非等間距改進(jìn)加權(quán)GM(1,1)模型在基坑變形監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用

張 東，楊 靜,葛繼空

(1.誠(chéng)邦測(cè)繪信息科技(浙江)有限公司，浙江 寧波 315000；2.中國(guó)水利水電第八工程局有限公司科研設(shè)計(jì)院，湖南 長(zhǎng)沙 410000)

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，眾多大型基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)不斷涌現(xiàn)，這些基礎(chǔ)建設(shè)都伴隨著基坑工程?；拥拈_(kāi)挖深度越深，技術(shù)難度也就越高，在開(kāi)挖過(guò)程中，土體卸荷使受力平衡遭到破壞，導(dǎo)致基坑施工變形對(duì)城市周邊環(huán)境影響日益突出，因此，對(duì)基坑變形實(shí)時(shí)有效監(jiān)控是基坑工程成敗的關(guān)鍵[1]。此外在施工過(guò)程中會(huì)受到施工因素、環(huán)境因素和時(shí)間因素的影響，給基坑變形預(yù)測(cè)帶來(lái)一些困難[2]。由于地鐵、建筑物等的眾多基坑工程位于人口密集區(qū)域，一旦發(fā)生事故會(huì)造成嚴(yán)重后果，因此，對(duì)基坑變形預(yù)測(cè)的研究顯得尤為重要。

近年來(lái)，眾多變形監(jiān)測(cè)研究學(xué)者對(duì)基坑監(jiān)測(cè)做了大量研究，其主要應(yīng)用建模方法有回歸分析、時(shí)間序列分析、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)等[3-5]。以上研究方法通常需要的樣本很大，且特點(diǎn)為典型概率分布，在實(shí)際工程監(jiān)測(cè)應(yīng)用中很難實(shí)現(xiàn)，因此，一定程度上限制了應(yīng)用范圍。灰色模型針對(duì)小樣本數(shù)據(jù)處理具有一定的優(yōu)越性，其GM(1,1)模型在工程領(lǐng)域應(yīng)用最為廣泛，模型大多數(shù)是基于等時(shí)間間隔的數(shù)列，而在實(shí)際工程中受環(huán)境等多方面因素影響，監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)很難做到等時(shí)間間隔。因此，建立非等間隔GM(1,1)模型在監(jiān)測(cè)應(yīng)用上具有很大的實(shí)用價(jià)值。廖展宇等[6]在非等間距模型中引入等時(shí)間差系數(shù)，對(duì)差值進(jìn)行分析后序列還原，最后將非等間隔序列轉(zhuǎn)化成等間距序列，對(duì)基坑進(jìn)行變形預(yù)測(cè)。李勇等[7]在非等間距模型中引入一種帶有適應(yīng)性的λ因子，然后對(duì)模型中的背景值進(jìn)行優(yōu)化改進(jìn)。魏玉明等[8]和梁新美等[9]利用加權(quán)GM(1,1)模型分別對(duì)滑坡工程于深基坑進(jìn)行變形預(yù)測(cè)。何為等[10]針對(duì)監(jiān)測(cè)過(guò)程可能含有粗差情況，提出一種抗差加權(quán)非等時(shí)距GM(1,1)模型應(yīng)用于大型建筑物沉降預(yù)測(cè)。

基坑工程監(jiān)測(cè)點(diǎn)受基坑開(kāi)挖的影響，往往會(huì)在短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生較大的變形，現(xiàn)有的非等間距灰色模型在基坑應(yīng)用中無(wú)法處理突變數(shù)據(jù)的影響，導(dǎo)致精度很低。本文在現(xiàn)有的非等間隔灰色模型基礎(chǔ)上對(duì)時(shí)間做平滑，提出一種改進(jìn)的加權(quán)非等間距GM(1,1)模型，并以實(shí)際基坑監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)為例，對(duì)其方法進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用。

1 非等間距改進(jìn)加權(quán)GM(1,1)建模

1.1 灰色系統(tǒng)理論

灰色理論(Grey Theory)是由我國(guó)著名學(xué)者鄧聚龍教授于1982年首次提出。它是基于關(guān)聯(lián)空間、光滑離散函數(shù)等概念，定義了灰導(dǎo)數(shù)、灰微分方程，進(jìn)而用離散數(shù)據(jù)建立了微分方程型的動(dòng)態(tài)模型[11]。GM(1,1)模型是灰色系統(tǒng)理論中最為核心的內(nèi)容，具有“小樣本”的研究特質(zhì)和簡(jiǎn)單實(shí)用的優(yōu)點(diǎn)，模型建立只需要一個(gè)單變量的一階微分方程。建立步驟具體如下：

