培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的方法舉隅

陳一葉

2016 年，中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)研究課題組公布了中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)總體框架及其基本內(nèi)涵，將核心素養(yǎng)的概念界定為“學(xué)生應(yīng)具備的、能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力”。關(guān)鍵能力是核心素養(yǎng)的內(nèi)核，也是學(xué)科教學(xué)的價(jià)值所在。德國教育家梅滕斯認(rèn)為：關(guān)鍵能力是一種普遍的、可遷移的，在個(gè)人的工作、個(gè)性發(fā)展和社會(huì)活動(dòng)等方面起關(guān)鍵作用的能力。小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)鍵能力主要指運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，具體包括抽象能力、推理能力和數(shù)據(jù)分析能力等。推理又稱“推論”，是由一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷（前提）推出新判斷（結(jié)論）的過程。數(shù)學(xué)推理能力是學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要組成部分。課標(biāo)明確指出，通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能“在參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理和演繹推理的能力，清晰地表達(dá)自己的想法”。研究表明，學(xué)生的推理能力隨著年齡的增長而不斷增強(qiáng)。因此，教師在教學(xué)中要把握好學(xué)生推理能力發(fā)展的關(guān)鍵期，著力培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

1.讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的“再創(chuàng)造”過程。

荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾指出，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)唯一正確的方法是“再創(chuàng)造”。教師教學(xué)時(shí)，要讓學(xué)生有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想和推理驗(yàn)證等活動(dòng)過程，在學(xué)生“再創(chuàng)造”知識(shí)的過程中加強(qiáng)他們推理意識(shí)和能力的培養(yǎng)，有意識(shí)地多讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)推理的過程，引導(dǎo)他們掌握數(shù)學(xué)推理的一般方法。數(shù)學(xué)推理的過程一般包括：（1）發(fā)現(xiàn)問題。教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)合適的情境，學(xué)生要能在關(guān)聯(lián)的情境中發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題，為提出猜想或主張做準(zhǔn)備。（2）提出猜想。根據(jù)發(fā)現(xiàn)的問題，通過合作交流，最終提出共同的研究對(duì)象——猜想。（3）進(jìn)行論證。小學(xué)生進(jìn)行論證一般都是運(yùn)用類比或歸納等合情推理，合情推理不一定保證猜想的正確性，但它是發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的重要手段，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。當(dāng)然，小學(xué)階段也要有意識(shí)地滲透運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、規(guī)則等進(jìn)行演繹推理的方法。

2.讓學(xué)生深刻理解知識(shí)本質(zhì)。

美國心理學(xué)家奧蘇伯爾提出了有意義學(xué)習(xí)的基本條件，其中關(guān)鍵是學(xué)生已有知識(shí)與新知之間能建立非人為的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，這種非人為的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系是數(shù)學(xué)推理的重要基礎(chǔ)。知識(shí)的表層結(jié)構(gòu)難以讓學(xué)生產(chǎn)生聯(lián)想及直覺，日本數(shù)學(xué)家小平邦彥說過，數(shù)學(xué)是需要深刻理解的學(xué)問，要理解數(shù)學(xué)就必須根據(jù)數(shù)學(xué)直覺掌握具體的數(shù)學(xué)對(duì)象。而數(shù)學(xué)直覺主要指對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象內(nèi)隱的整體性、次序性的領(lǐng)悟。

例如：教學(xué)“3 的倍數(shù)的特征”，如果僅僅依靠“撥珠聽聲”和觀察百數(shù)表就得出用各個(gè)數(shù)位上的數(shù)的和來判斷能否被3 整除，這只是知識(shí)表層的教學(xué)，而一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的本質(zhì)是數(shù)的組成。如果一個(gè)數(shù)是abcd，可以寫成a×1000＋b×100＋c×10＋d×1，因?yàn)?0、100、1000……除以3都余1，所以，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)是幾，除以3后就余幾（如5000÷3余5，余數(shù)5比3大，可以再除以3，余2），把各個(gè)數(shù)位上的數(shù)除以3 得到的余數(shù)加起來就是a＋b＋c＋d，如果a＋b＋c＋d 的和能被3整除，那這個(gè)數(shù)就能被3整除。筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，有學(xué)生甚至還發(fā)現(xiàn)了更簡單的規(guī)律，即如果某個(gè)數(shù)位上的數(shù)大于3，還可以除以3，使余數(shù)小于3，這樣加起來的和比較小，更容易判斷，如4585 這個(gè)數(shù)，按照一般的方法用4＋5＋8＋5=22 來判斷，但學(xué)生發(fā)現(xiàn)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)都比3 大，還可以進(jìn)一步除以3，余數(shù)分別變成1、2、2、2，加起來更容易判斷。雖然這樣的方法并不一定比一般方法簡單，卻是學(xué)生在把握原理的基礎(chǔ)上通過推理“創(chuàng)造”出來的。對(duì)學(xué)生來講，只有經(jīng)歷了真正的推理過程，才可能有這樣與教材不一樣的創(chuàng)新。

3.加強(qiáng)學(xué)生對(duì)整體性知識(shí)的建構(gòu)。

如果把知識(shí)的表層結(jié)構(gòu)和內(nèi)隱結(jié)構(gòu)看作知識(shí)的縱向結(jié)構(gòu)，那么知識(shí)與知識(shí)之間的聯(lián)系就是橫向結(jié)構(gòu)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，歸納和類比是十分重要的推理方式，知識(shí)間的橫向結(jié)構(gòu)有利于學(xué)生應(yīng)用類比的方法進(jìn)行推理。這是因?yàn)闄M向結(jié)構(gòu)的知識(shí)往往都有一些學(xué)科中的共同要素，這些知識(shí)在學(xué)科本質(zhì)上有共同性，在思維方式上有同一性，在學(xué)習(xí)方式上具有共同特征，因而學(xué)生往往可以利用這些相似的特征進(jìn)行類比推理。數(shù)學(xué)推理不僅要有猜想和驗(yàn)證，更要有思辨與批評(píng)、證明與反駁。

例如：教學(xué)“2 和5 的倍數(shù)的特征”時(shí)，教師讓學(xué)生先觀察圖1。學(xué)生通過觀察數(shù)的組成，可以發(fā)現(xiàn)如果整十?dāng)?shù)和整百數(shù)都能被2 和5 整除，剩下的就只要看個(gè)位能否被2和5整除。同理，在探究“3 的倍數(shù)的特征”時(shí)，就可以利用探究“2、5 的倍數(shù)的特征”時(shí)采用的方法，通過類比推理來發(fā)現(xiàn)“3 的倍數(shù)的特征”。而后，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生反思這兩個(gè)規(guī)律的探究過程，找到解決此類問題的共同方法——觀察數(shù)的組成。

總之，數(shù)學(xué)推理是數(shù)學(xué)知識(shí)形成的認(rèn)知方式，也是學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的重要體現(xiàn)，教師教學(xué)時(shí)應(yīng)注重讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生的過程，經(jīng)歷觀察、猜想、驗(yàn)證與反思的過程，促進(jìn)學(xué)生深刻理解知識(shí)本質(zhì)、建構(gòu)整體性知識(shí)，從而不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力。