基于多變量優(yōu)化的恒定應(yīng)力加速退化試驗(yàn)設(shè)計(jì)

劉 根, 王治華, 屈懷遠(yuǎn), 李 璐, 劉成瑞

(1. 北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院, 北京 100083;2. 北京控制工程研究所研發(fā)中心, 北京 100080)

0 引 言

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展,航空航天、工業(yè)裝備等領(lǐng)域產(chǎn)品高可靠、長壽命的特點(diǎn)日益凸顯,加之結(jié)構(gòu)復(fù)雜、造價(jià)昂貴、研制周期緊迫,難以通過傳統(tǒng)的壽命試驗(yàn)獲得足夠的失效數(shù)據(jù),這對以失效數(shù)據(jù)為分析對象的傳統(tǒng)可靠性理論形成了巨大挑戰(zhàn)[1]。由于產(chǎn)品的失效大多可以追溯到關(guān)鍵性能指標(biāo)潛在的性能退化過程,且可通過提升應(yīng)力水平加快其退化,在較短時(shí)間內(nèi)得到更豐富的壽命信息,因此加速退化試驗(yàn)已普遍應(yīng)用于長期服役產(chǎn)品的壽命評估和可靠性分析。更進(jìn)一步地,如何在有限的試樣數(shù)、試驗(yàn)時(shí)間和試驗(yàn)經(jīng)費(fèi)等客觀約束條件下,通過加速應(yīng)力水平、試樣安排及測試時(shí)間等試驗(yàn)要素的優(yōu)化設(shè)計(jì),在確保試驗(yàn)效率與評估精度的前提下,有效降低試驗(yàn)總成本,已成為當(dāng)前可靠性領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。

加速退化試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)主要包括優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建以及優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)(確定設(shè)計(jì)變量,并求解設(shè)計(jì)變量的最優(yōu)解)兩項(xiàng)關(guān)鍵問題。加速退化建模是目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建的基礎(chǔ),主要包括退化分布模型[2]、累積損傷模型[3]、退化軌道模型[4]和隨機(jī)過程模型[5-6]等。目前應(yīng)用最廣泛的是基于隨機(jī)過程的加速退化模型,基于Wiener過程的加速退化模型能夠描述多種典型產(chǎn)品的退化過程,且具有良好的計(jì)算與分析性質(zhì),已成為目前最基本、應(yīng)用最廣泛的加速退化模型之一[7]。目前,通?；诳煽啃灾笜?biāo)分析精度和模型參數(shù)估計(jì)精度來構(gòu)建加速退化試驗(yàn)的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)[8]。由于加速退化試驗(yàn)的目的是開展壽命評估和可靠性分析,基于壽命指標(biāo)估計(jì)漸進(jìn)方差的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)得到了廣泛應(yīng)用[1]。因此,本文利用基于Wiener過程的加速退化模型壽命估計(jì)的漸進(jìn)方差構(gòu)建優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。

加速退化試驗(yàn)的設(shè)計(jì)變量包括加速應(yīng)力水平、各應(yīng)力水平下的試樣分配以及各應(yīng)力水平測試時(shí)間,優(yōu)化算法旨在基于優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)和約束條件,確定設(shè)計(jì)變量的全局最優(yōu)組合,從而給出最優(yōu)試驗(yàn)方案。文獻(xiàn)[9-10]提出一種基于Wiener過程的加速退化試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法,對加速應(yīng)力水平與各應(yīng)力水平下試樣分配進(jìn)行了優(yōu)化,但該方法沒有考慮各應(yīng)力水平下測試時(shí)間的優(yōu)化問題。文獻(xiàn)[11]基于Wiener過程對試驗(yàn)試樣安排與試驗(yàn)時(shí)間進(jìn)行了優(yōu)化,但該方法無法優(yōu)化加速應(yīng)力水平。文獻(xiàn)[7]采用列舉的辦法尋求最優(yōu)試驗(yàn)方案,這種方法簡單直觀,但優(yōu)化效率不高且設(shè)計(jì)變量只能取整數(shù)。文獻(xiàn)[12]預(yù)先給定一系列試驗(yàn)方案,基于蒙特卡羅仿真方法計(jì)算各方案目標(biāo)函數(shù),根據(jù)目標(biāo)函數(shù)值的大小選取最優(yōu)解。該方法在一定程度上提高了搜索效率,但設(shè)計(jì)變量的搜索范圍依賴預(yù)先設(shè)定試驗(yàn)方案。文獻(xiàn)[13-14]針對步進(jìn)加速退化試驗(yàn)與序進(jìn)加速退化試驗(yàn)，采用降維設(shè)計(jì)變量的方法減小最優(yōu)解的搜索空間,提高了算法優(yōu)化效率,但由于該方法縮小了搜索空間,因此有可能錯(cuò)過最優(yōu)解。