(1)設(shè)有n個(gè)非負(fù)原始觀測(cè)數(shù)據(jù)序列X(0)=[x(0)(1),x(0)(2)，…，x(0)(n)]，則由X(0)序列累加(1-AGO)得到序列X(1)為

X(1)=[x(1)(1),x(1)(2)，…，x(1)(n)]

(1)

(2)由序列X(1)構(gòu)造背景值序列Z(1)為

Z(1)=[z(1)(1),z(1)(2),…z(1)(n)]

(2)

式中，Z(1)取X(1)緊鄰均值生成序列，即Z(1)(k)=0.5[x(1)(k)+x(1)(k-1)],k=2,3,…,n。

(3)建立灰色GM(1,1)模型的一級(jí)白化微分方程為

(3)

(4)根據(jù)最小二乘原理，灰色GM(1,1)模型的參數(shù)列為

A=[a,b]T=(BTB)-1BTY

(4)

將計(jì)算求得的參數(shù)a，b帶入式(3)，并求解微分方程，取初始條件x(0)(1)，得X(1)的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為

(5)

(5)對(duì)式(5)再作一階累減函數(shù)還原計(jì)算(1-IAGO)，得到原始序列X(0)的還原值為

(6)

1.2 非等間距改進(jìn)加權(quán)GM(1,1)模型

現(xiàn)有非等間距GM(1,1)模型中主要是以相鄰時(shí)間間隔進(jìn)行加權(quán)處理，進(jìn)行原始數(shù)據(jù)一次累加。現(xiàn)實(shí)監(jiān)測(cè)過(guò)程中會(huì)受到施工擾動(dòng)影響，在施工期間會(huì)受到外力作用產(chǎn)生較大變形，如果采用簡(jiǎn)單的加權(quán)處理這些突變數(shù)據(jù)會(huì)使殘差變大，影響預(yù)測(cè)精度。 因此，本文建立非等間距改進(jìn)加權(quán)GM(1,1)模型，具體建立步驟如下：

(1)設(shè)非等間距原始觀測(cè)序列為

X(0)={x(0)(t1),x(0)(t2)…，x(0)(tn)}

(7)

式中，tn-tn-1≠常數(shù)；x(0)(ti)為ti時(shí)刻監(jiān)測(cè)點(diǎn)的變形值。

(2)對(duì)原始序列做一次累加處理

(8)

(3)對(duì)原始累加序列改進(jìn)賦權(quán)處理，單位時(shí)間內(nèi)變形為

(9)

令ρi=βvi

(10)

式中，ρi為原始序列疊加權(quán)，ρ1=1;β是為了保證原始序列最大時(shí)間間隔的一致。

(11)

通過(guò)以上定權(quán)的優(yōu)點(diǎn)在于適應(yīng)基坑突變問(wèn)題，當(dāng)變形速率較大時(shí)，即施工期間，累加序列可以適當(dāng)放寬；當(dāng)變形速率較小時(shí)，即停工期間，累加序列適當(dāng)壓縮時(shí)間；當(dāng)變形速率為負(fù)數(shù)，累計(jì)序列變小，可以認(rèn)為是時(shí)間的回退。

(12)

得到序列

X(1)={x(1)(t1),x(1)(t2),…,x(1)(tn)}

(13)

(4)同理式(3)、式(4)，建立一階微分方程，估計(jì)參數(shù)列。將求取參數(shù)代入微分方程，可得離散解

(14)

還原數(shù)據(jù)

(15)

(5)因?yàn)轭A(yù)測(cè)序列n+1…的ρk是未知的，需要做如下近似：

取j=1,2,…，m表示時(shí)序號(hào)，則有

(16)

還原數(shù)據(jù)

(17)

若︳ρn︳比較小，表明變形已經(jīng)趨于穩(wěn)定，可以把tn以后的每個(gè)時(shí)刻變形值擬合出來(lái)，即：

(18)

2 模型的精度檢驗(yàn)

為判斷非等間距改進(jìn)加權(quán)GM(1,1)模型預(yù)測(cè)的可靠性，需要對(duì)模型的精度進(jìn)行檢驗(yàn)，通常是通過(guò)后驗(yàn)差法。本文采用相對(duì)誤差、絕對(duì)誤差(殘差)、均方差比值C及小誤差概率P四個(gè)指標(biāo)來(lái)評(píng)價(jià)擬合預(yù)測(cè)效果。

e=[e(1),e(2),…,e(n)]

(19)

e表示擬合值、預(yù)測(cè)值與原始數(shù)據(jù)的接近程度，因此e值越小越好。

相對(duì)誤差序列為：

(20)

相對(duì)誤差Δ表示預(yù)測(cè)殘差占原始數(shù)據(jù)的比例，因此，越小越好。

原始數(shù)列X(0)及殘差數(shù)列e的方差為：

(21)

