關(guān)于研究地下水運動的方法探討

郭倩，王超，都蘭

（1.內(nèi)蒙古環(huán)科園環(huán)境科技有限責(zé)任公司，呼和浩特010011；2.內(nèi)蒙古生態(tài)環(huán)境科學(xué)研究院有限公司，呼和浩特010011；3.內(nèi)蒙古自治區(qū)環(huán)境科學(xué)研究院，呼和浩特010011）

1 研究地下水運動的主要方法

1.1 數(shù)學(xué)模型法

運用該方法首先需要將現(xiàn)實中復(fù)雜的水文地質(zhì)條件概化為水文地質(zhì)概念模型，該概念模型應(yīng)對所要表述的實際地下水流運動狀態(tài)具有較高的仿真度，并且能夠通過已知的一些數(shù)學(xué)工具來進(jìn)行定量表述，這一定量表述的結(jié)果即為水文地質(zhì)模型對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。成功運用該方法的關(guān)鍵在于水文地質(zhì)模型的建立，如果建立的水文地質(zhì)模型與實際情況相符性較差，用其數(shù)學(xué)模型求解出的結(jié)果就不能用來準(zhǔn)確表征研究區(qū)域的地下水運動規(guī)律，甚至與實際大相徑庭，而對于數(shù)學(xué)模型的解算，純粹屬于計算方法的問題。

對于描述同一個水文地質(zhì)模型，可根據(jù)實際生產(chǎn)需要的不同要求，建立不同類型的數(shù)學(xué)模型。本次簡單論述幾類常見的數(shù)學(xué)模型，包括線性模型與非線性模型、靜態(tài)模型與動態(tài)模型、集中參數(shù)模型與分布參數(shù)模型、確定性模型與隨機模型、黑箱模型與白箱模型。

1.1.1 線性模型與非線性模型

非線性模型指反映自變量與依變量間非線性關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它相對于線性模型而言，其依變量與自變量間不能在坐標(biāo)空間表示為線性對應(yīng)關(guān)系。在描述地下水運動規(guī)律中，線性模型與非線性模型的劃分依據(jù)是模型中變量的階次，線性模型是指該數(shù)學(xué)模型由線性微分方程與線性定解條件組成，不符合該組成條件的則為非線性模型。在地下水的飽和流計算過程中，大多數(shù)情況下可以用線性模型來定量描述承壓水，而對于潛水模型而言，除了一些特殊情形，如在某種近似表達(dá)的意義下，近似用線性模型來定量描述，其他條件下均屬于非線性模型。

1.1.2 靜態(tài)模型與動態(tài)模型

靜態(tài)模型與動態(tài)模型是根據(jù)模型中的變量與時間是否有關(guān)來劃分的，靜態(tài)模型是指模型中的變量與時間無關(guān)，動態(tài)模型則是指模型中的變量與時間有關(guān)。在地下水的飽和流計算過程中，穩(wěn)定流是流動系統(tǒng)中各物理量的大小僅隨位置變化，不隨時間變化，因此用來表示穩(wěn)定流的模型屬于靜態(tài)模型，非穩(wěn)定流是流動系統(tǒng)中各物理量的大小不僅隨位置變化，而且隨時間變化，因此用來表示非穩(wěn)定流的模型屬于動態(tài)模型。

1.1.3 集中參數(shù)模型與分布參數(shù)模型

集中參數(shù)模型與分布參數(shù)模型是根據(jù)模型中是否含有空間變量來進(jìn)行劃分的。集中參數(shù)模型是指模型中各變量與空間位置無關(guān)，變量在整個系統(tǒng)中是均一的，在穩(wěn)態(tài)模型中，這種表述為代數(shù)方程，在動態(tài)模型中，這種表述則為常微分方程。分布參數(shù)模型是指模型中至少有一個變量與空間位置有關(guān)，在穩(wěn)態(tài)模型中，這種表述為空間自變量的常微分方程，在動態(tài)模型中，這種表述則為空間、時間自變量的偏微分方程。比如《地下水動力學(xué)》中利用最小二乘法配置的井涌水量與降深之間的經(jīng)驗公式，屬于集中參數(shù)模型，而裘布依模型、泰斯模型、紐曼模型等，均屬于分布參數(shù)模型。

1.1.4 確定性模型與隨機模型

確定性模型與隨機模型是根據(jù)模型中變量的取值性質(zhì)來進(jìn)行劃分的。確定性模型是一個由完全肯定的函數(shù)關(guān)系所決定的數(shù)學(xué)模型，模型中的變量只能取確定的值，可用解析法、數(shù)值法和電模擬法求解。隨機模型亦稱“非確定的、概率的模型”，模型中的變量只知其取值的概率。比如當(dāng)水均衡要素不作為隨機變量處理時，水均衡方程式所描述的模型屬于確定性模型，否則為隨機模型。

