額外維和宇宙氦豐度的相關(guān)性質(zhì)研究

黎聰笑， 顏 駿， 趙 峰

（四川師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院，四川 成都610066）

在宇宙學(xué)標(biāo)準(zhǔn)模型中，宇宙的演化過程大致可分為4 個(gè)時(shí)代［1-4］.

（I）強(qiáng)子時(shí)代：溫度介于T=1031～1012K.在這一時(shí)代中宇宙的物質(zhì)是高度相對論性的基本粒子以及反粒子構(gòu)成的等離子體.這些粒子包括夸克、膠子、電子、μ子、τ 子、中微子、光子、W和Z 玻色子、引力子及其反粒子.強(qiáng)子時(shí)代中粒子的總自旋狀態(tài)數(shù)g*≈106.75，起止時(shí)間為t=10-43～10-4s.

（II）輕子時(shí)代：溫度介于T=1012～4 ×109K.在這一時(shí)代只有較少量的粒子存留下來.殘留的粒子包括光子、引力子、質(zhì)子、中子、電子、μ 子、τ 子、中微子及其反粒子、引力子及其反粒子.輕子時(shí)代中粒子的總自旋狀態(tài)數(shù)g*≈21.25，起止時(shí)間為t=10-4～10 s.

（III）輻射時(shí)代：溫度介于T=4 ×109～104K.在這一時(shí)代，電子將產(chǎn)生湮滅效應(yīng)，殘余電子的密度與質(zhì)子和中子的密度均遠(yuǎn)小于光子和中微子的密度.輻射時(shí)代中粒子的總自旋狀態(tài)數(shù)g*≈7.25，起止時(shí)間為t=10 ～1012s.

（IV）物質(zhì)時(shí)代：溫度T＜104K.這一時(shí)代開始時(shí)，輻射密度將低于物質(zhì)密度，電子與質(zhì)子結(jié)合形成中性氫原子和氦原子，物質(zhì)與輻射之間的耦合作用將變得很弱，物質(zhì)時(shí)代的起止時(shí)間為t=1012s ～137 a.

上述宇宙演化過程中的起止時(shí)間都是由Einstein宇宙學(xué)場方程和量子統(tǒng)計(jì)物理原理結(jié)合而估算出的.目前天文學(xué)觀察表明宇宙中最普遍的化學(xué)元素是氫元素，豐度為75%，而4He 豐度約25%，其他的輕元素或金屬所占有的豐度很小.由于大量的4He不可能在星體內(nèi)部出現(xiàn)，所以對氦豐度比較合理的物理解釋是4He 產(chǎn)生于宇宙早期的熱運(yùn)動之中.這時(shí)氦產(chǎn)生的數(shù)量與中子的利用率有關(guān)，而弱相互作用保持了中子和質(zhì)子之間的化學(xué)平衡.當(dāng)溫度降至幾MeV 以下時(shí)，這些弱相互作用將會失效.因此，質(zhì)子與中子的比率將被“凍結(jié)”，所以原初的核合成完成于大爆炸后的幾分鐘，對應(yīng)輻射時(shí)代的早期階段，這時(shí)自由質(zhì)子和中子將結(jié)合成氦元素和其他元素.目前，氦豐度的理論計(jì)算和觀測數(shù)據(jù)較為一致，這是對宇宙學(xué)標(biāo)準(zhǔn)模型的一個(gè)有力支持，美國宇宙學(xué)家Peebles 由于微波背景輻射理論和氦豐度計(jì)算的早期工作獲得2019 年度諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng).

