巧用二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)性解決問(wèn)題

文 王 寅

拋物線(xiàn)的軸對(duì)稱(chēng)性，是二次函數(shù)的一個(gè)重要特征，往往也是解題的關(guān)鍵。我們?nèi)绻軌蚴炀毑⑶擅畹剡\(yùn)用，可使解題變得輕松。

一、利用對(duì)稱(chēng)性求點(diǎn)坐標(biāo)

例1已知二次函數(shù)y=kx2-4kx+3k 圖像上有一點(diǎn)（3，2），則該點(diǎn)關(guān)于圖像對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）。

A.（2，3） B.（1，2）

C.（2，2） D.（1，3）

【分析】我們要求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，就要先求出拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，然后利用對(duì)稱(chēng)性求出另一點(diǎn)的坐標(biāo)。

解：對(duì)稱(chēng)軸為。設(shè)所求點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，解得m=1。由對(duì)稱(chēng)性可知縱坐標(biāo)不變，所以所求點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2）。故選B。

【點(diǎn)評(píng)】靈活利用配方法或公式求出對(duì)稱(chēng)軸是解題的關(guān)鍵。本題還可以利用十字相乘法，將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)式y(tǒng)=k（x-1）（x-3），求出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)。

二、利用對(duì)稱(chēng)性比較數(shù)值大小

例2若點(diǎn)A（2，y1）、B（-3，y2）、C（3，y3）三點(diǎn)在二次函數(shù)y=x2-4x-m 的圖像上，則y1、y2、y3的大小關(guān)系是（ ）。

A.y1＞y2＞y3B.y2＞y1＞y3

C.y2＞y3＞y1D.y3＞y1＞y2

【分析】找出圖像對(duì)稱(chēng)軸，利用增減性求解。

解：配方得y=（x-2）2-4-m，所以對(duì)稱(chēng)軸為x=2。因?yàn)閍＞0，A 點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，所以A 為圖像頂點(diǎn)，即y1最小。根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可得點(diǎn)C 關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（1，y3），在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，y 隨x 增大而減小，所以y2＞y3，即y2＞y3＞y1。故選C。

【點(diǎn)評(píng)】借助拋物線(xiàn)的軸對(duì)稱(chēng)性，把位于對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)的點(diǎn)變換到同一側(cè)，這樣便于利用二次函數(shù)的增減性來(lái)進(jìn)行比較。當(dāng)然，本題也可直接代入求解。

三、數(shù)形結(jié)合解不等式

例3已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c 的部分圖像如圖1 所示，若y＞0，則x 的取值范圍是（ ）。

A.x＞1 B.x＜-1

C.-1＜x＜3 D.x＜-1或x＞3

【分析】函數(shù)圖像與x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以要先求出另一交點(diǎn)。

解：由圖可知，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，一個(gè)交點(diǎn)為（-1，0），易求出另一交點(diǎn)為（3，0）。因?yàn)閥＞0，所以根據(jù)圖像可知對(duì)應(yīng)的取值范圍應(yīng)為x 軸上方部分，即x＜-1或x＞3。故選D。

【點(diǎn)評(píng)】本題容易錯(cuò)解為x＜-1，忽視對(duì)稱(chēng)軸另一側(cè)的情況。數(shù)形結(jié)合思想是解決函數(shù)取值范圍的主要方法，如本題，若問(wèn)當(dāng)y＜0 時(shí)，求x 的取值范圍，則可根據(jù)圖像直接得到答案為-1＜x＜3。

四、巧用對(duì)稱(chēng)性求面積

例4如圖2，把拋物線(xiàn)平移得到拋物線(xiàn)m，拋物線(xiàn)m 經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-6，0）和原點(diǎn)O（0，0），它的頂點(diǎn)為P，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)Q，則圖中陰影部分面積為（ ）。

A.12 B.14 C.16 D.18

【分析】求不規(guī)則圖形面積應(yīng)利用拼、割、補(bǔ)等方法轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形。

解：作QD⊥y軸于點(diǎn)D，設(shè)PQ 與x軸交于點(diǎn)C。由拋物線(xiàn)m 經(jīng)過(guò)A（-6，0）、O（0，0），通過(guò)交點(diǎn)式可得m 的表達(dá)式為6）（x-0），即，所以圖像m 的對(duì)稱(chēng)軸為x=-3，將x=-3 代入，得Q（-3，6），所以PC=QC，所以陰影部分面積可轉(zhuǎn)化為矩形CQDO面積，即3×6=18。故選D。

【點(diǎn)評(píng)】處理不規(guī)則圖形面積的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化。本題通過(guò)求出P、Q 兩點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性，將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為矩形面積。

例5如圖3，拋物線(xiàn)分別交矩形ABCD 于F、E、A、D、C、B，若點(diǎn)A 的橫坐標(biāo)為-1，則圖中陰影部分面積的和為（ ）。

【分析】已知的三個(gè)函數(shù)表達(dá)式都為y=ax2的形式，可知圖像頂點(diǎn)都為原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸都為y 軸?？蓪⒂覀?cè)陰影部分移至左側(cè)，即求矩形ABCD面積的一半。

解：由圖可知，點(diǎn)A在拋物線(xiàn)上，點(diǎn)B 在上，將x=-1 分別代入，得A所以則左側(cè)矩形面積為故選C。

【點(diǎn)評(píng)】解題的關(guān)鍵點(diǎn)是判斷各點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的拋物線(xiàn)。因?yàn)辄c(diǎn)B 所在拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，所以點(diǎn)B 在上；因?yàn)?|a |越大，拋物線(xiàn)開(kāi)口越小，所以點(diǎn)A在上。

五、巧用對(duì)稱(chēng)性求值

例6如圖4，已知點(diǎn)C（0，2）、D（4，2）、F（4，0）。問(wèn)題：

（1）請(qǐng)利用尺規(guī)作出拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，想一想能有幾種作法；

（2）若拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上有動(dòng)點(diǎn)P，求PC+PO的最小值。

【分析】（1）根據(jù)C、D 兩點(diǎn)坐標(biāo)，可知CD∥x 軸，作CD 的垂直平分線(xiàn)l，則l 即為拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸。

（2）動(dòng)點(diǎn)P 在對(duì)稱(chēng)軸上，可找出點(diǎn)C（或點(diǎn)O）關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)，進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

解：（1）分別以點(diǎn)C、D 為圓心，大于為半徑畫(huà)弧，過(guò)兩弧上下交點(diǎn)作直線(xiàn)l，則直線(xiàn)l為拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸。

（2）如圖5，連接OD，與l 交于點(diǎn)P，所以PC=PD，即PC+PO=PD+PO=OD。因?yàn)镺C=2，CD=4，所以

【點(diǎn)評(píng)】問(wèn)題（1）還可以利用矩形的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)來(lái)解決，即連接CF、OD，過(guò)CF、OD的交點(diǎn)作x 軸的垂線(xiàn)，則垂線(xiàn)為拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸。問(wèn)題（2）是典型的“將軍飲馬”問(wèn)題，可利用二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性得出點(diǎn)C 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)D，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線(xiàn)段，構(gòu)造三點(diǎn)共線(xiàn)，求出最小值。