數(shù)學(xué)抽象能力的內(nèi)涵及其體系構(gòu)建
——以初中數(shù)量關(guān)系內(nèi)容為例

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《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011 版)》(以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)(2011 年版)》)提出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“核心概念”，其中涉及數(shù)學(xué)抽象思想的有六個(gè)：數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、運(yùn)算能力、模型思想和應(yīng)用意識(shí)。高中學(xué)段提出的六個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)在核心素養(yǎng)的首位。

一、數(shù)學(xué)抽象能力的內(nèi)涵

對(duì)數(shù)學(xué)抽象能力的討論離不開數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。根據(jù)國(guó)內(nèi)相關(guān)研究可分為以下幾種觀點(diǎn)：1.高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組史寧中教授為代表的“三會(huì)”描述性定義(整體概況為會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界[1])；2.六種數(shù)學(xué)能力的結(jié)構(gòu)劃分；3.張奠宙為代表，在六種能力的基礎(chǔ)上強(qiáng)調(diào)情感、態(tài)度、價(jià)值觀層面重要性的觀點(diǎn)。4.呂世虎為代表的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、問題解決能力、數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)精神交叉融合的觀點(diǎn)。[2]5.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含數(shù)學(xué)思維方式、數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力及通過數(shù)學(xué)活動(dòng)進(jìn)行人格養(yǎng)成的觀點(diǎn)。[3]

聚焦幾種觀點(diǎn)，抽象能力在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的構(gòu)成中極為重要，這也是由數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)決定的。數(shù)學(xué)是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，并反映現(xiàn)實(shí)世界中事物的規(guī)律、關(guān)系和本質(zhì)。數(shù)學(xué)抽象就是數(shù)學(xué)思維的過程。多種表述中，將數(shù)學(xué)抽象歸納到重要的數(shù)學(xué)思維層體系中。

目前數(shù)學(xué)抽象能力的內(nèi)涵分析，呂世虎等專家表述中體現(xiàn)抽象中含有表達(dá)，認(rèn)為數(shù)學(xué)抽象是從數(shù)學(xué)角度識(shí)別并歸納出問題情境中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律和數(shù)學(xué)問題，并用準(zhǔn)確表述[2]；同時(shí)存在表達(dá)中含有抽象之意，體現(xiàn)為運(yùn)用數(shù)學(xué)表述和解決問題的過程中，重復(fù)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)具有抽象的特點(diǎn)；還有用其它名詞取代數(shù)學(xué)抽象的傾向，如：張奠宙、馬文杰提出：數(shù)學(xué)抽象的意義較寬泛，與其他關(guān)鍵能力多有重復(fù)；算法設(shè)計(jì)更貼近信息時(shí)代的社會(huì)需求。用“算法設(shè)計(jì)”取代“數(shù)學(xué)抽象”。不同表述都具有相同點(diǎn)，即在抽象過程中，時(shí)刻伴有表達(dá)的發(fā)生，抽象與表達(dá)交叉存在。

對(duì)數(shù)學(xué)抽象能力的界定必須體現(xiàn)其過程性，包括基于現(xiàn)實(shí)和基于邏輯的不同階段思維過程。思維的過程就是表達(dá)的過程，語(yǔ)言承載著思想；思想是思維的結(jié)果，體現(xiàn)了語(yǔ)言產(chǎn)生、發(fā)展與表達(dá)的內(nèi)心活動(dòng)。

二、數(shù)學(xué)抽象能力體系的構(gòu)建

1.現(xiàn)有數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)水平劃分情況 教育部于2018 年1 月頒布了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年)》，對(duì)數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)進(jìn)行了水平的劃分。在評(píng)價(jià)項(xiàng)目基本相同的情況下，體現(xiàn)為描述項(xiàng)目的定語(yǔ)不同，如體現(xiàn)抽象數(shù)學(xué)概念和規(guī)則標(biāo)準(zhǔn)的用語(yǔ)：

水平一：在熟悉的情境中直接抽象出數(shù)學(xué)概念和規(guī)則；

水平二：在關(guān)聯(lián)的情境中抽象出一般的數(shù)學(xué)概念和規(guī)則；

水平三：在綜合的情境中抽象出數(shù)學(xué)問題。

三種水平的確定為螺旋上升式。此種劃分是一種理想化的形式，默認(rèn)為學(xué)生在不同水平段均具有各項(xiàng)能力，只是在水平的發(fā)展上有不同的層次，忽視了學(xué)生能力發(fā)展的差異性，與學(xué)生實(shí)際能力的發(fā)展有不符之處。

