現(xiàn)代微分幾何學(xué)的發(fā)展（下）

陳躍 朱善軍

從1920年代開始，德國有兩位幾何學(xué)家霍普夫（H. Hopf）、布拉施克（W. Blaschke）開始研究局部微分幾何的結(jié)構(gòu)與整體拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)之間的關(guān)系。布拉施克是漢堡大學(xué)數(shù)學(xué)教授，他有一位十分出色的中國學(xué)生，就是后來成為現(xiàn)代微分幾何學(xué)大師的陳省身先生。

陳省身從導(dǎo)師布拉施克那里學(xué)到了整體微分幾何的思想方法，并學(xué)習(xí)了很新的凱勒流形理論。1936年博士畢業(yè)后，他聽從布拉施克建議，赴巴黎跟隨é.嘉當(dāng)繼續(xù)學(xué)習(xí)。在隨后幾年里，陳省身系統(tǒng)學(xué)習(xí)和掌握了é.嘉當(dāng)關(guān)于李群、活動標(biāo)架法、微分形式和聯(lián)絡(luò)幾何學(xué)的思想和理論，迅速到達微分幾何學(xué)的研究前沿。特別值得一提的是，陳省身在他以后畢生的研究生涯里，始終一心一意地運用微分形式這個十分有效的數(shù)學(xué)工具。

陳省身先生不愧為微分幾何學(xué)的大師，在他一生所研究的范圍中，實際上涉及微分幾何學(xué)中大部分主要的研究方向，其中就包括射影微分幾何、歐氏微分幾何、幾何結(jié)構(gòu)和它們的內(nèi)蘊聯(lián)絡(luò)、積分幾何、示性類、全純映射、極小子流形、值分布理論等方向。從20世紀(jì)的50—70年代這30年里，陳省身在美國的芝加哥大學(xué)和加州大學(xué)伯克利分校的數(shù)學(xué)系任教，培養(yǎng)和影響了一大批研究微分幾何學(xué)的數(shù)學(xué)家。陳省身在1950年代初寫的兩本油印的教材是當(dāng)時唯一的關(guān)于微分流形與纖維叢理論的教科書，因此也成了十分搶手的學(xué)習(xí)和研究資料，并且流傳到世界各地，后來一直要等到1960年代才出現(xiàn)了第一批講解現(xiàn)代微分幾何的正式教材。

受到陳省身的思想和研究工作的巨大影響，并且在其他現(xiàn)代數(shù)學(xué)主要分支學(xué)科的合力作用下，微分幾何學(xué)在20世紀(jì)后半葉迅速發(fā)展成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一門主流分支學(xué)科，研究的主要方向包括曲率與拓?fù)涞年P(guān)系、子流形、特征值問題、調(diào)和映射、復(fù)流形、里奇流、度量黎曼幾何等。從事微分幾何學(xué)研究的數(shù)學(xué)家人數(shù)大幅度增加，研究的成果也大量涌現(xiàn)。下面僅簡單介紹影響較大的幾項工作。

1960年代的阿蒂亞—辛格（Atiyah-Singer）指標(biāo)定理

2004年，數(shù)學(xué)界三大獎之一的阿貝爾獎授予阿蒂亞和辛格，以表彰他們在40年前證明了這個指標(biāo)定理，這個定理被認(rèn)為是20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)定理之一，因為它揭示了微分幾何學(xué)與拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)幾何學(xué)、偏微分方程等學(xué)科之間的深刻聯(lián)系。

1970年代的卡拉比—丘（成桐）（Calabi-Yau）定理

前文曾講到凱勒流形，這種復(fù)流形是復(fù)微分幾何與復(fù)代數(shù)幾何（有時將這兩者統(tǒng)稱為復(fù)幾何）的主要研究對象。數(shù)學(xué)家卡拉比（E. Calabi）在1950年代曾經(jīng)提出過一個重要猜想：在“第一陳類”為零的緊凱勒流形中，一定存在唯一的里奇曲率為零的凱勒度量?？ɡ茸约褐荒茏C明唯一性。要證明這種特殊度量的存在性問題，可以歸結(jié)為求一個高度非線性的復(fù)偏微分方程的解。證明解的存在性這一極其艱難的任務(wù)是陳省身的得意門生丘成桐完成的。他運用多種幾何與分析的方法（包括經(jīng)典的先驗估計方法），經(jīng)過幾年努力研究，終于在1976年證明了這個偏微分方程解的存在性，也就是把卡拉比猜想變成了“卡拉比—丘定理”。

