壓電分流聲子晶體桿帶隙調(diào)控研究

張亞茹，郭 輝，袁 濤，孫 裴，王巖松，程 乾

(上海工程技術(shù)大學(xué) 機械與汽車工程學(xué)院，上海 201620)

0 引言

聲子晶體是一種具有彈性波禁帶特性的人工周期結(jié)構(gòu)，在特定頻率范圍內(nèi)可以調(diào)控彈性波傳播[1]。含分流電路的壓電聲子晶體[2]可以通過對分流電路實現(xiàn)帶隙調(diào)控，結(jié)構(gòu)簡單且具有良好的機電耦合特性，使其在可調(diào)諧聲子晶體方面得到了廣泛應(yīng)用。

自Thorp等[3]首次將純電阻電路和電阻-電感(R-L)諧振電路引入周期結(jié)構(gòu)后，Qian等[4]和Chen等[5]研究了一維、二維壓電聲子晶體的帶隙可調(diào)諧性，即改變壓電分流系統(tǒng)的幾何或物理參數(shù)實現(xiàn)聲子晶體頻域性能的調(diào)控。由于基于諧振分流電路的聲子晶體獲得的局域共振帶隙窄且?guī)秲?nèi)衰減量小，因此，研究者們設(shè)計出了更復(fù)雜的分流電路以獲得寬頻帶、強衰減的帶隙。Wu等[6]和Fleming等[7]采用流阻型和流通型多模態(tài)諧振分流電路，在一個分流電路上并聯(lián)多個諧振電路分支進行振動控制,但該種電路連接方式增加了電路的復(fù)雜性，實際應(yīng)用中存在局限性。2004年，Park等[8]發(fā)現(xiàn)負(fù)電容可以抵消壓電片固有電容，增大機電耦合系數(shù)，從而減小電路損失，并將電阻、電感、負(fù)電容串聯(lián)的負(fù)阻抗電路(NIC)應(yīng)用于梁結(jié)構(gòu)，極大地拓寬了帶隙寬度。此后，負(fù)電容被廣泛應(yīng)用于壓電聲子晶體的振動控制[9-13]。

將壓電片及連接的分流電路稱為一個壓電分流單元，以上研究中均研究了元胞中包含單個壓電分流單元的情況。本文在元胞中布置多個壓電分流單元，采用R-L與負(fù)電容并聯(lián)的分流電路，改變元胞中含有不同電路參數(shù)的壓電分流單元個數(shù)，并運用遺傳算法對電路參數(shù)進行優(yōu)化，尋求電感值與負(fù)電容值的最佳匹配。

1 壓電聲子晶體桿模型

壓電聲子晶體桿由基體桿、壓電片和分流電路3個部分構(gòu)成。長度為lp的壓電片周期性地粘貼在基體桿的上下表面，忽略粘貼層對結(jié)構(gòu)的影響。粘貼有壓電片的部分為A，長度與壓電片長度相同，未粘貼有壓電片的部分為B，長度為l，兩部分相加為元胞的晶格常數(shù)a，如圖1所示。圖中，w為基體桿、壓電片寬度，tr為基體桿厚度，tp為壓電片厚度。每個壓電片連接獨立的分流電路(由電阻R、電感L及負(fù)電容Cn并聯(lián)組成)。本文根據(jù)元胞中包含的壓電分流單元個數(shù)的不同設(shè)計了3種元胞配置：配置Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ型元胞分別包含1個、2個和4個壓電分流單元，且每個壓電分流單元中的電路元件參數(shù)互不相同。

圖1 壓電聲子晶體桿及3種元胞配置示意圖

1.1 物理模型

假設(shè)壓電片沿z方向極化，除厚度端面外其余表面均自由，則壓電方程為

(1)

每個分流電路的阻抗為

(2)

式中s為拉普拉斯算子。假設(shè)由正壓電效應(yīng)壓電片產(chǎn)生的電場為勻強電場，壓電片內(nèi)應(yīng)變和電極上電位移相等，分流電路的作用相當(dāng)于附加彈性模量：

(3)

式中：hp為壓電片厚度；As為壓電片面積；Cp為壓電片固有電容，其計算式為

(4)

1.2 動力學(xué)模型

該結(jié)構(gòu)是由每個元胞周期排列而成，因此只需對單個元胞進行動力學(xué)建模并結(jié)合Floquet定理即可得到整個桿中的波傳播特性，桿的振動方程為

(5)

式中：ρ、E為桿的密度和彈性模量；u(x,t)為桿在x處的振動位移。

對于無限周期邊界條件，可以使用傳遞矩陣法和Bloch定理計算帶隙，得到特征值方程：

det[T(ω)-eikaI]=0

(6)

