離散SEIS傳染病模型動力學(xué)研究

周 盼，熱木孜亞·熱布哈提，王建鵬

(新疆醫(yī)科大學(xué)醫(yī)學(xué)工程技術(shù)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830011)

隨著社會的不斷進(jìn)步與發(fā)展，傳染病成為威脅人類生存和繁衍的“隱形殺手”.近年來，許多專家和學(xué)者致力于防控傳染病傳播工作，并提出了很多疾病防控方面的建設(shè)性意見.隨著數(shù)理科學(xué)的不斷發(fā)展，將數(shù)學(xué)應(yīng)用到傳染病預(yù)防和控制中已凸顯成效.數(shù)學(xué)工作者已經(jīng)借助微分方程理論、差分方程理論、概率論等知識做了大量的疾病防控研究工作[1-3].

眾所周知，高維連續(xù)模型能更好地刻畫事物的發(fā)展?fàn)顟B(tài)，而高維連續(xù)模型的精確解求解確是非常困難的，但現(xiàn)實生活要求我們給出連續(xù)模型解或者模型解的性質(zhì).因此，研究連續(xù)模型對應(yīng)離散模型的數(shù)值解就顯得至關(guān)重要.通過研究數(shù)值解性質(zhì)可以得到一些精確解的性質(zhì)，從而為更好地闡述事物的發(fā)展?fàn)顟B(tài)提供理論依據(jù).通常，將連續(xù)模型離散化的方法有歐拉差分法和Runge-Kutta方法等.隨著科學(xué)的進(jìn)步，Micken提出新的離散方法——非標(biāo)準(zhǔn)差分方法[4-5]，該方法可以減少連續(xù)模型離散化后信息的丟失.

1 數(shù)學(xué)模型

在文獻(xiàn)[6]考慮了病人在潛伏期和染病期都有傳染性，研究了一類具有飽和發(fā)生率的SEIS連續(xù)時間傳染病模型：

受以上工作的啟發(fā)，本文僅考慮病人在染病期具有傳染性，且發(fā)生率是標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率的情形.應(yīng)用Micken非標(biāo)準(zhǔn)差分方法建立具有標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率的離散SEIS傳染病模型如下：

(1)

其中，函數(shù)φ(h)是一個分母函數(shù)[7]，定義如下：

在標(biāo)準(zhǔn)離散格式中用分母函數(shù)φ(h)(0<φ(h)<1)代替標(biāo)準(zhǔn)分母函數(shù)h，其中φ(h)=h+ο(h2)，h是數(shù)值計算的時間步長.

特別地，取φ(h)=h=1，得到如下離散模型：

(2)

其中：A表示t時刻輸入人口常數(shù)；β表示疾病的傳播率；d表示自然死亡率；γ1表示病毒攜帶者的治愈率；γ2表示患病者的治愈率；α表示潛伏期人群轉(zhuǎn)為感染者的轉(zhuǎn)移率；δ表示感染者患病的死亡率.本文就模型(2)展開研究，模型(1)的研究可類似進(jìn)行.

2 模型分析

依據(jù)實際疾病傳播背景，假定模型(2)的任意解滿足如下的初始條件

S(0)>0，E(0)≥0，I(0)≥0

.

(3)

定義模型(2)的基本再生數(shù)：

首先，對于模型(2)解的正性、有界性和平衡點(diǎn)的存在性，有下述引理:

引理1假設(shè)(S(t)，E(t)，I(t))是模型(2)具有初始條件(3)的任意解，當(dāng)t>0時，則(S(t)，E(t)，I(t))是正的且一致有界.

證明:由于(S(t)，E(t)，I(t))是模型(2)具有初始條件(3)的解，則模型(2)等價于下述形式：

(4)

當(dāng)t=0時，方程組(4)變成如下形式：

類似的方法依次遞推得，對于t>0有

S(t)>0，E(t)≥0，I(t)≥0.

這說明系統(tǒng)(2)的解(S(t)，E(t)，I(t))是存在唯一的正解.

下面，給出有界性的證明.由模型(2)的第4式有

利用放縮法可得

對上式兩邊同時取上極限得

即模型(2)的任意解(S(t)，E(t)，I(t))是一致有界的.證畢.

注1定義如下集合

由引理1證明知，對于系統(tǒng)(2)，集合B是一個正不變集.

(ⅱ)當(dāng)R0>1時，模型(2)存在唯一的地方病平衡點(diǎn)W1(S*，E*，I*).

證明:由模型(2)可得

(5)

把E*代入方程組(5)的第2式得

將S*和E*代入方程組(5)的第1式得

因此，當(dāng)R0>1時，模型(2)存在唯一的地方病平衡點(diǎn)W1(S*，E*，I*).證畢.

對于模型(2)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，我們有下述結(jié)果：

定理1對于模型(2)在初始條件(3)下，下述事實成立：

通過計算可得

上述線性化方程組的系數(shù)矩陣如下：

其中

則系數(shù)矩陣C的特征方程為

確定，其中

由于

由于系統(tǒng)(2)在地方病平衡點(diǎn)W1(S*，E*，I*)處的線性化方程較為復(fù)雜，不便于理論計算，因此，下面給出一個地方病平衡點(diǎn)W1(S*，E*，I*)穩(wěn)定性的猜想，并通過數(shù)值模擬驗證猜想的正確性.

猜想1對于模型(2)，若R0>1，則地方病平衡點(diǎn)W1(S*，E*，I*)是局部漸近穩(wěn)定的.