在額外維空間隨時(shí)間演化的宇宙模型中［5］，3維空間中的基本耦合常數(shù)也可能隨時(shí)間發(fā)生變化.這些耦合常數(shù)包括精細(xì)耦合常數(shù)α、弱作用耦合常數(shù)GW、強(qiáng)作用耦合常數(shù)αs、引力耦合常數(shù)G.它們與額外維空間的標(biāo)度因子（或半徑）R及額外維內(nèi)部空間的維數(shù)d有關(guān).Kolb等［6］首先研究了3 種基本耦合常數(shù)α、GW、G 隨時(shí)間變化時(shí)對大爆炸核合成的影響，當(dāng)氦豐度的觀測值取為Yp=0.24 ±0.01時(shí)，那么D=10 的超弦模型［7］給出的內(nèi)部空間尺度變化約為0.5%，D=6 和D=11 時(shí)的Kaluza -Klein模型［8-12］給出的內(nèi)部空間尺度變化約為1%.隨后Barrow［13］進(jìn)一步考慮了強(qiáng)作用耦合常數(shù)αs隨時(shí)間變化時(shí)的原初核合成過程，當(dāng)氦豐度的觀測值取為Yp=0.24 ±0.01 時(shí)，計(jì)算結(jié)果表明10維超弦模型給出的內(nèi)部空間尺度變化小于0.2%，而6 維和11 維的Kaluza-Klein模型給出的內(nèi)部空間尺度變化小于0.7%和1.1%.因此，Barrow［13］進(jìn)一步改進(jìn)了Kolb 等［6］的計(jì)算結(jié)果.文獻(xiàn)［14 -30］分別研究了量子修正和有限溫度修正下反應(yīng)率對原初核合成的影響，還討論了氦豐度對引力耦合常數(shù)和額外維模型中物理參量的約束.

本文考慮3 種耦合常數(shù)α、GW、G 隨時(shí)間發(fā)生變化的情況，在Mukhanov 給出的核合成反應(yīng)率公式［13-14］的基礎(chǔ)上重新計(jì)算了額外維數(shù)d對氦豐度的影響.首先，當(dāng)額外維半徑變化值取ε =10-2和ε=10-3時(shí)，分別計(jì)算了d=2 到d=11 時(shí)的氦豐度數(shù)值，結(jié)果發(fā)現(xiàn)ε =10-2時(shí)，額外維數(shù)的變化對氦豐度的變化有較明顯的影響；而當(dāng)ε =10-3時(shí)，額外維數(shù)的變化對氦豐度變化的影響很小.其次，本文考慮了額外維半徑R隨時(shí)間振蕩變化的情況，分別計(jì)算了δ=10-2和δ=10-3時(shí)額外維數(shù)d和約化振蕩周期同時(shí)增加時(shí)的氦豐度變化值，結(jié)果表明δ=10-2時(shí)，氦豐度的變化比較明顯，而δ=10-3時(shí)，氦豐度的變化值很小.本文還將討論和分析額外維效應(yīng)和振蕩效應(yīng)存在時(shí)的氦豐度變化規(guī)律.

1 早期宇宙中的氦豐度計(jì)算結(jié)果

宇宙學(xué)標(biāo)準(zhǔn)模型中的Friedman方程為

其中，H是Hubble參量，ρ為物質(zhì)密度，由于極端相對論氣體在宇宙早期的物質(zhì)分布中占主導(dǎo)地位，此時(shí)物態(tài)參量為γ=1/3，所以有

在電子和中微子作用下，宇宙早期的中子-質(zhì)子有3 種相互轉(zhuǎn)化的反應(yīng)式

隨著宇宙的膨脹，宇宙的溫度開始下降，當(dāng)宇宙的膨脹速率等于反應(yīng)率時(shí)H=T，那么此時(shí)的溫度被稱為凍結(jié)溫度Tf，也稱為退耦溫度.在非相對論極限下的中子-質(zhì)子數(shù)密度之比為

其中Q是中子和質(zhì)子的質(zhì)量差.另外，4 費(fèi)米子相互作用a+b→c+d的微分截面可用下式［3］給出

其中矩陣元為

|M|2=費(fèi)米耦合常數(shù)取為GF≈1.166 37 ×10-11MeV-2，gA≈1.273 9為軸矢量耦合常數(shù)，（Pa·Pb）和（Pc·Pd）為4 -動量的標(biāo)積，ma，b，c，d為反應(yīng)粒子的質(zhì)量.首先考慮溫度在幾個(gè)MeV 下的反應(yīng)n +νe?p +e-，其中核子是非相對論的，這時(shí)有如下近似：

其中，mp、mn和me分別表示質(zhì)子、中子和電子的質(zhì)量，ve是電子的速度，εν是入射中微子的能量，εe≈εν+Q是出射電子的能量，將（6）-（7）式代入（5）式得到的微分截面為

其中忽略了中微子的mν的質(zhì)量，對（8）式積分后可得到的反應(yīng)率為

當(dāng)溫度kT＞2mec2時(shí)，電子的能態(tài)被電子-正電子對所占據(jù)，根據(jù)Pauli不相容原理，這時(shí)微分截面減少為

