果。而對(duì)于時(shí)域較長的信號(hào)，可以進(jìn)行合理的截?cái)?。由此可見，使用DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析必然是近似的，其近似程度與信號(hào)帶寬、采樣頻率以及截取長度有關(guān)。

假設(shè)xa（t）的截取長度為Tp，最高頻率為fc，采樣周期為T，F(xiàn)s=1/T為采樣頻率，采樣點(diǎn)數(shù)為N。已知xa（t）的傅里葉變換為Xa（jΩ），x（n）的傅里葉變換為 （2-1）將ω=ΩT帶如上式，可得x（n）的傅里葉變換與xa（t）的傅里葉變換之間的關(guān)系：

又根據(jù)X（k）與x（ejω）的關(guān)系：

得x（n）的N點(diǎn)DFT與xa（t）的傅里葉變換之間的關(guān)系。對(duì)比（2-2）可以看到，x（n）經(jīng)DFT以后的頻譜是在原連續(xù)信號(hào)的頻譜上采樣得到的，即實(shí)現(xiàn)了頻譜采樣。其中F便是頻譜采樣間隔，稱為頻譜分辨率。

由此可得

根據(jù)（2-4）可知，要想提高頻譜的分辨率，可以降低時(shí)域采樣頻率Fs，或者增加時(shí)域采樣點(diǎn)數(shù)N。但是降低時(shí)域采樣頻率Fs可能會(huì)導(dǎo)致不滿足奈奎斯特采樣定理。所以只能在保證Fs不變的前提下，增加采樣點(diǎn)數(shù)N。

3. 仿真驗(yàn)證

通過MATLAB仿真，仿真信號(hào)是由99Hz和101Hz的兩個(gè)信號(hào)疊加而成，采樣頻率為1000Hz。對(duì)不同的采樣點(diǎn)數(shù)都是進(jìn)行2048點(diǎn)DFT，為了使譜線比較光滑，采樣點(diǎn)數(shù)不足2048時(shí)，進(jìn)行補(bǔ)零處理。最終仿真結(jié)果如圖3.1所示。

（a）中取樣點(diǎn)數(shù)為2048;（b）為對(duì)應(yīng)的頻譜圖，可以很明顯的看到99Hz和101Hz這兩個(gè)頻率。（c）中取樣點(diǎn)數(shù)為100個(gè);（d）為對(duì)應(yīng)的頻譜圖，可以看到此時(shí)在100Hz處只有一個(gè)頻率，但是這并不被原信號(hào)所支持，因?yàn)樵盘?hào)有兩個(gè)頻率。（e）中取樣點(diǎn)數(shù)為400個(gè);（f）為對(duì)應(yīng)的頻譜圖，此時(shí)稍微能看出有兩個(gè)頻率在100Hz兩邊，但是分的不夠開，或者說不能完全確認(rèn)就是兩個(gè)。（g）中取樣點(diǎn)數(shù)為900個(gè);（h）為對(duì)應(yīng)的頻域圖，此時(shí)基本上可以分辨出有兩個(gè)頻譜。由此驗(yàn)證了（2-4）的結(jié)論，相信隨著取樣點(diǎn)數(shù)的增加，頻譜的分辨率越來越高，即可以使兩個(gè)頻率分的更開，越來越接近（b）的頻譜。

4. 總結(jié)

本文先是提出DFT譜分析面臨的問題，然后說明了工程上的解決方法，并進(jìn)行了基本的理論推導(dǎo)。最后通過仿真驗(yàn)證了解決方法的正確性，仿真結(jié)果與理論推導(dǎo)一致。

參考文獻(xiàn)：

[1]高西全. 數(shù)字信號(hào)處理（第四版）[M]. 西安電子科技大學(xué)出版社， 2016.

[2]Williamson D . Discrete-Time Signal Processing[M]. IET， 1999.

[3]Vinay K Ingle. Digital Signal Processing using MATLAB[M]. XI’AN Jiao Tong University Press， 2018.

項(xiàng)目基金：2021年1月至2023年1月，項(xiàng)目單位：百色學(xué)院，項(xiàng)目名稱：本科專業(yè)核心課程-數(shù)字信號(hào)處理，項(xiàng)目編號(hào)：2016HXKC24