綜上可見,現(xiàn)有加速退化試驗(yàn)設(shè)計(jì)的優(yōu)化算法主要面臨兩方面挑戰(zhàn):一是無法實(shí)現(xiàn)加速應(yīng)力水平、各應(yīng)力水平下的試樣分配，以及各應(yīng)力水平測試時(shí)間等多設(shè)計(jì)變量同時(shí)優(yōu)化;二是搜索最優(yōu)解的方法有一定局限性,難以在全局范圍內(nèi)確定最優(yōu)解。

本文基于Wiener過程進(jìn)行加速退化建模,以壽命指標(biāo)估計(jì)漸進(jìn)方差為基礎(chǔ)構(gòu)造優(yōu)化目標(biāo)函數(shù),建立能夠同時(shí)優(yōu)化加速應(yīng)力水平、試樣分配與測試時(shí)間等多個(gè)試驗(yàn)設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化算法,在試驗(yàn)經(jīng)費(fèi)等客觀約束條件下開展恒定應(yīng)力加速退化試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)研究。本文采用遺傳算法[15]與蒙特卡羅仿真相結(jié)合的方法,提升優(yōu)化算法效率,實(shí)現(xiàn)全局最優(yōu)解搜索,為加速退化試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供新的思路和方法。

1 加速退化試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

本節(jié)從試驗(yàn)設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)與約束條件、優(yōu)化過程及敏感性分析4個(gè)方面,闡述恒定應(yīng)力加速退化試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。

1.1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)變量

試驗(yàn)設(shè)計(jì)變量描述如下:

(1) 選擇高于工作應(yīng)力水平S0、低于產(chǎn)品極限應(yīng)力Smax的L個(gè)加速應(yīng)力水平,且S0

1.2 目標(biāo)函數(shù)與約束條件

(1)

可見,產(chǎn)品性能退化的對數(shù)似然函數(shù)與失效壽命分布是構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)的基礎(chǔ)。本文采用漂移Wiener過程描述產(chǎn)品的性能退化過程,以溫度為加速應(yīng)力,用阿倫尼斯模型描述加速應(yīng)力與產(chǎn)品退化速率的關(guān)系,由此得到產(chǎn)品恒定應(yīng)力加速退化模型為

(2)

式中,Y(t)為產(chǎn)品性能指標(biāo)在t時(shí)刻的退化量;μ(S)為漂移系數(shù),表征產(chǎn)品性能指標(biāo)的退化速率;σ>0為擴(kuò)散系數(shù),描述退化過程的分散性;B(·)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。根據(jù)加速方程,產(chǎn)品性能指標(biāo)的退化速率與加速應(yīng)力水平S有關(guān)。在加速方程中,a為常數(shù),b=-Ea/K,K為玻爾茲曼常數(shù),Ea為激活能(單位eV),S為溫度(單位為K)。

令第i個(gè)應(yīng)力水平下第j個(gè)試樣在第k個(gè)測量時(shí)刻的性能指標(biāo)退化量為yijk,Δyijk=yijk-yij(k-1),Δtk=tk-tk-1,i=1,2,…,L,j=1,2,…,mi,k=2,3,…,ni。則

(3)

由此可以得到對數(shù)似然函數(shù)為

(4)

進(jìn)一步得到信息矩陣為

(5)

其中E(·)表示對括號中內(nèi)容取期望，根據(jù)加速退化模型,在t時(shí)刻性能參數(shù)退化量服從正態(tài)分布

(6)

其中Φ(·)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，由性能退化失效定義,產(chǎn)品在t時(shí)刻失效即為在t時(shí)刻產(chǎn)品的性能指標(biāo)達(dá)到退化閾值Df?？紤]到大多數(shù)產(chǎn)品的退化過程均為不可逆過程,對于性能指標(biāo)隨時(shí)間增大的情況,可以得到在工作條件So下產(chǎn)品失效壽命分布為