這時(shí)在時(shí)間間隔Δt內(nèi)給定體積內(nèi)的中子數(shù)Nn的減少量為

其中（nεν=1/1 +eεν/kT）表示中微子所占據(jù)的數(shù)目，vν和Tν分別表示中微子的速度與溫度，并且

為相體積元，而中子豐度定義為

這里假設(shè)早期宇宙中的重子數(shù)守恒，于是nν-過程中的中子豐度的變化率為

其中Γnν表示衰減率.又由方程（10）和（11）可得

其中，Γ（Tν）表示衰減率Γnν中的積分函數(shù)，是當(dāng)溫度低于kT≈2mec2時(shí)，由于Pauli不相容原理，其中（1 +e-εe/kT）項(xiàng)的貢獻(xiàn)可以設(shè)為1，又因?yàn)閙ec2/εe?1，對剩下的部份引入積分變量x=εν/kTν有

所以反應(yīng)率最終表達(dá)式為

其中，βν=1/kTν，常數(shù)ζ（5）=1.037 44，并且有數(shù)值關(guān)系（45ζ（5）/2）/（7π4/30）= 1.027，又稱為Mukhanov反應(yīng)率［13-14］.如果僅考慮如下兩體反應(yīng)

那么反應(yīng)率約為2Γσν.當(dāng)H=2Γσν時(shí)熱平衡處于臨界狀態(tài)，由此可導(dǎo)出退耦溫度滿足的方程為

（20）式可以進(jìn)一步化簡為

其中，中子和質(zhì)子質(zhì)量差Q=1.293 MeV，軸矢量耦合常數(shù)gA≈1.273 9，費(fèi)米耦合常數(shù)GF≈1.166 37 ×10-11MeV-2，引力耦合常數(shù)G = 6.703 × 10-39GeV-2，ζ（5）=1.037 44.當(dāng)宇宙處于退耦溫度時(shí)，其中僅存在正負(fù)電子、光子和3 種正反中微子，并且mp/mn可近似取為1.這時(shí)粒子的總自旋態(tài)數(shù)為

將上述質(zhì)量差、耦合常數(shù)和總自旋態(tài)數(shù)代入（21）式中有

數(shù)值計(jì)算后得到的退耦溫度Tf≈0.704 085 MeV.接下來可計(jì)算氘合成的開始時(shí)刻tD，由質(zhì)子和中子形成氘和光子的反應(yīng)為

同理，可根據(jù)Friedman方程（2）來計(jì)算氘合成的開始時(shí)刻，這時(shí)

此時(shí)的早期宇宙仍以輻射為主，物態(tài)參量為γ =1/3，于是有

此時(shí)光子的溫度可視為宇宙的溫度，隨著宇宙溫度的下降，中微子等離子體與宇宙流通光子之間不再保持充分的熱接觸，這些中微子的溫度與宇宙溫度不再一致.所以，粒子的有效總自旋狀態(tài)數(shù)將變?yōu)槿缦赂话愕男问?/p>

這時(shí)中微子和光子溫度關(guān)系為

正負(fù)電子湮滅后的g*為

此時(shí)正負(fù)電子對g*無貢獻(xiàn)，中微子有3 種，即Nν=3，所以g*變?yōu)?/p>

由核物理中給出的氘合成溫度為TD=0.086 MeV，將其代入（26）式可得到氘合成的時(shí)間為

由于中子可進(jìn)一步發(fā)生放射性衰變，并且遵守如下衰變關(guān)系

其中N0為t=0 時(shí)的粒子數(shù)，N為經(jīng)過時(shí)間t后還留存的粒子數(shù)，λ 為衰變常數(shù)，這時(shí)中子平均壽命為

將（33）式代入（32）式中有

因此考慮了中子自發(fā)衰變效應(yīng)后的中子-質(zhì)子比變?yōu)?/p>

其中取中子平均壽命取為TD=885.7 s，代入退耦溫度，氘合成的時(shí)刻及中子平均壽命后，那么通過計(jì)算得到的中子-質(zhì)子比值為

又因?yàn)?He核是由2 個(gè)中子和2 個(gè)質(zhì)子構(gòu)成，而宇宙中的所有中子和部分質(zhì)子將構(gòu)成氦核，設(shè)mHe為單個(gè)4He的質(zhì)量，nHe為其數(shù)密度，核子質(zhì)量mN≈mn≈mp，那么氦豐度YP定義為