式中：T為傳遞矩陣；I為單位矩陣；k=δ+iε為傳播常數(shù)，實部δ為衰減常數(shù)，虛部ε為相位常數(shù)。當(dāng)δ=0時，彈性波可以無損的從一個周期傳播到下一個周期；當(dāng)δ≠0時，彈性波的傳播存在衰減，在這些頻率范圍內(nèi)形成帶隙。

1.3 負(fù)電容的等效計算

負(fù)電容與諧振電路連接如圖1(b)～(d)所示，其中，LC電磁振蕩回路被用于產(chǎn)生局域共振帶隙，并聯(lián)的負(fù)電容可以“抵消”壓電片的固有電容，增加機電耦合系數(shù)，且負(fù)電容分流器中的電阻可以在更大的頻率范圍內(nèi)耗散能量。負(fù)電容可以通過運算放大電路模擬實現(xiàn)，由1個電容器、2個電阻器和1個運算放大器(OpAmp)組成(見圖2)，調(diào)節(jié)合成電路中的電阻可以獲得任何負(fù)電容值。為保證電路的穩(wěn)定性，負(fù)電容的絕對值應(yīng)大于壓電片固有電容，其等效電容值為

(7)

圖2 負(fù)電容合成電路

2 數(shù)值計算與討論

基于上述壓電聲子晶體桿數(shù)學(xué)模型進行帶隙結(jié)構(gòu)數(shù)值及仿真計算,相關(guān)材料及幾何參數(shù)如表1所示。

表1 基體桿所用幾何與材料參數(shù)

配置Ⅰ型壓電聲子晶體桿帶隙結(jié)構(gòu)如圖3所示，當(dāng)電路短路時，只存在圖中實線部分所示的帶隙結(jié)構(gòu)，這是由于壓電分流系統(tǒng)與基體桿間的布喇格(Bragg)散射引起的，稱為Bragg帶隙。電路通路時(R=20 Ω,L=0.06 H,C=-3×10-9F)，分流電路中的電感與電容產(chǎn)生電磁振蕩，形成局域共振帶隙(見圖3中的虛線)。電路參數(shù)影響局域共振帶隙中心頻率位置，但幾乎難以改變其頻帶寬度，且基于壓電分流系統(tǒng)的聲子晶體獲得的局域共振帶隙較窄。本文嘗試改變元胞中包含的壓電分流單元個數(shù)(配置Ⅱ、Ⅲ型)，且每個壓電分流單元電路參數(shù)互不相同，則電路諧振頻率不同，即可在多個頻段內(nèi)產(chǎn)生電磁振蕩，進而產(chǎn)生多個局域共振帶隙，為帶隙調(diào)控提供更多的實施途徑。3種元胞配置中配置Ⅰ、Ⅱ型的a相同，但配置Ⅱ型中布置了2個壓電分流單元，則會有2個不同的諧振頻率，即可產(chǎn)生2個局域共振帶隙；同理，配置Ⅲ型中包含4個壓電分流單元，則可產(chǎn)生4個局域共振帶隙，如圖4所示。

圖3 壓電聲子晶體桿的帶隙結(jié)構(gòu)(配置Ⅰ)

圖4 3種元胞配置下壓電聲子晶體桿的帶隙結(jié)構(gòu)

以上壓電聲子晶體桿局域共振帶隙中心頻率可由分流電路諧振頻率[14]近似得到，即

(8)

由式(8)可知，L與Cn均對局域共振帶隙有影響，電感值增大帶隙向低頻移動，但帶寬減?。籆n值增大帶隙內(nèi)衰減增大，但帶隙向高頻移動。因此，當(dāng)確定預(yù)期目標(biāo)頻段時，僅通過式(8)難以直接計算得到可以使帶隙寬度和平面波衰減幅度最大化時的電路參數(shù)值。對此，采用遺傳算法對電路參數(shù)L,Cn進行優(yōu)化，充分利用分流電路實現(xiàn)壓電聲子晶體的帶隙可調(diào)諧性。

以上結(jié)構(gòu)中配置Ⅲ型得到的4個局域共振帶隙，可運用遺傳算法將其合并為一個寬帶，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為

(9)

