定點脈沖信號作用下Duffing-Rayleigh系統(tǒng)的混沌預測

牛玉俊, 喬俊峰, 胡雙年

(南陽理工學院 數(shù)理學院,河南 南陽 473004)

脈沖系統(tǒng)是一種典型的非光滑系統(tǒng),它的向量場和Jacobi矩陣都是不連續(xù)的。分析它的動力學行為,可以發(fā)現(xiàn)奇怪吸引子、倍周期分岔、Hopf分岔等常見的非線性現(xiàn)象,以及由非光滑特點所引起的擦邊分岔、顫振分岔、Fold分岔、角點分岔等,其運動行為也更加復雜,通往混沌的途徑更加多樣[1-4]。Melnikov函數(shù)在非線性動力系統(tǒng)的研究中具有重要的地位,它給出了一種預測混沌的解析方法。該函數(shù)計算了穩(wěn)定流形與不穩(wěn)定流形之間的距離,可通過判斷該函數(shù)是否有簡單零點,來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定流形與不穩(wěn)定流形是否會橫截相交,從而判斷系統(tǒng)是否會出現(xiàn)Smale馬蹄意義下的混沌。需要注意的是,該方法只是得到系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的一個必要條件。

文獻[5-10]利用Lyapunov-Schmidt方法研究了脈沖系統(tǒng)的Melnikov方法,但是將Melnikov方法直接應用到脈沖非線性系統(tǒng)典型動力學行為的相關研究很少;文獻[11]研究了一類碰撞系統(tǒng)的Melnikov函數(shù),并將其應用到雙邊碰撞Duffing系統(tǒng)的混沌預測中;文獻[12-15]研究了幾個多碰撞系統(tǒng)Melnikov函數(shù),并給出了數(shù)值模擬,取得了較好的效果。

本文在文獻[11-17]的基礎上,考察定點脈沖信號作用下非線性系統(tǒng)Melnikov函數(shù)的構(gòu)造方法,給出一種定點脈沖系統(tǒng)Melnikov函數(shù)的解析表達式,并將其應用到脈沖信號作用下Duffing-Rayleigh系統(tǒng)的混沌預測中,得到了該系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的解析條件,最后的數(shù)值實驗驗證了理論結(jié)果的正確性及有效性。

1 定點脈沖系統(tǒng)的Melnikov函數(shù)

定點脈沖系統(tǒng)可表示為:

(1)

其中,x0為脈沖發(fā)生的位置;y-、y+分別表示脈沖發(fā)生前、后y的狀態(tài);X=[xy]T;F(X)=[yf(X)]T;G(X,t)=[0g(X,t)]T;ε為充分小的正數(shù);α為控制參數(shù)。為方便敘述,將(1)式表示的系統(tǒng)稱為系統(tǒng)(1),下文的系統(tǒng)名稱與此類似。系統(tǒng)(1)的示意圖如圖1所示。

圖1中,Σt0={(X,θ)∈R2×S1|θ=t0∈(0,T]},表示全局橫截面,其中S1表示在時間T內(nèi)運動所產(chǎn)生的圓。

圖1 系統(tǒng)(1)示意圖

當ε=0時,得未擾系統(tǒng),即

(2)

設Xh(t)=[xh(t)yh(t)]T,為未擾系統(tǒng)(2)的同宿軌,擾動系統(tǒng)(1)的非光滑同宿軌為:

Tε,h,±=Th,±+εTh,1,±+o(ε2)

(3)

(4)

考慮下式:

其中,算符Λ定義為:

AΛB=a1b2-a2b1,

A=[a1a2]T,B=[b1b2]T。

類似于光滑系統(tǒng)的推導,對任意的t≠Tε,h,-,有

則穩(wěn)定流形與不穩(wěn)定流形之間的距離為:

(5)

對于(5)式第2個等號右側(cè)的各項,由經(jīng)典的Melnikov方法[11],可知:

(6)

(7)

(8)