4He核中有4 個(gè)核子，即mHe≈4mN，4He 核中有2個(gè)中子，假定宇宙中所有的中子最終都合成進(jìn)入了4He核，即nHe=nn/2，那么（37）式變?yōu)?/p>

又由（38）式可計(jì)算出此時(shí)的氦豐度YP約為

這與當(dāng)前氦豐度的觀測值取YP=0.24 ±0.01.

2 額外維空間存在時(shí)的氦豐度修正值

首先觀察未考慮額外維空間存在時(shí)的平衡方程（20）式，其中3 種耦合常數(shù)α、GW、G 將影響退耦溫度的數(shù)值.當(dāng)存在額外維空間時(shí)，或稱為K-K效應(yīng)產(chǎn)生影響時(shí)，那么這3 種耦合常數(shù)隨額外維空間的標(biāo)度因子（或半徑）R及維數(shù)d的變化關(guān)系分別為

其中，α=e2為精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)，Δm∝α 表示中子和質(zhì)子的質(zhì)量差正比于精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù).b0表示當(dāng)前的額外維半徑，b（t）表示氦合成時(shí)的額外維半徑，GF0表示氦合成時(shí)的弱耦合常數(shù)，GF（t）表示當(dāng)前的弱耦合常數(shù)，α0表示氦合成時(shí)的精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)，α（t）表示當(dāng)前的精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)，G0表示氦合成時(shí)的引力耦合常數(shù)，G（t）表示當(dāng)前的引力耦合常數(shù)，額外維半徑變化值可設(shè)為b（t）/b0=1 +ε ＞1.所以，有如下關(guān)系：

當(dāng)額外維半徑變化值分別取ε =10-2和ε =10-3時(shí)，通過數(shù)值計(jì)算可得氦豐度修正值，如表1所示.

表1 當(dāng)ε=10-2，退耦溫度、中子數(shù)-質(zhì)子數(shù)之比及氦豐度與額外維的關(guān)系Tab. 1 The relationship between decoupled temperature，the ratio of neutron number to proton number and helium abundance with the extra dimensions when ε=10 -2

3 額外維空間振蕩變化時(shí)的氦豐度修正值

K-K效應(yīng)存在時(shí)的一般形式下的退耦溫度方程為

其中，（1 +ε）=b（t）/b0＞1，b（t）為氦合成時(shí)的額外維緊致球半徑，b0為當(dāng)前的額外維空間半徑.如果標(biāo)度因子隨時(shí)間發(fā)生周期性的振蕩變化，那么可做如下假設(shè)

其中，ω=2π/T*為振蕩頻率，T*表示振蕩周期，當(dāng)t=t0時(shí)，可給出如下初值條件b（t0）=b0（1 +δsin ωt），即當(dāng)前的額外維為周期性振蕩的起點(diǎn)，那么有sin 2π·t0/T*=0，其中t0表示當(dāng)前的宇宙年齡，所以有如下關(guān)系

其中，N為額外維半徑的振蕩次數(shù)，當(dāng)前的宇宙年齡為t0=4.352 ×1018s，所以振蕩周期為T*=t0/N=4.352 ×1018/Ns.進(jìn)一步，設(shè)N=1018/n，將N帶入T*中即可得關(guān)系式T*=4.352ns，這里n的物理意義可以理解為額外維半徑的約化振蕩周期，其變化值如表2 所示.

表2 額外維半徑約化振蕩周期n和振蕩周期T*的變化值Tab. 2 The variation values of reduction oscillation period and oscillation period for extra dimension radius

這時(shí)，sin 2πtD/T*= sin 2πN·tD/t0，又因?yàn)镹=1018/n，并且tD=178.604 s，所以有

由此得到具有振蕩效應(yīng)時(shí)的修正退耦溫度方程為

其中，δ =10-2，10-3，Tf的單位是MeV，通過數(shù)值計(jì)算得到額外維數(shù)d與約化周期n改變時(shí)氦豐度YP的變化關(guān)系，如表3 和4 所示.

