李自強
(唐山職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機電工程系, 河北 唐山 063000)
電機作為機械動力之源,電機的振動直接影響設(shè)備的運行安全、產(chǎn)品的精度及噪聲的產(chǎn)生等. 因此電機振動問題受到了廣泛關(guān)注. 電機的結(jié)構(gòu)部件轉(zhuǎn)子和定子的弱非線性振動研究已有許多成果,其中關(guān)于對轉(zhuǎn)子、定子系統(tǒng)振動影響因素研究較多[1-4],關(guān)于電機端蓋結(jié)構(gòu)的振動研究文獻很少.電機端蓋作為電機主要結(jié)構(gòu)之一,其振動將對電機的使用性能造成直接影響.熊煥國等將電機端蓋離散為若干有限的單元進行分析,并將理論一階頻率與實驗數(shù)據(jù)進行了對比,得出轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速受端蓋低階固有頻率影響[5]; 侯朝勝根據(jù)電機端蓋的結(jié)構(gòu)特點將其簡化為薄板圓環(huán),建立其多種約束條件作用下的振動微分方程,并對其超諧共振進行分析,但其未考慮強非線性對系統(tǒng)的影響[6]. 文[7]建立載荷對稱端蓋的動力學(xué)方程,考慮強非線性參數(shù)對系統(tǒng)振動的影響,并進行了數(shù)值分析.
基于上述原因,本文在文[7]的基礎(chǔ)建立結(jié)構(gòu)對稱的電機端蓋在受載不對稱情況下的振動模型,考慮強非線性參數(shù)對定子、轉(zhuǎn)子與端蓋耦合振動的影響,通過改進的MLP法[7]得到定常解,分析系統(tǒng)的一次解析解,并通過不同相關(guān)參數(shù)分析對電機端蓋的振動影響. 研究結(jié)果對電機的減振、避振設(shè)計具有實際意義.
圖1 電機端蓋結(jié)構(gòu)簡圖
圖1為結(jié)構(gòu)對稱的電機端蓋結(jié)構(gòu)簡圖,將其簡化為圓環(huán)薄板,其振動基本方程為動態(tài)卡門偏微分方程[8],即:
(1)
(2)
電機端蓋的約束特點為內(nèi)、外邊緣固定夾緊,因此邊界條件為:
(3)
應(yīng)用伽遼金(Galerkin)法,將振動方程的撓度函數(shù)進行空間和時間分離,即設(shè)定軸承端蓋的瞬時撓度為:
W(ξ,t)=hu(t)w(ξ)
(4)
式中:h為板厚,u(t)是僅關(guān)于時間t的無量綱變量函數(shù),由振動控制方程給出. 在qcosωt激勵作用下,設(shè)振型試函數(shù)w(ξ)為無量綱的自然數(shù)項冪函數(shù)[8],即:
w(ξ)=c0+c2ξ+c2ξ2+c3ξ3+ξ4
(5)
將式(5)代入式(4),再進行求偏導(dǎo)運算得:
(6)
由電機端蓋邊緣固定夾緊的邊界條件和端蓋厚度h與關(guān)于時間t的無量綱函數(shù)u(t),兩者不能恒為零,則在電機端蓋外邊緣固定夾緊時,即在(ξ=1)有[8]:
(7)
同理考慮軸承端蓋內(nèi)邊緣夾緊固定(ξ=0.41)時邊界條件:
(8)
聯(lián)立以上兩組邊界條件方程解得:
c0=0.3247;c2=-2.8312;c4=5.6883;c6=-4.1818.
將解代回式(5)后再代入式(2)解得:
(9)
將式(9)式和(4)代入式(1)得:
(10)
式中:
(2c2+6c3ξ1+12ξ2)
應(yīng)用伽遼金(Galerkin)法消除殘余值[9]:
(11)
計算得電機端蓋在結(jié)構(gòu)對稱受載不對稱情況下的非線性振動控制方程:
(12)
根據(jù)電機端蓋系統(tǒng)振動方程非線性項可知該系統(tǒng)為強非線性系統(tǒng),采用處理強非線性方程的改進MLP法對系統(tǒng)進行分析,同時考慮頻率和相位變化關(guān)系令τ=ωt-θ,并設(shè)K=Fcosθ,H=Fsinθ,則式(12)可化解為:
(13)
因微小的同頻外激勵就能使系統(tǒng)產(chǎn)生共振,所以可將激勵小參數(shù)化進行分析:
(14)
令ω2有關(guān)于ε的展開的級數(shù)關(guān)系:
(15)
引入變換參數(shù):
(16)
由式(15)可得:
(17)
將式(17)代入式(15)有:
(18)
利用泰勒公式對式(18)進行展開得:
(19)
設(shè)u(τ)可展開為關(guān)于α級數(shù)形式:
u(τ)=u0(τ)+αu1(τ)+α2u2(τ)+…
(20)
將式(15)~(20)代入是式(14)中得:
(21)
將式(21)展開并比較關(guān)于α的次冪得:
關(guān)于α0
(22)
關(guān)于α1
(23)
設(shè)關(guān)于方程α0的解的形式有:
u0(τ)=Acosτ+Bsinτ
(24)
將式(24)代入式(23)可得:
(25)
式(25)中的NST為不長期存在項,提取永年項并令其等于零有:
(26a)
(26b)
已知H2+K2=F2,再令A(yù)2+B2=a2,讓式(26a)與(26b)平方相加并整理得:
(27)
式(27)為電機端蓋系統(tǒng)的強非線性主共振響應(yīng)方程.