(7)

令

(8)

則有

(9)

將式(5)和式(9)代入式(1)即可得到目標(biāo)函數(shù)。

假設(shè)試驗(yàn)試樣的單價(jià)為Cu,單位時(shí)間進(jìn)行試驗(yàn)所需費(fèi)用為Co,單次測試所需的費(fèi)用為Cm,則試驗(yàn)總費(fèi)用可以表達(dá)為

(10)

綜上,恒定應(yīng)力加速退化試驗(yàn)優(yōu)化問題可以表達(dá)為

(11)

1.3 試驗(yàn)優(yōu)化過程

目前加速退化試驗(yàn)設(shè)計(jì)大多從預(yù)先給定的可行方案集中搜索最優(yōu)解,這種方法效率低且容易錯(cuò)過最優(yōu)試驗(yàn)方案。針對這一問題,本文提出一種基于遺傳算法的最優(yōu)試驗(yàn)方案優(yōu)化算法,可以根據(jù)試驗(yàn)條件允許的設(shè)計(jì)變量范圍,全局搜索最優(yōu)組合。

遺傳算法是一種通過模擬自然進(jìn)化過程搜索最優(yōu)解的過程,通過選擇、交叉、變異等遺傳算子將解空間中具有最高適應(yīng)度的個(gè)體作為最優(yōu)解輸出。本文將試驗(yàn)優(yōu)化變量的不同組合編碼為二進(jìn)制的特定染色體,以試驗(yàn)設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)作為適應(yīng)度函數(shù),模擬生物遺傳過程不斷產(chǎn)生子代并計(jì)算各染色體的適應(yīng)度函數(shù),最終得到適應(yīng)度最優(yōu)的染色體,將該染色體解碼為特定試驗(yàn)優(yōu)化變量的組合,即可得到最優(yōu)試驗(yàn)設(shè)計(jì)方案。具體步驟描述如下。

步驟1確定待優(yōu)化的試驗(yàn)設(shè)計(jì)變量η=(S1,S2…SL,m1,m2,…mL,n1,n2…nL,f)及其允許解空間D。

步驟2設(shè)置種群數(shù)量、遺傳代數(shù)、復(fù)制概率、交叉概率和突變概率。

步驟3根據(jù)規(guī)定的種群數(shù)量從解空間D中生成初代染色體組。

步驟5根據(jù)種群數(shù)量、復(fù)制概率、交叉概率和突變概率生成下一代染色體組,其中目標(biāo)函數(shù)值小的父代有更大的概率被復(fù)制到下一代。

步驟6重復(fù)步驟4和步驟5,直到最佳目標(biāo)函數(shù)值的變化達(dá)到收斂條件或達(dá)到規(guī)定的遺傳代數(shù)。

1.4 敏感性分析

在加速退化試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)前,可根據(jù)產(chǎn)品設(shè)計(jì)信息、預(yù)試驗(yàn)信息或在先壽命試驗(yàn)信息預(yù)估模型參數(shù),進(jìn)而基于該預(yù)估值開展優(yōu)化設(shè)計(jì)。模型參數(shù)預(yù)估值與真實(shí)值之間可能存在偏差,該偏差可能會(huì)影響試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)的準(zhǔn)確性。因此,為確定試驗(yàn)優(yōu)化方案在模型參數(shù)存在偏差時(shí)的穩(wěn)健性,進(jìn)而驗(yàn)證優(yōu)化方案的有效性,需開展敏感性分析。

本文敏感性分析的思路為:對加速退化模型中各參數(shù)分別加入一定偏差(通常為10%),然后基于加入偏差后的加速退化模型參數(shù)值重新進(jìn)行試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì),得到新的試驗(yàn)設(shè)計(jì)優(yōu)化方案。通過對比最優(yōu)試驗(yàn)方案的波動(dòng)情況,驗(yàn)證各個(gè)模型參數(shù)存在正負(fù)偏差時(shí)對試驗(yàn)優(yōu)化結(jié)果的影響大小,從而驗(yàn)證該優(yōu)化設(shè)計(jì)方法結(jié)果的穩(wěn)健性。