由(3)式、(4)式可知:

-εα(yh(Th,-))2+o(ε2)

(9)

于是(9)式為:

(10)

從而由(5)～(8)式及(10)式可知:

(11)

故有如下的定點脈沖信號作用下非線性系統(tǒng)Melnikov定理。

定理1 對系統(tǒng)(1)及充分小的ε,系統(tǒng)(1)的一階Melnikov函數(shù)為:

(12)

若(12)式出現(xiàn)簡單零點,即存在t0使得M(t0)=0,M′(t0)=0,則系統(tǒng)(1)可能出現(xiàn)Smale馬蹄意義下的混沌。

2 數(shù)值實驗

為檢驗定理1的正確性及有效性,考察如下定點脈沖信號作用下的Duffing-Rayleigh系統(tǒng):

(13)

其中,X=[xy]T;F(X)=[ybx-cx3]T;G(X,t)=[0ay-ay3+rcos(ωt)]T;x0為系統(tǒng)(13)發(fā)生脈沖的點;a、b、c、r、ω均為參數(shù)。

當ε=0時,(13)式可表示為未擾系統(tǒng)形式,即

(14)

系統(tǒng)(14)是一個Hamilton系統(tǒng),它的Hamilton函數(shù)為:

其中

當參數(shù)取值為b=1,c=1,x0=1時,未擾系統(tǒng)(14)的相圖如圖2所示。從圖2可以看出,系統(tǒng)存在同宿周期軌。

圖2 系統(tǒng)(14)的相圖

由(12)式知系統(tǒng)(13)的Melnikov函數(shù)為:

令M(t0)=0,得:

其中

令

(15)

r=2.0,b=1.1,c=4.0,ω=3,x0=0.5

(16)

圖3 混沌閾值圖

為驗證上述理論結(jié)果的正確性,當參數(shù)按(16)式取值時,畫出參數(shù)a和α的分岔圖,如圖4所示。從圖4可以看出,系統(tǒng)(13)存在周期1運動,并通過2次倍周期分岔進入混沌狀態(tài)。

圖4 系統(tǒng)(14)的分岔圖

a取值分別為1.0、2.5、2.8,α=5,a、α3種組合點在圖3的閾值線之下處于穩(wěn)定區(qū)域,應為周期運動;同時其余參數(shù)按(16)式取值,得到此時的相圖,如圖5所示。圖5a所示為系統(tǒng)(13)做周期1運動,圖5b所示為周期2運動，圖5c所示為周期4運動。

圖5 系統(tǒng)(13)做周期運動時的相圖

取a=3.1,α=5,該參數(shù)組合在圖3中閾值線之上,處于混沌區(qū)域,應為混沌運動狀態(tài);同時其余參數(shù)按(16)式取值,畫出此時的相圖,如圖6所示。

從圖6可以看出,此時系統(tǒng)為混沌運動。

圖6 系統(tǒng)(13)的混沌運動時的相圖

圖4～圖6的數(shù)值結(jié)果與理論結(jié)果相符,這也說明了本文所得Melnikov函數(shù)的正確性和有效性。需要說明的是,從圖6可以觀察到在x0的右側(cè),也有曲線出現(xiàn),而不像碰撞系統(tǒng)那樣只會在x0的左側(cè)出現(xiàn)曲線,這是正?，F(xiàn)象,這也是脈沖系統(tǒng)和碰撞系統(tǒng)的區(qū)別之一。

3 結(jié) 論

本文研究了具有定點脈沖信號作用下非線性系統(tǒng)的Melnikov函數(shù),給出一種定點脈沖系統(tǒng)Melnikov函數(shù)表達式。為驗證該函數(shù)的有效性,將該函數(shù)應用到定點脈沖信號作用下Duffing-Rayleigh系統(tǒng)的混沌預測中,推導出該系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的解析條件,最后用數(shù)值模擬驗證了理論結(jié)果的正確性,說明了本文Melnikov函數(shù)的正確性及方便實用性。