和陳省身證明了高維高斯—博內(nèi)定理相類似，卡拉比猜想的解決也同樣不是一個問題的結(jié)束，而是開創(chuàng)了一個龐大的全新研究領(lǐng)域——卡拉比—丘流形的幾何學(xué)。因為既然已經(jīng)證明了里奇曲率為零的凱勒度量的存在性，所以數(shù)學(xué)家們自然就將具有這種特殊度量、并且第一陳類為零的復(fù)流形命名為“卡拉比—丘流形”。這種新流形的幾何學(xué)在代數(shù)幾何學(xué)與理論物理中具有很重要的應(yīng)用。目前在理論物理中所研究的超弦理論是一種試圖統(tǒng)一自然界中所有的力（包括量子引力）的理論，完全出乎人們意料的是，在超弦理論中所用到的主要數(shù)學(xué)模型正好就是卡拉比—丘流形！

1980年代微分幾何學(xué)與規(guī)范場論的互相促進發(fā)展

物理學(xué)家楊振寧和米爾斯（R. Mills）在1954年所提出的規(guī)范場論主要用于描寫基本粒子的內(nèi)在對稱性，利用規(guī)范場論所建立起的弱相互作用和電磁相互作用的統(tǒng)一理論已經(jīng)為實驗所證實。數(shù)學(xué)家們后來發(fā)現(xiàn)，規(guī)范場論中的規(guī)范勢實際上就是纖維叢上的聯(lián)絡(luò)。不僅如此，在這個理論中出現(xiàn)的楊（振寧）—米爾斯方程是一組極有意義的非線性偏微分方程。于是，就像愛因斯坦在廣義相對論中運用了黎曼幾何一樣，物理學(xué)家們大量運用纖維叢的微分幾何來推進規(guī)范場論的研究，例如他們運用阿蒂亞—辛格指標(biāo)定理來確定楊—米爾斯方程的自對偶解集。

在另一方面，規(guī)范場理論反過來也促進了對于微分幾何學(xué)的研究。在1980年代，數(shù)學(xué)家唐納森（S. Donaldson）發(fā)現(xiàn)：4維流形上楊—米爾斯方程的自對偶解集的?？臻g與流形的拓?fù)湫再|(zhì)有直接的聯(lián)系，在此基礎(chǔ)上他發(fā)現(xiàn)了4維流形的新的拓?fù)洳蛔兞俊Ｌ萍{森的嶄新理論極大地推進了人們對于4維流形的研究。

2021年2月，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)幾何與物理研究中心特任教授陳杲完成的論文The J-equation and the supercritical deformed Hermitian–Yang–Mills equation（J方程和超臨界厄米—楊—米爾斯方程的變形），在數(shù)學(xué)界知名雜志Inventions Mathematics（《數(shù)學(xué)新進展》）上發(fā)表。J方程和超臨界厄米—楊—米爾斯方程均是來自物理學(xué)上的方程，其中J方程是由中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)陳秀雄和英國數(shù)學(xué)家唐納森獨立提出的，而超臨界厄米—楊—米爾斯方程的變形則是由丘成桐等人提出的。

這篇論文涉及兩個方程：一個是成為量子力學(xué)標(biāo)準(zhǔn)模型的厄米—楊—米爾斯方程，而另一個則正是和相對論緊密相關(guān)的凱勒—愛因斯坦方程。凱勒—愛因斯坦方程是可以用來描述非常大的宇宙尺度上的方程，而厄米—楊—米爾斯方程則是用于描述量子尺度上的量子物理現(xiàn)象的方程。這一工作是在穩(wěn)定的前提下，建立起凱勒—愛因斯坦方程和厄米—楊—米爾斯方程之間的一座橋梁，解決了復(fù)微分幾何領(lǐng)域里的世界性難題。

1990年代至21世紀(jì)初龐加萊猜想的徹底解決

2003年，俄羅斯數(shù)學(xué)家佩雷爾曼（G. Perelman）宣布他證明了龐加萊猜想，他所用的方法主要是改進的（“帶手術(shù)的”）里奇流方法。這樣，隨著這個長達百年的龐加萊猜想終于被證明，20世紀(jì)微分幾何學(xué)的發(fā)展成就也達到了一個輝煌的頂峰。

近年來華人數(shù)學(xué)家的又一大成就

2020年11月，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)的陳秀雄與王兵在Journal of Differential Geometry（《微分幾何學(xué)雜志》）上發(fā)表了令人振奮的文章Space of Ricci Flows （Ⅱ）——Part B： Weak Compactness of the Flows [里奇流空間（Ⅱ）——B部分：流的弱緊性]。這篇文章標(biāo)志著“漢密爾頓—田猜想”和“偏零階估計猜想”這兩個國際數(shù)學(xué)界的重大猜想被成功證明。據(jù)悉，這兩個猜想曾困擾整個國際數(shù)學(xué)界20多年，并且它們的表述也有賴于微分幾何學(xué)中的“里奇流”。關(guān)于他們的工作，1986年于伯克利榮獲菲爾茲獎的唐納森曾給出高度評價，稱這是“幾何領(lǐng)域近年來的重大突破”。

關(guān)鍵詞：微分幾何 整體微分幾何 陳類 卡拉比—丘定理龐加萊猜想 ■