(22)

(23)

后驗(yàn)方差比值C和小誤差概率P共同決定模型精度。C值越小則預(yù)測(cè)精度越好，P值越大說(shuō)明誤差較小的概率越大，模型精度越高。具體精度等級(jí)參照如表1所示。

表1 后驗(yàn)差檢驗(yàn)法精度等級(jí)參照表

3 實(shí)例與分析

本文以某高速跨鐵路轉(zhuǎn)體橋的鉆孔灌注樁基坑基礎(chǔ)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)為例[12]，來(lái)驗(yàn)證非等間距改進(jìn)加權(quán)GM(1,1)模型對(duì)基坑監(jiān)測(cè)的可行性和有效性。具體監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 基坑測(cè)點(diǎn)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)

首先，選取前7期監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為原始序列分別建立傳統(tǒng)非等間隔加權(quán)GM(1,1)模型和非等間距改進(jìn)加權(quán)GM(1,1)模型，用第8～10期數(shù)據(jù)來(lái)驗(yàn)證預(yù)測(cè)結(jié)果，兩種模型對(duì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)擬合與預(yù)測(cè)結(jié)果如表3所示。

表3 監(jiān)測(cè)點(diǎn)擬合預(yù)測(cè)結(jié)果檢驗(yàn)表

由圖1可知，非等間距加權(quán)改進(jìn)GM(1,1)模型相比傳統(tǒng)的非等間距加權(quán)GM(1,1)模型擬合預(yù)測(cè)曲線更加光滑，變化波動(dòng)更小。在前5期中，傳統(tǒng)模型與改進(jìn)模型擬合精度都較高，但是隨著時(shí)間推移，第6期以后出現(xiàn)轉(zhuǎn)折，改進(jìn)模型越來(lái)越接近實(shí)際值，而傳統(tǒng)模型則離實(shí)際變形曲線偏差變大。

圖1 實(shí)測(cè)值與擬合預(yù)測(cè)值對(duì)比圖

由圖2和表3可知，非等間距改進(jìn)加權(quán)GM(1,1)模型相比傳統(tǒng)的非等間距加權(quán)GM(1,1)模型殘差有明顯的提高，特別在第5期以后兩種模型出現(xiàn)很大的差異。改進(jìn)模型在第5期以后殘差由0值以下變?yōu)?值以上，從第8期開(kāi)始越來(lái)越接近0值，即殘差越來(lái)越小。傳統(tǒng)模型在第5～6期殘差發(fā)生突變，由負(fù)值變?yōu)檎底罡叻?，?期以后，殘差變小，經(jīng)過(guò)0值到達(dá)負(fù)值最高峰。

圖2 兩種模型殘差曲線圖

將兩種模型進(jìn)行精度對(duì)比分析，由表4可知，無(wú)論是后驗(yàn)差比值還是小誤差概率，非等間距改進(jìn)加權(quán)GM(1,1)模型都優(yōu)于傳統(tǒng)非等間距加權(quán)GM(1,1)模型，且精度等級(jí)達(dá)到1級(jí)。

表4 兩種模型分別所在的精度等級(jí)

綜合以上分析，若基坑變形處于不穩(wěn)定狀態(tài)，如基坑開(kāi)挖中，傳統(tǒng)非等間距加權(quán)GM(1,1)模型預(yù)測(cè)精度較差，而非等間距改進(jìn)加權(quán)GM(1,1)模型在基坑開(kāi)挖結(jié)束后，在預(yù)測(cè)下一時(shí)刻的變形時(shí)，加入上一時(shí)刻的變形預(yù)測(cè)值，去除老的信息的時(shí)刻變形值，進(jìn)行重建模型，實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文針對(duì)現(xiàn)有的非等間距模型在基坑監(jiān)測(cè)應(yīng)用中的不足，提出一種非等間距改進(jìn)加權(quán)GM(1,1)模型，該模型彌補(bǔ)了基坑監(jiān)測(cè)中動(dòng)態(tài)變化預(yù)測(cè)精度低、殘差大的缺點(diǎn)。結(jié)合具體基坑監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，進(jìn)行建模，通過(guò)精度對(duì)比分析，結(jié)果表明，本文所述模型精度更高，在時(shí)間跨度較短區(qū)域改進(jìn)加權(quán)處理動(dòng)態(tài)灰色模型更加有優(yōu)勢(shì)，突變后變平穩(wěn)時(shí)精度有所降低。綜上所述，本文所述模型在基坑工程的變形處理中值得推廣，對(duì)基坑監(jiān)測(cè)應(yīng)用有很好的實(shí)用價(jià)值。