基于習(xí)題構(gòu)造和解剖的數(shù)學(xué)思維水平劃分

梅放心

思維能力是數(shù)學(xué)核心能力。數(shù)學(xué)習(xí)題通過(guò)難度大小體現(xiàn)思維水平高低。從習(xí)題構(gòu)造和解剖角度看，中學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題的難度由維度、梯度、跨度、隱度（簡(jiǎn)稱(chēng)“四度”）四個(gè)要素構(gòu)造而出?！八亩取狈现袑W(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題實(shí)際?；谥袑W(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題構(gòu)造要素的高度提煉和概括，具有以下八點(diǎn)學(xué)科意義。

意義一，能夠清楚表達(dá)數(shù)學(xué)思維的含義。數(shù)學(xué)習(xí)題作為客觀現(xiàn)象的模擬體，以概念、符號(hào)、圖形模擬單個(gè)事物，以數(shù)量及其關(guān)系模擬多個(gè)事物。即數(shù)學(xué)思維是對(duì)數(shù)學(xué)概念、符號(hào)、圖形的本質(zhì)屬性以及對(duì)多個(gè)數(shù)量的內(nèi)在聯(lián)系的反映。此文劃分，以構(gòu)造要素“維度、隱度”體現(xiàn)客觀的“數(shù)學(xué)概念、符號(hào)、圖形的本質(zhì)屬性和數(shù)量的內(nèi)在聯(lián)系”，以“梯度、跨度”體現(xiàn)主觀的“反映”。

意義二，能夠指導(dǎo)命題。依據(jù)此文劃分，針對(duì)繁瑣水平，可以就某個(gè)知識(shí)點(diǎn)從一維開(kāi)始命題，不設(shè)置隱匿關(guān)系，例如圍繞概念的本質(zhì)內(nèi)涵，依據(jù)思維的梯度和跨度由小到大，依次構(gòu)造概念的完全的外延形式。也可以繼續(xù)糅合二維、三維。針對(duì)內(nèi)隱或外隱水平，一樣可以就某個(gè)知識(shí)點(diǎn)從一維開(kāi)始命題，設(shè)置隱匿關(guān)系由淺入深，思維梯度和跨度由小到大，逐步埋伏數(shù)量關(guān)系的起源形態(tài)和演變形態(tài)。一樣可以繼續(xù)糅合二維、三維。通過(guò)構(gòu)造維度、梯度、跨度由簡(jiǎn)到繁，隱度由淺入深，形成連貫的甚至近乎微調(diào)的二次命題、三次命題……從而構(gòu)造出思維水平逐步提升的系統(tǒng)化習(xí)題集。

意義三，能夠分解還原習(xí)題的來(lái)龍去脈，清晰解讀命題意圖。絕大多數(shù)教師沒(méi)有精力自行命題，但儲(chǔ)存的習(xí)題量十分豐富。此文劃分，可以指導(dǎo)逆向解剖習(xí)題。通過(guò)逆向解剖，分解出習(xí)題的“四度”，然后對(duì)數(shù)量關(guān)系的來(lái)龍去脈、數(shù)學(xué)方法的來(lái)龍去脈進(jìn)行溯源性鋪墊構(gòu)想，再結(jié)合此文劃分，產(chǎn)生自我命題。

意義四，能夠量化數(shù)學(xué)思維水平。此文劃分，針對(duì)繁瑣水平可以以“維度，梯度，跨度”為自變量，思維水平為它們的函數(shù)，得到一個(gè)三元函數(shù);或者用四維向量空間的一個(gè)點(diǎn)描述一個(gè)狀態(tài)。針對(duì)內(nèi)隱或外隱水平可以以“隱度，維度，梯度，跨度”為自變量，思維水平為它們的函數(shù)，得到一個(gè)四元函數(shù);或者用五維向量空間的一個(gè)點(diǎn)描述一個(gè)狀態(tài)。數(shù)學(xué)模型理論建立是成立的，但數(shù)學(xué)技術(shù)超出了本文水平。對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際需要來(lái)說(shuō)，能夠判斷習(xí)題的構(gòu)造要素屬于幾維、幾梯、幾跨、幾隱，以構(gòu)造要素的水平量化思維水平也就足夠了。

意義五，能夠分類(lèi)量化《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》作為學(xué)科總綱，分類(lèi)囊括了“四基”“四能”“六大核心素養(yǎng)”的要求，分類(lèi)很明確，但“質(zhì)量水平描述”無(wú)法細(xì)致。依據(jù)此文劃分，可以通過(guò)分類(lèi)命題形式系統(tǒng)地、遞進(jìn)地、細(xì)致地、深入地量化“質(zhì)量水平描述”，也就可以將《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》“質(zhì)量水平描述”轉(zhuǎn)化為具體的教學(xué)目標(biāo)。

意義六，能夠定點(diǎn)精確測(cè)量或診斷學(xué)生思維水平。

意義七，能夠分目標(biāo)、分等級(jí)循序漸進(jìn)地提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平，指明提高學(xué)生思維水平的起始著手點(diǎn)、延伸方向、落腳點(diǎn)。

意義八，能夠擺脫傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思維水平劃分的困惑。實(shí)際教學(xué)中，靈活運(yùn)用通常是由于隱匿關(guān)系造成的，看清了隱匿關(guān)系，才能選擇恰合的知識(shí)和方法，即靈活運(yùn)用知識(shí)和方法，其水平大多高于綜合運(yùn)用。例如，由維度、梯度、跨度構(gòu)成的繁瑣水平，就包含著綜合運(yùn)用能力水平，如果無(wú)隱匿關(guān)系，那么純粹的繁瑣水平構(gòu)成的綜合運(yùn)用能力并不是高級(jí)水平;綜合運(yùn)用只有設(shè)置了隱匿關(guān)系才能成為高級(jí)水平。再次，從包容性和根源性看，此文劃分的每一級(jí)水平都可以從“四度”要素根源上構(gòu)造出基本運(yùn)用、靈活運(yùn)用、綜合運(yùn)用，并且量化水平。

綜上所述，基于構(gòu)造和解剖的數(shù)學(xué)思維水平劃分，依據(jù)數(shù)學(xué)習(xí)題構(gòu)造要素劃分思維水平，揭示了習(xí)題蘊(yùn)含思維水平的結(jié)構(gòu)原因，描繪了思維水平的發(fā)展線(xiàn)索，對(duì)數(shù)學(xué)思維順序化教學(xué)、量化教學(xué)具有目標(biāo)明確、思路清晰、操作易行的指導(dǎo)意義。

【本文系2021年度廣東省教育研究院研究課題“高中數(shù)學(xué)學(xué)困生的歸因分析及學(xué)法研究”研究成果，立項(xiàng)編號(hào)：GDJY-2021-M142】

責(zé)任編輯? ? 徐國(guó)堅(jiān)