2 算例分析

碳膜電阻器的電阻隨時(shí)間逐漸增大,電阻增大1.6%時(shí)視為失效,為典型性能退化過程,且退化速率與溫度有關(guān)[16]。因此,本文以溫度為加速應(yīng)力對其開展恒定應(yīng)力加速退化試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)。根據(jù)工程實(shí)際情況,試驗(yàn)前提條件如下:可供試驗(yàn)的試樣總數(shù)為15,試驗(yàn)應(yīng)力(溫度)范圍為403～463 K,試驗(yàn)總費(fèi)用上限為15 000元。

進(jìn)一步采用本文建立的方法,結(jié)合具體試驗(yàn)條件對該碳膜電阻器開展恒定應(yīng)力加速退化試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)研究。具體如下。

(1) 基于文獻(xiàn)[17]的測試數(shù)據(jù)及式(2)中的加速退化模型,得到模型參數(shù)預(yù)估真值為(a,b,σ)=(0.204,-831,0.002 75)。

(2) 確定本次試驗(yàn)設(shè)計(jì)變量定為η=(S1,S2,m1,m2,n1,n2,f),并根據(jù)試驗(yàn)條件確定其解空間。

(3) 根據(jù)第1.2節(jié)方法建立優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)與約束條件。

(4) 采用第1.3節(jié)優(yōu)化過程在試驗(yàn)設(shè)計(jì)變量的解空間內(nèi)搜索得到能使目標(biāo)函數(shù)取值最優(yōu)的試驗(yàn)方案。

假設(shè)各項(xiàng)費(fèi)用(Cu,C0,Cm)=(500,30,15)(單位時(shí)間為100 h),在不同總費(fèi)用約束條件下,試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果如表1所示。表1中,Avar為工作應(yīng)力水平下該碳膜電阻器95%可靠壽命估計(jì)的漸進(jìn)方差,表征壽命估計(jì)的精度。由結(jié)果可知,隨著試驗(yàn)總費(fèi)用約束的變化,最優(yōu)試驗(yàn)方案也不同,且試驗(yàn)費(fèi)用越多,目標(biāo)函數(shù)值越小(即評估精度越高)。

為了驗(yàn)證本文建立試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的有效性,將本文試驗(yàn)設(shè)計(jì)方案記為M0,采用工程中常用的基于平均分配原則的設(shè)計(jì)方法作為參考(記為M1),對比兩種方法得到試驗(yàn)方案對應(yīng)的95%可靠壽命估計(jì)精度,結(jié)果如表2所示。可見,本文優(yōu)化方法得到的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方案試驗(yàn)費(fèi)用更少,壽命估計(jì)的漸進(jìn)方差更小,即壽命估計(jì)精度更高。

本文進(jìn)一步對試驗(yàn)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行了敏感性分析,將加速退化模型預(yù)估值分別加入±10%的偏差。以參數(shù)a為例,分別考察其取值為90%a和110%a時(shí)最優(yōu)試驗(yàn)方案的變動(dòng)情況。敏感性分析結(jié)果如表3所示,可見,當(dāng)模型參數(shù)預(yù)估值變化時(shí),各應(yīng)力水平下的試樣分配結(jié)果不受影響,應(yīng)力水平、測試時(shí)間和目標(biāo)函數(shù)波動(dòng)均很小,表明優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果有較好的穩(wěn)健性,從而驗(yàn)證了本文建立的恒定應(yīng)力加速退化試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的有效性。

表1 不同費(fèi)用約束下試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果

表2 不同試驗(yàn)優(yōu)化方法對比結(jié)果

表3 參數(shù)敏感性分析結(jié)果

3 結(jié) 論

本文利用基于Wiener過程的恒定應(yīng)力加速退化模型,考慮可靠壽命估計(jì)精度構(gòu)建了優(yōu)化目標(biāo)函數(shù);基于遺傳算法提出了在試驗(yàn)費(fèi)用約束下加速應(yīng)力水平、各應(yīng)力水平下試樣分配和測試時(shí)間多變量的全局高效尋優(yōu)方法,從而確定最優(yōu)試驗(yàn)方案。

針對碳膜電阻器開展恒定應(yīng)力加速退化試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)研究,在不同試驗(yàn)總費(fèi)用約束下確定了最優(yōu)試驗(yàn)方案,驗(yàn)證了本文方法的可行性。

針對加速退化試驗(yàn)優(yōu)化方案開展了敏感性分析,結(jié)果表明最優(yōu)試驗(yàn)方案有良好的穩(wěn)健性,進(jìn)而驗(yàn)證了本文優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的有效性。