表3 δ=10-2時(shí)額外維數(shù)d與約化振蕩周期n和氦豐度YP 關(guān)系Tab. 3 The relationship between extra dimensions and reduction oscillation periods with helium abundance when δ=10 -2

表4 δ=10-3時(shí)額外維數(shù)d與約化振蕩周期n和氦豐度YP 關(guān)系Tab. 4 The relationship between extra dimensions and reduction oscillation periods with helium abundance when δ=10 -3

4 結(jié)論與討論

本文首先由4 費(fèi)米子相互作用的散射微分截面導(dǎo)出了Mukhanov 反應(yīng)率的表達(dá)式，然后根據(jù)Einstein- Friedman 方程計(jì)算出了退耦溫度Tf≈0.704 MeV，以及氘合成的時(shí)間tD≈178.55 s，最后在此基礎(chǔ)上計(jì)算出了宇宙氦豐度的數(shù)值約為YP=0.231.

當(dāng)額外維空間存在時(shí)，那么精細(xì)耦合常數(shù)α、弱作用耦合常數(shù)GW、引力耦合常數(shù)G 的變化將隨時(shí)間和內(nèi)部空間尺度R（t）發(fā)生變化，并且G 變化與額外維空間的維數(shù)有關(guān)，其中，弱作用耦合常數(shù)GW和引力耦合常數(shù)G 的變化將通過宇宙學(xué)平衡方程影響退耦溫度Tf的數(shù)值，引力耦合常數(shù)G 的變化將影響氘合成的時(shí)間tD；另外，精細(xì)耦合常數(shù)α的變化將影響質(zhì)子和中子的質(zhì)量差.因此，3 種耦合常數(shù)隨時(shí)間和內(nèi)部空間標(biāo)度因子的變化將通過質(zhì)子-中子的粒子數(shù)之比［np/nn］的變化體現(xiàn)出來，這些耦合常數(shù)隨時(shí)間變化的綜合效應(yīng)將影響氦豐度的計(jì)算數(shù)值.

其次，本文還采用了Mukhanov 反應(yīng)率公式，并根據(jù)額外維空間存在時(shí)的平衡方程，進(jìn)一步推導(dǎo)出了退耦溫度的Tf的修正表達(dá)式.當(dāng)額外維標(biāo)度因子的變化值取為ε =10-2，并且額外維空間維數(shù)由d=2 至d=11 變化時(shí)，那么可以通過數(shù)值計(jì)算得到關(guān)于氦豐度的一系列修正值.結(jié)果發(fā)現(xiàn)隨著d的增加，氦豐度的數(shù)值也變大并介于YP=0.217 ～0.226之間.當(dāng)ε =10-3時(shí)，數(shù)值計(jì)算得出的氦豐度約為YP=0.230，隨著d的增加，YP幾乎不發(fā)生改變.這些研究結(jié)果說明了額外維尺度的數(shù)量級變化較大時(shí)，氦豐度隨空間維數(shù)的增加而變化較為明顯.

另外，本文還計(jì)算了當(dāng)額外維空間隨時(shí)標(biāo)度因子間振蕩變化時(shí)的氦豐度值.當(dāng)額外維尺度變化的數(shù)量級值取為δ =10-2，約化振蕩周期介于100≤n≤103之間，維數(shù)由d=2 至d=11 變化時(shí)，氦豐度值呈平緩增加的趨勢；當(dāng)約化振蕩周期n=104時(shí)，那么隨著維數(shù)d的增加，氦豐度值幾乎不發(fā)生改變.當(dāng)δ =10-3，并且約化振蕩周期介于10 ≤n≤103之間時(shí)，計(jì)算結(jié)果表明隨著維數(shù)由d=2 增至d=11，氦豐度值YP≈0.230 并且不發(fā)生改變；當(dāng)約化周期介于n=104時(shí)，那么隨著維數(shù)d的增加，YP≈0.231 也不發(fā)生改變，但是對應(yīng)的氦豐度值略大.因此，額外維尺度數(shù)量級變化較大時(shí)，無論隨著空間維數(shù)d的增加，還是約化振蕩周期的增大，氦豐度數(shù)值的變化都較為顯著，本文的研究為從宇宙學(xué)的角度證實(shí)額外維空間是否存在提供了一定的理論依據(jù)和觀測對比.