數(shù)學(xué)思想在高中不等式解題教學(xué)中的應(yīng)用

丁曉軍

(江蘇省海安市南莫中學(xué) 226681)

在進(jìn)入高中階段之后，不等式在數(shù)學(xué)學(xué)科中占據(jù)著重要地位，也是必考知識(shí)點(diǎn)，雖然表面上看不等式屬于數(shù)學(xué)運(yùn)算技能，但是只有學(xué)生深入了解不等式的性質(zhì)、精準(zhǔn)掌握基礎(chǔ)內(nèi)容，再結(jié)合反復(fù)的操練才能夠?qū)崿F(xiàn)靈活運(yùn)用.不管是現(xiàn)實(shí)世界、還是日常生活中，都存在著很多不對(duì)等的關(guān)系，而不等式正是刻畫(huà)這些不對(duì)等關(guān)系的關(guān)鍵模型，因此針對(duì)不等式的學(xué)習(xí)和求解有助于解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題.和初中階段相比，高中階段的不等式學(xué)習(xí)內(nèi)容更為廣泛，不等式的類型更復(fù)雜，未知數(shù)的階次也更高，因此需要對(duì)高中不等式的解法展開(kāi)深入探討和研究，以尋求更有效的教學(xué)策略.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想在解題教學(xué)中的應(yīng)用，滲透數(shù)學(xué)思想于不等式解題教學(xué)之中，能夠達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果.

一、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，讓不等式求解直觀化

華羅庚先生指出：“數(shù)無(wú)形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微.”由此也表明數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中數(shù)與形之間的微妙關(guān)系，通過(guò)數(shù)形結(jié)合能夠改變?cè)械某橄鬆顟B(tài)，可以促使宏觀圖形和微觀數(shù)值之間的相互轉(zhuǎn)化，以此實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)化題意的目的，使二者相輔相成.在高中不等式解題教學(xué)中，教師應(yīng)有意識(shí)地滲透數(shù)形結(jié)合的思想，充分利用函數(shù)圖形的直觀性，引導(dǎo)學(xué)生求解不等式中x的取值范圍.

1.借助數(shù)形結(jié)合，求解不等式取值范圍

在高中數(shù)學(xué)不等式解題指導(dǎo)教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)形結(jié)合的方式，對(duì)不等式取值范圍進(jìn)行求解.這樣，學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中就能夠有效地對(duì)不等式取值范圍進(jìn)行確定，從而達(dá)到高效解題的目的.

例如，在指導(dǎo)高中生求解“ax2+bx+c>0”及“ax2+bx+c<0” 這兩個(gè)一元二次不等式時(shí)，可以將不等式與方程函數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行有機(jī)融合，通過(guò)求解一元二次方程ax2+bx+c=0的根，并結(jié)合二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的零點(diǎn)展開(kāi)判斷，用于描述一元二次不等式的x取值范圍.這樣，學(xué)生通過(guò)二次函數(shù)的圖象，能夠形成更直觀的感知，了解函數(shù)值的取值區(qū)間，再求解一元二次方程之后，就可以根據(jù)其根判定二次函數(shù)的值在哪一點(diǎn)出現(xiàn)了變化，從而明確更精準(zhǔn)的x的取值范圍.這樣，學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中就能夠基于數(shù)形結(jié)合順利實(shí)現(xiàn)不等式的求解.

2.借助數(shù)形結(jié)合，求解不等式組取值范圍

在高中數(shù)學(xué)不等式解題指導(dǎo)教學(xué)中，也可以在二元一次不等式組的求解過(guò)程中引入數(shù)形結(jié)合，通過(guò)直觀的圖形展現(xiàn)，改變不等式的抽象狀態(tài)，結(jié)合線性規(guī)劃不等式組進(jìn)行平面展開(kāi)，不根據(jù)數(shù)學(xué)計(jì)算，從中發(fā)現(xiàn)x、y過(guò)零點(diǎn)，由此便可確定x、y的取值區(qū)間，再結(jié)合圖形分析，并能夠明確具體的取值范圍順利求解.

可見(jiàn)，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不等式解法指導(dǎo)教學(xué)需要充分展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合所具有的典型優(yōu)勢(shì)，不僅要有效滲透這一數(shù)學(xué)思想，也應(yīng)當(dāng)全面提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)合這一思維方法的應(yīng)用能力，以此推動(dòng)不等式的學(xué)習(xí)提高解題技能，既有助于發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力，同時(shí)，也培養(yǎng)了學(xué)生認(rèn)真觀察圖形的良好習(xí)慣，能夠正確總結(jié)規(guī)律，這樣才能夠使不等式的求解更易于學(xué)生理解以及吸收，使其可以高效掌握.

二、運(yùn)用化歸思想，讓不等式求解簡(jiǎn)單化

高中數(shù)學(xué)中的一些不等式是比較復(fù)雜的，高中生在解不等式的過(guò)程中，采取常規(guī)的方法往往不能夠快速地得到答案.化歸思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想.所謂化歸思想，簡(jiǎn)單地說(shuō)就是當(dāng)學(xué)生已經(jīng)存在相應(yīng)的知識(shí)或者經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合類比或者聯(lián)想等方式對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而改變問(wèn)題原有的復(fù)雜狀態(tài)，形成簡(jiǎn)單的問(wèn)題或者問(wèn)題組，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)有效解決.在高中數(shù)學(xué)不等式解題指導(dǎo)過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用化歸思想，能夠讓不等式求解簡(jiǎn)單化

針對(duì)不等式的解題，可以先將式子視為整體，之后替換其中的變量，這樣的解題過(guò)程必然會(huì)更加簡(jiǎn)便.這種不等式的轉(zhuǎn)化方法，特別強(qiáng)調(diào)的是換元以及建構(gòu)元.所謂換元法，就是以原有的等量代換為基礎(chǔ)，對(duì)其進(jìn)行延伸或者拓展，改變之前的研究對(duì)象，實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行化解.實(shí)際上，換元法也可以稱其為輔助元素法，最直觀地理解就是需要在原有的不等式中，借用或者輔助新的變量，這樣就能夠?qū)?wèn)題中的分散條件集中起來(lái)進(jìn)行綜合處理，還有益于揭示其中的隱含條件；或者也可以在解題的過(guò)程中將結(jié)論以及條件進(jìn)行結(jié)合，將原有的題意轉(zhuǎn)化為學(xué)生比較熟悉的結(jié)構(gòu)，為有效解題提供便利.

