淺析概率統(tǒng)計中的數(shù)字特征

王衛(wèi)華

（湖北大學數(shù)學與統(tǒng)計學院應用數(shù)學湖北省重點實驗室 湖北·武漢 430062）

概率論與數(shù)理統(tǒng)計里面常見的有這幾種數(shù)字特征：數(shù)學期望，極差，方差，均方差，變異系數(shù)，分位數(shù)，中位數(shù)，偏度系數(shù)，峰度系數(shù)，協(xié)方差，相關系數(shù)。這些數(shù)字特征各從一個側面描述隨機變量某些方面的特征，在理論上和實踐上具有重要意義，它們能更直接，更簡單，更清晰，更實用的反映出隨機變量的本質。經(jīng)常性地，在許多實際問題中，人們并不需要考察一個隨機變量的分布函數(shù)，概率密度，而只需要知道它的某幾個數(shù)字特征即可。

首先介紹一下最常用最重要的數(shù)字特征——數(shù)學期望，也稱為平均值，期望值，并不是所有的隨機變量都存在期望值，數(shù)學期望的物理解釋是重心，中心，質量分布的重心，或者線段，平面等的中心位置。數(shù)學期望的理論意義深刻，它是一個實數(shù)，消除了隨機變量的隨機性。數(shù)學期望的應用廣泛，如評價各產(chǎn)糧區(qū)糧食產(chǎn)量水平時，只需要比較各地區(qū)糧食的評價產(chǎn)量，比較各班某學科成績時，可比較整個班某學科的平均成績和方差。

有了對數(shù)學期望，平均值的理解，我們可以解決，理解生活中的許多問題。如，據(jù)報道，某人在一平均深度為2尺的河水中溺亡，這可能嗎？2尺不能淹死人??？注意，平均值為2尺，但某人是陷在一個10尺深的坑中沉下去的。又如，由帕萊托定律可知，百分之十的人擁有百分之九十的社會財富，這就是為什么大部分人都會覺得自己的收入低于國民的平均收入，拉了全國人民的后腿。有了數(shù)學期望這個有力的武器，我們就不會為很多商業(yè)促銷所打動。商業(yè)促銷無處不在，現(xiàn)在我們來看一個簡單的例子，某商場促銷，購物滿88元可抽獎一次，10000張獎票中，一等獎一個，是500元購物卡，二等獎十個，是100元購物卡，三等獎一百個，是10元購物卡，四等獎一千個，是2元購物卡，某人已購物500余元，可抽獎5次，可是排隊抽獎的人比較多，是否值得花時間排隊抽獎呢？我們來計算他抽獎所得的期望值，平均值。我們先求出來抽獎一次的期望得獎值是0.45元，那么由數(shù)學期望的性質，抽獎5次是2.25元，從結果看，期望值很小，不值得排隊。

數(shù)學期望也有它的不足，如，當二個班平均成績不相上下時，如何再進一步比較呢，比較簡單的度量數(shù)據(jù)離散程度的方法是用極差，極差雖然能在一定程度是刻畫數(shù)據(jù)的離散程度，但因為極差只使用了數(shù)據(jù)中最大及最小兩個信息，對其他數(shù)據(jù)的取值沒有涉及，所以極差所含的信息量很少，這時候，方差出場了，它用來比較成績的波動程度，方差越大，則成績越不穩(wěn)定，但方差又有它的缺點，方差是離差的平方的數(shù)學期望，即它是隨機變量與它自己中心的差的平方的平均值，平方之后，方差放大或縮小了隨機變量的波動程度。并不是所有的隨機變量都有方差。于是，又有了均方差，均方差是方差的算術平方根，能更準確地比較兩個隨機變量的波動程度。

數(shù)學期望和方差聯(lián)手，可以解決很多實際問題，比如說，我們知道了某地區(qū)成年男子的平均身高h以及身高的均方差s，那么我們可以根據(jù)這兩個數(shù)據(jù)確定此地區(qū)地鐵車門的高度，因為成年男子百分之九十五的身高都在（h-2s,h+2s)這個區(qū)域，車門高度略高于h+2s即可。概率統(tǒng)計中常用的分布，二項分布，泊松分布，指數(shù)分布，正態(tài)分布，均勻分布都可以由期望和方差這兩個常數(shù)確定，有了期望和方差，我們就能寫出這些分布的分布列或概率密度函數(shù)，多么神奇??！很多隨機變量的比較，我們不需要去進行大量的計算，只去比較一下數(shù)字特征就可以。比如，兩種不同型號的手機，要比較它們的使用壽命，使用壽命都服從指數(shù)分布，知道了兩個指數(shù)分布的兩個參數(shù)，就可以比較，參數(shù)的倒數(shù)是數(shù)學期望，是平均壽命，所以，參數(shù)大的，使用壽命短。