2.初中數(shù)學(xué)抽象能力構(gòu)成體系分析 依據(jù)能力形成的過程性，確定初中數(shù)學(xué)抽象能力的構(gòu)成體系，由低到高分為三個(gè)層面：闡釋數(shù)學(xué)對(duì)象層、形成數(shù)學(xué)事實(shí)層、進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)層。

以一初中數(shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系問題為例，

問題：填上表格中? 表示的數(shù)：

分析：

第一個(gè)階段：觀察表格中的數(shù)，按照找規(guī)律的方式，一般情況下從序號(hào)3 一列開始分析比較容易。

將3 分解為3×1；8 分解為4×2；15 分解為5×3；24 分解為6×4…

列式即為：3=3×1；8=4×2；15=5×3；24=6×4…

將此列等式用數(shù)字、文字共用方式表述為：

因數(shù)3 與序號(hào)3 相同，因數(shù)1 比序號(hào)3 少2；

因數(shù)4 與序號(hào)4 相同，因數(shù)2 比序號(hào)4 少2；

因數(shù)5 與序號(hào)5 相同，因數(shù)3 比序號(hào)5 少2；

因數(shù)6 與序號(hào)6 相同，因數(shù)4 比序號(hào)6 少2…

本階段為闡釋數(shù)學(xué)對(duì)象層，即在具體的案例中，闡釋數(shù)學(xué)對(duì)象。

第二階段：用一句話概括數(shù)學(xué)對(duì)象，即每個(gè)序號(hào)下方的數(shù)可以分解成兩個(gè)因數(shù)的乘積，其中一個(gè)因數(shù)總與序號(hào)相同，另一個(gè)因數(shù)總比序號(hào)少2。

本階段為形成數(shù)學(xué)事實(shí)層，即在具體的案例中，抽象出規(guī)律，在特例的基礎(chǔ)上形成數(shù)學(xué)事實(shí)。

第三階段：用符號(hào)表述序號(hào)n 下方的數(shù)為n(n-2)。

進(jìn)行驗(yàn)證：當(dāng)n=1 時(shí)，1×(1-2)=1×(-1)=-1

當(dāng)n=2 時(shí)，2×(2-2)=2×0=0

演繹推廣，當(dāng)n=200 時(shí)，n(n-2)=200×(200-2)=200×198=39600。

本階段為進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)層，即在理解了相關(guān)的數(shù)學(xué)事實(shí)后，用符號(hào)化的語(yǔ)言進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)，并推廣應(yīng)用。

教師依據(jù)此體系進(jìn)行教學(xué)，可以準(zhǔn)確查找、發(fā)現(xiàn)過程性問題，確定抽象能力體系中出現(xiàn)問題的層面，進(jìn)行教學(xué)矯正。

3.初中數(shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系內(nèi)容的具體要求

(1)《課標(biāo)(2011 年版)》對(duì)數(shù)量關(guān)系內(nèi)容界定的學(xué)段目標(biāo)分析

初中階段涉及數(shù)量關(guān)系的教學(xué)內(nèi)容，呈現(xiàn)數(shù)、字母、代數(shù)式、等式、不等式、函數(shù)的教學(xué)體系。

數(shù)量關(guān)系內(nèi)容的教學(xué)脈絡(luò)呈現(xiàn)了層次性、階段性、持續(xù)性，與學(xué)生抽象能力的形成所應(yīng)具備的過程相一致。

《課標(biāo)(2011 年版)》在闡述學(xué)段總目標(biāo)的項(xiàng)目里，細(xì)化到數(shù)學(xué)抽象能力，如在運(yùn)用數(shù)學(xué)表述和解決問題的過程中，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)具有抽象的特點(diǎn)。這一闡述和數(shù)學(xué)抽象能力體系的構(gòu)建也是相互呼應(yīng)、密切聯(lián)系、相互交融的，其中情感態(tài)度層面的要求融合在體系的構(gòu)建全過程。

初中數(shù)學(xué)抽象能力的形成是需要依托具體的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)過程進(jìn)行的，正如數(shù)字2 是人們從2 匹馬、2 棵樹、2 個(gè)人、2 塊石頭等現(xiàn)實(shí)概念中產(chǎn)生一樣，這個(gè)過程是有層次的，遵循了數(shù)學(xué)發(fā)展從繁到簡(jiǎn)的認(rèn)識(shí)規(guī)律，但其形成過程借助數(shù)學(xué)抽象能力體系圖層能實(shí)現(xiàn)可視化定位。正如皮亞諾所說“數(shù)學(xué)中的一切進(jìn)步都是引入符號(hào)后的反響?！睂F(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為形式符號(hào)進(jìn)行研究，利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行深入結(jié)構(gòu)分析、規(guī)律探索，是初中數(shù)學(xué)抽象能力形成的過程。