1.1.5 黑箱模型與白箱模型

黑箱模型與白箱模型是根據(jù)模型本身所描述的對象來進(jìn)行劃分的。黑箱模型是指在模型中僅僅關(guān)注實體與外界的信息交換，而不考慮實體內(nèi)部的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)。白箱模型是指需同時關(guān)注實體與外界的信息交換以及實體內(nèi)部的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)。比如研究一個泉域，若只研究泉域的降雨補給量與泉的排泄量之間的關(guān)系，而不考慮泉域含水層本身的賦存條件，該數(shù)學(xué)模型屬于黑箱模型；若同時考慮泉域與外界的交換條件與規(guī)律以及泉域含水層本身的賦存規(guī)律，則屬于白箱模型。

1.2 物理模型法

物理模型法與數(shù)學(xué)模型法相同的是，兩種方法均是將現(xiàn)實中復(fù)雜的水文地質(zhì)條件概化為簡單的水文地質(zhì)模型，不同的是，數(shù)學(xué)模型法是通過求解數(shù)學(xué)模型來研究地下水的運動規(guī)律，而物理模型法則是通過比擬水文地質(zhì)模型，建立起相似的物理模型來研究地下水流的運動規(guī)律。

2 地下水流模型的求解方法

2.1 解析法

解析法是指利用數(shù)學(xué)上的積分法或積分變換等方法直接求解數(shù)學(xué)模型，得出的解即為解析解，它是數(shù)學(xué)模型的精確解。

該種方法的優(yōu)勢在于可以把表征地下水運動規(guī)律的各種物理量與激發(fā)條件、時空變化包含在一個表達(dá)式中，用數(shù)學(xué)分析的方法去求解各個物理量之間的相互聯(lián)系與相互制約的內(nèi)在規(guī)律，求出的解可以直接、精確的用于分析地下水的運動規(guī)律及變化特征。同時，該種方法的局限性又表現(xiàn)在如下幾個方面：

（1）由于數(shù)學(xué)模型的適用條件較為苛刻，使得其很難準(zhǔn)確描述自然界復(fù)雜的水文地質(zhì)邊界條件，有時可以用數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述概化后的邊界條件，但結(jié)果可能已嚴(yán)重偏離實際的水文地質(zhì)問題。

（2）在處理含水層的非均質(zhì)性、各向異性、線狀補給及局部面狀補給的問題時較為困難。解析法只能處理均質(zhì)含水層且含水層的主滲流方向不變條件下的地下水流問題，但自然界中由于地質(zhì)環(huán)境的變化，不存在嚴(yán)格意義上的均質(zhì)含水層，而且往往在研究區(qū)域含水層的主滲流方向隨空間變化，因此無法求得解析解。例如在潛水含水層中，如果涉及有渠道或河流的線狀補給或地表水體的局部面狀補給問題時，現(xiàn)有典型模型的解析解也無法用來描述此類復(fù)雜條件下地下水的運動規(guī)律。

2.2 數(shù)值模擬法

由于復(fù)雜條件下解析解的仿真度較低，并且隨著電子計算機的極速發(fā)展，數(shù)值模擬方法在實際處理復(fù)雜地下水流運動中表現(xiàn)出了其優(yōu)越性。用數(shù)值模擬方法求出的解稱為數(shù)值解，離散化方法是求解各種分布參數(shù)模型數(shù)值解的基本方法。主要包括有限差分法及有限元法。

2.2.1 有限差分法

有限差分法是指求偏微分（或常微分）方程和方程組定解問題的數(shù)值解。在地下水流系統(tǒng)中，就是按一定的方式把所研究的滲流區(qū)域離散成很多但有限的小均衡域，在滿足一定的精度條件下，每個小均衡域內(nèi)的各種參數(shù)均視為常數(shù)，小均衡域內(nèi)的水頭以其中心點的水頭作為代表，相鄰小均衡域間的水頭變化近似看成是線性變化。有限差分法求出的解為地下水流系統(tǒng)離散點上的近似值，而不是精確解。

2.2.2有限元法

有限元法是指通過剖分插值把區(qū)域連續(xù)求解的微分方程離散成求解線性代數(shù)方程組，用近似解來代替精確解。由于所依據(jù)的原理不同，有限元法可劃分為變分有限元法、伽遼金有限元法及均衡有限元法等，盡管依據(jù)原理不同，但在求解相同條件下的地下水滲流問題時，最終得到的線性方程組均是一致的。

3 結(jié)論

實際情況下，地下水流運動是復(fù)雜多變的，描述其運動規(guī)律的方法也多種多樣，但是在解決實際問題時，需要綜合考慮多方面的因素，選擇較為符合實際的方法，才能得到我們所期望的結(jié)果