方差、均方差反映了隨機變量取值波動程度，但在比較兩個隨機變量的波動大小時，只看方差或均方差有時候是不合理的。因為首先隨機變量的取值有量綱，其次取值的大小有一個相對性問題，取值較大的隨機變量的方差或均方差允許大一些。為了避免這些因素的影響，引入變異系數(shù)（均方差除以數(shù)學期望得到的數(shù)，稱為變異系數(shù)）。均方差與數(shù)學期望的量綱相同，所以變異函數(shù)沒有量綱了，消除了量綱對波動的影響。舉個例子，用X表示某種同齡樹的高度，用Y表示某年齡段兒童的身高，量綱都是米，樹的平均高度為10米，兒童的平均身高為1米，樹的取值較大，樹的均方差是1米，兒童的均方差是0.04米，表面上看樹的均方差大于兒童的均方差，但是比較它們的變異系數(shù)，樹的變異系數(shù)是0.1，兒童身高的變異系數(shù)是0.2，說明兒童身高的波動比樹高的波動大。

我們知道，密度函數(shù)與X軸所夾面積為1，分位數(shù)是X軸上的一個點，這個點，把面積分成了兩部分，左側面積為p，右側面積為1-p?；蛘哒f，分布函數(shù)在分位數(shù)處的函數(shù)值是p，即比如，某場考試要根據(jù)考試成績錄取總人數(shù)的前10%，那就是求成績這個隨機變量的0.9分位數(shù)。再比如一個工廠車間的工人生產(chǎn)產(chǎn)品，根據(jù)每個人的產(chǎn)量制定懲罰措施，后5%要扣獎金，那就是求產(chǎn)量這個隨機變量的0.05分位數(shù)。當p取特殊值0.5時，0.5分位數(shù)稱為中位數(shù)，也就是說有一半的隨機變量落在中位數(shù)的左邊，另一半的隨機變量落在中位數(shù)的右邊，或者說，分布函數(shù)在中位數(shù)這一點的函數(shù)值是0.5分位數(shù)和中位數(shù)一般是指連續(xù)型隨機變量的分位數(shù)和中位數(shù)。對離散分布雖然可以引入分位數(shù)和中位數(shù)的概念，但分位數(shù)和中位數(shù)有可能不存在或不唯一。所以，在離散分布里面很少使用分位數(shù)。中位數(shù)和平均值一樣都是隨機變量的特征數(shù)，它兩各有優(yōu)勢，在某些情況下，中位數(shù)更能說明問題。比如A國人年齡的中位數(shù)是40歲，說明有一半人的年齡超過40歲，B國人年齡的中位數(shù)是50歲，說明有一半人的年齡超過50歲，B國人比A國人老齡化更嚴重。與中位數(shù)相比，平均值也有自己的優(yōu)點，比如，一組數(shù)據(jù)，如果或數(shù)值發(fā)生變化，那么平均值會跟著發(fā)生變化，但中位數(shù)卻沒有變化，因為平均值與每一個數(shù)據(jù)都有關，但中位數(shù)只利用了數(shù)據(jù)中間位置的一個或者兩個值，而沒有利用其他數(shù)據(jù)，因此與中位數(shù)相比較，平均值反映了數(shù)據(jù)的更多信息，對樣本中的極端值更敏感。但有些特殊分布，當這些分布是關于Y=C對稱時，這些分布的中位數(shù)與均值相等，均為點C。例如正態(tài)分布，均勻分布。在實際應用中，除了經(jīng)常用到中位數(shù)，還有0.25分位數(shù)，0.75分位數(shù)，這三個分位數(shù)把數(shù)據(jù)分成了四等份，因此也稱為四分位數(shù)。四分位數(shù)在數(shù)據(jù)分析中起著重要作用。