3 數(shù)值模擬

取參數(shù)A=4，β=0.8，γ1=0.225，d=0.5，δ=0.3，γ2=0.001，α=0.14.通過計算得到模型(2)的基本再生數(shù)R0=2.330 4>1.因此，模型(2)存在唯一的地方病平衡點(diǎn)(S*，E*，I*)=(5.15，5.35，0.94)，由圖1可以看出W1(S*，E*，I*)是局部漸近穩(wěn)定的.

通過上述的數(shù)值模擬顯示，當(dāng)R0>1 時，地方病平衡點(diǎn)(S*，E*，I*)=(5.15，5.35，0.94)是局部漸近穩(wěn)定的.

4 參數(shù)敏感性分析

利用拉定超立方抽樣(Latin Hypercube Sampling)方法進(jìn)行參數(shù)的敏感性分析已被廣泛應(yīng)用到傳染病模型，可用于確認(rèn)各個參數(shù)對于模型的敏感程度.拉定超立方抽樣樣本作為R0的樣本參數(shù)來計算基本再生數(shù)R0表達(dá)式中各個參數(shù)的偏秩相關(guān)系數(shù)(PRCC)值與P值.參數(shù)的PRCC絕對值越大(PRCC值有正有負(fù)，分別表示正影響和負(fù)影響)，則該參數(shù)對于模型的影響越大.本文選取LHS方法中的樣本參數(shù)n=1 500，γ2、d、δ、γ1、β和α作為R0的輸入變量，共計6個參數(shù)的PRCC值與P值見表2.

表2 R0和每個輸入?yún)?shù)變量的偏秩相關(guān)系數(shù)(PRCC)Tab.2 Partial rank correlation coefficient(PRCC) of R0 and each input parameter variable

表2表明潛伏人群的轉(zhuǎn)移率α(PRCC=0.947 3)對R0有最大的影響，接著是潛伏期的治愈率γ1(PRCC=-0.617 5)，其次是自然死亡率d、患病期的治療率γ2、感染率β和患病者的因病死亡率δ.以上 6個參數(shù)對模型的基本再生數(shù)R0的敏感性如圖2所示.圖2顯示α和β對R0有正影響，而γ1、d、γ2和δ對R0有負(fù)影響；同時看出，參數(shù)δ作為假設(shè)值，R0對δ不敏感(P>0.05)，而其他參數(shù)均具有統(tǒng)計學(xué)意義(P<0.01).因此，從以上敏感性分析看到，從疫情的實際情況出發(fā)，控制流行和傳播最有效的方法是減少參數(shù)α和β值和增加參數(shù)γ1和γ2的值.

在上述工作的基礎(chǔ)上我們進(jìn)一步討論參數(shù)α、d、γ1和γ2對R0的影響.控制其他參數(shù)不變的情況下，分別畫出α與R0、d與R0、γ2與R0、γ1與R0之間的關(guān)系變化曲線，進(jìn)一步分析給出防控措施.

為使R0<1，在控制其他參數(shù)不變時，R0隨著α變化的情況如圖3所示.圖3表明，R0隨著潛伏人群的轉(zhuǎn)移率α的增加而增加，潛伏人群的轉(zhuǎn)移率α的曲線與直線R0=1相交于點(diǎn)(0.12，1).說明當(dāng)潛伏人群的轉(zhuǎn)移率α<0.12時有R0<1，可以采用控制潛伏人群轉(zhuǎn)移來有效控制疾病的傳播.

為使R0<1，在控制其他參數(shù)不變時，R0隨著γ1變化的情況如圖4所示. 圖4表明，R0隨著潛伏期的治愈率γ1的增加而減少，治愈率γ1的曲線與直線R0=1相交于點(diǎn)(0.38，1).說明當(dāng)患病后的恢復(fù)率γ1>0.38時有R0<1，可采用提高潛伏期的治愈率的方法來控制疾病的傳播.

為使R0<1，在控制其他參數(shù)不變時，R0隨著患病期的治療率γ2變化的情況如圖5所示.圖5表明，R0隨著患病期的治療率γ2的增加而減少，從圖5可看出，治愈率γ2的曲線與直線R0=1相交于點(diǎn)(0.238，1).說明當(dāng)患病期的治療率γ2>0.238時有R0<1，可采用提高患病期的治療率的方法來控制疾病的傳播.

為使R0<1，在控制其他參數(shù)不變時，R0隨著d變化的情況如圖6所示.但生命至上，因此我們不考慮這種情況.

綜合以上考慮因素，把控制潛伏人群的轉(zhuǎn)移率、提高潛伏期的治愈率和提高患病期的治療率結(jié)合起來，可以更加有效地控制疾病的流行與傳播.

5 討 論

本文利用非標(biāo)準(zhǔn)有限差分(NSFD)方法，構(gòu)建了一類離散的SEIS傳染病模型.從上述分析可以看到，離散的SEIS傳染病模型的無病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的，但由于非標(biāo)準(zhǔn)有限差分方法導(dǎo)致離散模型在地方病平衡點(diǎn)處的線性化方程組較復(fù)雜，理論計算較為麻煩，因此，當(dāng)R0>1時，通過數(shù)值模擬得到模型的地方病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的.通過拉定超立方抽樣(LHS)方法對模型參數(shù)進(jìn)行敏感性分析發(fā)現(xiàn)：參數(shù)α和β對R0有正影響，而參數(shù)γ1、d、γ2和δ對R0有負(fù)影響.根據(jù)以上分析，控制疾病傳播應(yīng)做到：1)控制潛伏人群的轉(zhuǎn)移來有效切斷傳播鏈；2)提高潛伏期的治愈率來控制傳播；3)提高患病期治療率來控制疾病傳播.