式中：ObjV為目標(biāo)函數(shù)；W為單個局域共振帶隙寬度；f1，f4分別為從低頻到高頻第1、4個局域共振帶隙的中心頻率。目標(biāo)函數(shù)的分母為第1～4局域共振帶隙的寬度與3倍單個局域共振帶隙寬度的差值，差值盡可能小，從而保證合并帶隙的寬度；分子為目標(biāo)頻段內(nèi)衰減常數(shù)的積分，積分盡可能大，從而確保合并帶隙的衰減量。確定優(yōu)化對象L,Cn及ObjV后，遺傳算法模擬自然進化過程，可以高效地進行最優(yōu)解搜索。隨機產(chǎn)生初始種群，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)評估初始種群染色體的適應(yīng)度，通過選擇、交叉及變異等操作生成子代染色體，為確保帶隙不重疊地落在目標(biāo)頻段內(nèi)，終止準(zhǔn)則中添加一項峰值判斷語句，最后得到最優(yōu)參數(shù)值。優(yōu)化結(jié)果如圖5(a)所示，一個壓電分流單元得到的單個局域共振帶隙寬約為150 Hz，將4個帶隙合并后可得到一個約500 Hz(2 900～3 400 Hz)的寬帶；同時也可設(shè)置兩個目標(biāo)頻段，將4個帶隙兩兩合并可得如圖5(c)所示的兩個寬帶，實現(xiàn)多頻帶調(diào)諧。

圖5 配置Ⅲ型優(yōu)化后的帶隙結(jié)構(gòu)及傳輸特性曲線

彈性波在結(jié)構(gòu)中的傳輸特性為

(10)

式中Win，Wout分別為輸入和輸出端的位移(見圖5(b)、(d))，傳輸特性曲線與衰減常數(shù)曲線具有良好的匹配性。

為了進一步驗證上述帶隙調(diào)控方法，利用多物理場仿真軟件COMSOL對以上結(jié)構(gòu)進行有限元模擬。為提高計算精度簡化計算，取4個含有單個壓電分流單元的元胞為1個周期，材料及結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。在桿左側(cè)，即未粘貼壓電片的一端施加沿x方向、大小為1×10-5m的恒定位移，在兩端拾取位移響應(yīng)計算傳輸特性。圖6為COMSOL計算傳輸特性。由圖可知，在2 750～3 890 Hz時出現(xiàn)4個局域共振帶隙。為了直觀地看出不同壓電分流單元對彈性波的局域效果，選取帶隙外和4個局域共振帶隙內(nèi)的振型圖(見圖7)。帶隙外f0=4 410 Hz時，桿件的激勵幾乎無損耗地傳輸?shù)接叶?，無抑振效果，表面應(yīng)力最大值為1.51×109N/m2；第1條帶隙內(nèi)f1=2 930 Hz時，桿件的振動局域在兩個周期的第1個壓電分流單元內(nèi)，右端幾乎無波傳播；第2條帶隙內(nèi)f2=3 150 Hz時，桿件的振動局域在兩個周期的第2個壓電分流單元內(nèi)；第3條帶隙內(nèi)f3=3 470 Hz及第4條帶隙內(nèi)f4=3 890 Hz時，桿件的振動分別被局域在兩個周期的第3、4個壓電分流單元內(nèi),應(yīng)力最大值為3.49×107N/m2，對比帶隙外表面應(yīng)力，相差2個數(shù)量級，達到了很好的抑振效果。以上仿真結(jié)果驗證了當(dāng)元胞中含有多個諧振頻率不同的分流電路時，可以產(chǎn)生相應(yīng)數(shù)量的局域共振帶隙，且?guī)秲?nèi)的波被局域在具有相應(yīng)諧振頻率的壓電分流單元內(nèi)，從而阻止波的傳播呈現(xiàn)帶隙特性。

圖6 COMSOL計算傳輸特性

圖7 不同頻率下壓電聲子晶體桿的振型圖

3 結(jié)論

本文設(shè)計了3種不同配置、含有負(fù)電容諧振分流電路的壓電聲子晶體桿，并對其進行了理論建模及仿真驗證，可以得到如下結(jié)論：

1) 針對一維壓電聲子晶體桿模型，提出了3種含有多個壓電分流單元的元胞配置，元胞中多個諧振頻率不同的壓電分流單元可以產(chǎn)生多個局域共振帶隙，為帶隙調(diào)控提供了更多的可能。

2) 分流電路中的電路元件參數(shù)均可影響電磁振蕩，進而影響局域共振帶隙。為使目標(biāo)頻段內(nèi)帶隙寬度和平面波抑制幅度最大化，可以采用算法進行優(yōu)化，得到電路參數(shù)的最佳匹配值，實現(xiàn)帶隙合并或多頻帶調(diào)諧，為帶隙調(diào)控提供了更多的方法。

含壓電分流電路的聲子晶體桿具有附加質(zhì)量小，結(jié)構(gòu)簡單等優(yōu)點，且僅通過壓電分流單元即可實現(xiàn)帶隙調(diào)控，無需改變結(jié)構(gòu)。