可見(jiàn)，在引入換元法之后，能夠大大簡(jiǎn)化對(duì)原有不等式的證明難度，這樣，就能夠有效地提升學(xué)生解不等式的效率.教學(xué)實(shí)踐證明，在指導(dǎo)高中生解決不等式的過(guò)程中，通過(guò)換元法是十分有效的，通過(guò)換元之后，就能夠把原本比較復(fù)雜的不等式簡(jiǎn)單化，這樣，學(xué)生就能夠達(dá)到高效解題的目的.其實(shí)，在高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，有很多地方都可以滲透換元法，特別是在不等式解題中，通過(guò)換元的策略，能夠切實(shí)提升解題效率.

三、運(yùn)用模型思想，讓不等式求解明晰化

在高中數(shù)學(xué)不等式解題教學(xué)中，運(yùn)用模型思想能夠達(dá)到事半功倍的效果.教師需要結(jié)合靈活多變的教學(xué)方式，更需要具備敏銳的目光，能夠善于發(fā)現(xiàn)生活中的典型案例，然后將其引入數(shù)學(xué)課堂中，不僅可以對(duì)學(xué)生的思維形成有效引領(lǐng)，還可以輔助不等式的學(xué)習(xí)，有助于促進(jìn)發(fā)散性思維，使學(xué)生在面對(duì)相同問(wèn)題時(shí)能夠生成不同的見(jiàn)解.對(duì)于這種教學(xué)方法而言，這就能夠讓學(xué)生在求解不等式的過(guò)程中，思路更加明晰化.

以“簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃”為例，這是高中學(xué)習(xí)過(guò)程中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)的一類題型，而且與現(xiàn)實(shí)問(wèn)題相關(guān)聯(lián)，特別注重綜合與變化，不僅揭示了不等式的幾何意義，還能夠在解決優(yōu)化問(wèn)題中體現(xiàn)其應(yīng)有的價(jià)值.針對(duì)相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)，需要鏈接學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，觸發(fā)其舊知，并帶領(lǐng)學(xué)生親歷問(wèn)題的轉(zhuǎn)化過(guò)程，將其抽象為數(shù)學(xué)模型，然后進(jìn)行解釋和應(yīng)用，不僅可以幫助學(xué)生深入體會(huì)不等式的性質(zhì)，也能夠?yàn)樘岣邇?yōu)化思想奠定扎實(shí)的根基.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，關(guān)鍵的難點(diǎn)是如何立足于現(xiàn)實(shí)生活提煉出抽象的數(shù)學(xué)模型，就此引發(fā)學(xué)生的深入剖析和探究，使學(xué)生體會(huì)并把握數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)生活之間的關(guān)聯(lián).如果選擇反轉(zhuǎn)課堂的方式將課堂延伸至課外，學(xué)生能夠結(jié)合課堂所學(xué)展開(kāi)交互行為，既有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，也能夠使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的價(jià)值，對(duì)數(shù)學(xué)形成更深入的認(rèn)知.

可見(jiàn)，高中數(shù)學(xué)教師不僅要熟悉高中數(shù)學(xué)教材，也需要掌握具有創(chuàng)新性的獨(dú)特教學(xué)方法，能夠在實(shí)際教學(xué)的過(guò)程中充分展現(xiàn)引導(dǎo)功能，促使學(xué)生展開(kāi)獨(dú)立思考.類似的問(wèn)題必然會(huì)在學(xué)習(xí)過(guò)程中再次出現(xiàn)，而此時(shí)學(xué)生便能夠通過(guò)獨(dú)立思考，快速且高效發(fā)現(xiàn)正確的解題思路.所以，最優(yōu)的教學(xué)方法就是全面提高學(xué)生的獨(dú)立思考能力，使學(xué)生可以充分利用所學(xué)順利解答問(wèn)題或者對(duì)復(fù)雜問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化，這才是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目的.

總之，在高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，不等式占據(jù)著重要地位，也是必考知識(shí)點(diǎn).《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想在解題教學(xué)中的應(yīng)用，滲透數(shù)學(xué)思想于不等式解題教學(xué)之中，能夠達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果.針對(duì)不等式的教學(xué)過(guò)程中，并不存在過(guò)難的知識(shí)點(diǎn)，所要考察的關(guān)鍵在于學(xué)生是否能夠以不等式作為解題工具，能否以此作為必要的數(shù)學(xué)模型思想，提高自身的解題能力.對(duì)于一線高中數(shù)學(xué)教師而言，必須要立足于實(shí)踐體現(xiàn)這些數(shù)學(xué)思想，需要在數(shù)學(xué)教育理論以及高考指導(dǎo)思想的引領(lǐng)下，有效地落實(shí)于教學(xué)，不僅是為了滿足學(xué)生的知識(shí)以及情感需求，同時(shí)也有助于發(fā)展學(xué)生的思維能力，提高其解題能力.