接著來說一下偏度系數(shù)和峰度系數(shù)。偏度系數(shù)是用來描述分布偏離對稱性程度的一個特征數(shù)，當密度函數(shù)是對稱圖形時，偏度系數(shù)為0，任何正態(tài)分布，以及一維均勻分布偏度均為0。偏度系數(shù)不為0時，分為左偏和右偏，當密度函數(shù)最大值左邊的變量多于右邊的變量時，密度函數(shù)圖形在左邊有長尾巴，稱為左偏，反之成為右偏。偏度系數(shù)為0時，平均值與中位數(shù)相等；左偏時，平均值在尾巴那邊，平均值小于中位數(shù)；右偏時，平均值在尾巴那邊，平均數(shù)大于中位數(shù)。峰度函數(shù)是描述分布尖峭程度和尾部粗細的一個特征數(shù)，峰度是相對正態(tài)分布而言的超出量，以標準正態(tài)分布為基準確定其大小。若標準化后的分布比標準正態(tài)分布更尖峭，則峰度系數(shù)大于0，若標準化后的分布比標準正態(tài)分布更平坦，則峰度系數(shù)小于0。偏度與峰度都是描述分布形狀的特征數(shù)，它們的設置均以標準正態(tài)分布為基準，正態(tài)分布的偏度和峰度均為0。

前面介紹的都是一維隨機變量的數(shù)字特征，經(jīng)常地，我們會用多個隨機變量從不同的方向去描述同一樣本點，那么這多個隨機變量之間有時候有一定的依賴關系。比如，一個成年人去體檢，測身高、體重和量血壓，體重與身高有一定的關系，血壓與體重又有一定關系。協(xié)方差就是反映隨機變量之間依賴關系的一個數(shù)字特征，它是對兩個隨機變量的協(xié)同變化的度量。協(xié)方差是兩個隨機變量的各自的離差的乘積的數(shù)學期望。協(xié)方差大于0時，稱兩個隨機變量正相關，即兩個隨機變量有同時增加或同時減少的傾向；協(xié)方差小于0時，稱兩個隨機變量負相關，這時有X增加而Y減少的傾向，或反之；協(xié)方差等于0時，稱X與Y不相關，這時候可能是兩種情況，其一是X與Y的取值毫無關系，其二是X與Y之間有關聯(lián)，但不是線性關系。協(xié)方差的引入完善了方差的計算，在X與Y相關的情況，和的方差并不等于方差的和，X與Y的正相關會增加X與Y的和的方差，負相關會減少和的方差，而在X與Y不相關時，和的方差等于方差的和。

協(xié)方差也有缺點，它是兩個變量的積的數(shù)學期望，當兩個變量的量綱不同時，協(xié)方差的量綱無意義，而且，kX和kY之間的統(tǒng)計關系與X和Y之間的統(tǒng)計關系應該是一樣的，但其協(xié)方差卻擴大了k的平方倍，為了消除量綱的影響，用協(xié)方差去除它們各自的均方差，得到一個新的數(shù)字特征—相關系數(shù)，相關系數(shù)實際上是普通隨機變量標準化之后的協(xié)方差，相關系數(shù)描述了兩個變量之間的線性關系的強弱，也稱為線性相關系數(shù)，相關系數(shù)取值在-1到1之間，其絕對值越接近于0，則線性相關程度越低。相關系數(shù)為0時，稱兩個隨機變量不相關，其絕對值越接近1，則線性相關程度越高。相關系數(shù)為1時，稱X與Y完全正相關。相關系數(shù)為-1時，稱X與Y完全負相關。相關系數(shù)與協(xié)方差是同符號的，即同為正，或同為負，或同為零。我們經(jīng)常利用相關系數(shù)的性質求解，考研有一個經(jīng)典題型是，一根木棍長為m，分成兩部分，一部分長為x，另一部分長為y，求兩個隨機變量x與y的相關系數(shù)。因為x+y=m，x與y是線性關系，x越大，y越小，負相關，所以這個題目不需要計算，直接回答，相關系數(shù)是-1。

以上總結了概率統(tǒng)計里面常用的特征數(shù)，特征數(shù)包含著很多信息，它們在學習生活生產(chǎn)實踐中發(fā)揮著重要作用。我們要了解它們，掌握它們，應用它們。

隨著社會的不斷進步和科學技術水平的提高，概率統(tǒng)計將發(fā)揮它的最大作用，使之最大限度地為人類服務。