式(24)是系統(tǒng)在周期力作用下的0階近似解,電機端蓋在應(yīng)用時通過緊固螺釘固定在電機機身上,因此考慮其實際工作情況,將邊界條件設(shè)置為:
(28)
式中的a取值范圍0.001~0.005 m.
解得關(guān)于α0方程的解為:
u0(τ)=acosτ
(29)
將其代入式(23)解關(guān)于一次冪式得:
(30)
式中C1,C2是待定系數(shù),u1(τ)是對u(τ)的修正的派生解,故令其初始條件都為零,即:
(31)
解u1(τ)得:
(32)
所以系統(tǒng)振動的一次近似解為:
(33)
電機端蓋參數(shù)為:c=0.001;ρ=7 800 kg/m3;r2=0.11 m;h=0.008 m;ν=0.33;E=2.1×1011Pa;q=5 N;k=1 373.1;λ=4.3191;D=Eh3/12(1-ν2)=10 056 Pa·m3.
當電機端蓋在一定的振動幅值及其約束范圍之內(nèi)時,選取振幅a為0.002 m時,通過數(shù)值仿真軟件計算得振動方程解析解的時間響應(yīng)曲線如圖2所示.由圖2中電機端蓋主共振系統(tǒng)0階和1階近似解曲線可以看出,振動幅值隨階次的增長有明顯升高,同時1階曲線有較明顯的滯后性.
圖2 振動方程解析解的時間響應(yīng)曲線
將參數(shù)代入式(27)并對其進行數(shù)值計算與分析,參數(shù)選取參考解析解時所給參數(shù). 可以得到系統(tǒng)在不同外激勵q、阻尼c、厚度h和外半徑r2作用下的幅頻響應(yīng)曲線,如圖3所示.通過分析明顯可見在單一參數(shù)發(fā)生變化時,系統(tǒng)的共振區(qū)間和振幅都有較大變化.圖3a為外激勵在q=0.5 N和q=0.8 N作用下的幅頻響應(yīng)曲線,隨著外激勵力的增大,系統(tǒng)的共振區(qū)間也隨之增寬,外界激勵的改變對系統(tǒng)的共振影響主要體現(xiàn)在振動區(qū)域增大. 圖3b為不同阻尼c作用下的系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線,阻尼增大振幅減小,可有效緩解系統(tǒng)振動. 圖3c為端蓋結(jié)構(gòu)參數(shù)厚度h變化的系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線,端蓋厚度的變化對系統(tǒng)振動響應(yīng)曲線有明顯影響,隨著端蓋厚度是增加,振動響應(yīng)曲線向右偏置,同時振幅也有所降低. 圖3d為結(jié)構(gòu)參數(shù)外半徑r2對系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線影響曲線,當端蓋的外半徑r2越大時,在同等條件和激勵下振動幅值越大,系統(tǒng)的非線性越顯著.
圖3 系統(tǒng)在不同外激勵q、阻尼c、厚度h和外半徑r2作用下的幅頻響應(yīng)曲線
通過動態(tài)卡門方程和伽遼金法建立電機端蓋的強非線性振動方程,應(yīng)用改進的MLP法對系統(tǒng)進行理論分析,利用數(shù)值分析軟件通過參數(shù)帶入解出其周期幅頻響應(yīng)曲線,得出振動幅值隨階次的增長有明顯升高,同時高階曲線有較明顯的滯后性. 同時通過對系統(tǒng)的振動方程進行分析,在不同結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化時系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線有明顯變化,結(jié)構(gòu)參數(shù)變化得到的幅頻響應(yīng)曲線符合實際振動規(guī)律.因此,可以為優(yōu)化電機端蓋結(jié)構(gòu)尺寸提供理論依據(jù).