既有建筑幕墻平整度擬合方法的研究

劉永成，徐迎春，張澤雨，姚遠宏

（中國建筑科學(xué)研究院天津分院，天津 300384）

0 引言

城市化進程的加快使大型建筑不斷涌現(xiàn)，幕墻的市場需求量不斷增加，一方面是幕墻建筑數(shù)量的增加，但是另一方面是其安全性能的降低，包括深圳平安金融中心、成都“環(huán)球中心”天堂洲際大飯店、人民中路國際購物中心商業(yè)街、九江市南湖國際小區(qū)等等這些幕墻建筑都相繼發(fā)生了安全事故，所以幕墻檢測就顯得尤為重要。對于檢測工作，全站儀 NP 模式以及三維激光掃描儀問世為快速獲取幕墻坐標(biāo)提供了有效的手段，但后期不同數(shù)據(jù)處理方法所得成果有所差異，傳統(tǒng)最小二乘方法系數(shù)矩陣存在誤差，也有人對幕墻進行小面積分區(qū)計算（無法反應(yīng)幕墻整體情況具有局限性）。針對上述問題，本文提出對幕墻個點坐標(biāo)與平均坐標(biāo)組成的向量與法向量的數(shù)量積最小原理，運用 SVD 奇異值分解的方法，使用 MATLAB 編程求解出平面方程，最后通過算例驗證了方法的可行性，為檢測鑒定工作提供幫助。

1 檢測與擬合推導(dǎo)

運用全站儀 NP 模式采集幕墻板的三維坐標(biāo)［1］，由于建造施工誤差、建筑物變形、觀測誤差等影響，這些點位并不會處于同一個平面內(nèi)，需要建立模型，擬合出最佳幕墻平面，計算出平整度，以檢查建筑物質(zhì)量是否合格。

1.1 數(shù)據(jù)采集

在進行公共商場等場所房屋安全鑒定時，需要對外側(cè)幕墻進行平整度檢測，根據(jù)現(xiàn)場的實際情況布設(shè)控制網(wǎng)，如果現(xiàn)場條件允許建議布設(shè)成閉合導(dǎo)線網(wǎng)，建立獨立的坐標(biāo)系統(tǒng)，并采用嚴(yán)密平差的方法得到各控制點坐標(biāo)，最后進行碎部測量，采集幕墻板坐標(biāo)［2］。

根據(jù)幕墻板大小選擇合適的位置進行坐標(biāo)采集，幕墻板測點位置如圖 1 所示。

圖1 幕墻板檢測點位圖

1.2 幕墻擬合方法推導(dǎo)

假設(shè)采集同一平面坐標(biāo)點為（xi，yi，zi），擬合出的平面方程如式（1）所示，約束條件如式（2）所示。

式中：x，y，z 為坐標(biāo)值，A、B、C 為平面方程系數(shù)，D 為常數(shù)。

式中：A、B、C 為平面方程系數(shù)，m 為常數(shù)。

式（1）-式（3）得出式（4）

可以寫成：

如果式（5）成立需要所有點都在平面上，實際情況由于施工誤差、幕墻自身變形以及觀測誤差導(dǎo)致一定有部分點在平面之外，這就需要進行擬合使所有點與平面的距離之和最小，故使：

式中：β，X 為式（5）矩陣。

約束條件為

式中：X 為式（5）矩陣，m 為常數(shù)。

對 β 進行奇異值分解：

式中：β 同式（5），D 是對角陣，U 和 VT均為正交矩陣（酉矩陣）。

根據(jù)正交不變性，則：

式中符號同式（5）、式（8）。

其中 VTX 為列矩陣，根據(jù)酉矩陣的性質(zhì)可得：

式中符號同式（7）、式（8）。

每個觀測點 pi到擬合平面的距離，如式（11）所示。

式中：di為觀測點到擬合平面的距離，其他符號同式（4）。

幕墻平面的平整度如式（12）所示。

式中：M 為平整度，n 為擬合所需坐標(biāo)點數(shù)，其他符號同式（11）。

2 工程實例

以天津市塘沽區(qū)金街大型商場為例，天津中原百貨濱海有限公司經(jīng)營場所為一棟地上 4 層的商業(yè)建筑，坐落于天津市濱海新區(qū)上海道 629 號。據(jù)可查資料，該建筑設(shè)計于 2001 年，設(shè)計名稱為“天津市塘沽區(qū)新百商貿(mào)股份有限公司”，結(jié)構(gòu)形式為鋼框架結(jié)構(gòu)，建筑外墻采用加氣混凝土砌塊填充墻，部分墻體外做彩色壓型鋼板墻面，靠近金街一側(cè)墻體外做封閉式鋁塑板幕墻，兩種圍護結(jié)構(gòu)做法均未見有效設(shè)計資料。

2.1 確定控制點

根據(jù)現(xiàn)場情況布設(shè) 5 個控制點（見圖 2），并運用全站儀以及水準(zhǔn)儀進行控制網(wǎng)測量，后期內(nèi)業(yè)工作時運用 Cosawin 平差軟件進行數(shù)據(jù)處理，所得坐標(biāo)如表 1 所示。布點時注意一測站能掃到整面幕墻板，否則增加的測站誤差影響數(shù)據(jù)成果。

圖2 控制點布置示意圖

表1 控制點平差成果表 m

2.2 數(shù)據(jù)采集

用全站儀免棱鏡模式根據(jù)圖 1 進行幕墻目標(biāo)點采集工作，本項目共采集 1 053 個坐標(biāo)點，記錄時不僅要記錄點號，還要提前畫好立面圖并編輯好軸號（見圖 3），后期對數(shù)據(jù)分析時便于找出變形過大的幕墻板進行針對性查勘。由于篇幅有限本文僅對東區(qū)北側(cè)幕墻數(shù)據(jù)進行分析。

2.3 計算方法

根據(jù) SVD 奇異值分解進行 MATLAB 軟件編程進行處理，以下為主要編程思路。

xyzdata=［坐標(biāo)］；

xyzping=mean（xyzdata，1）；% 求坐標(biāo)平均值

β=bsxfun（@minus，xyzdata，xyzping）；% 根據(jù)式（4）建立系數(shù)矩陣

［U，S，V］=svd（β）；% 奇異值分解

a=V（1，3）；

圖3 東區(qū)幕墻板立面圖

b=V（2，3）；

c=V（3，3）；

d=-dot（［a b c］，xyzping）；

di=abs（x*a+y*b+z*c+d）/sqrt（a2+b2+c2）；

經(jīng)過對東區(qū)北側(cè)幕墻板的計算求出右奇異矩陣：

所以擬合平面方程為a x+b y+c z+d=0（a= -0.517 953 403 239 086；b=-0.855 405 555 215 044； c=-0.002 368 159 684 488 78；d=12.088 835 417 622 9）；并計算出每個坐標(biāo)點到擬合平面的距離 di與平整度如表 2 所示。

根據(jù)坐標(biāo)以及測點到擬合平面距離運用 MATLAB 進行繪圖，得到平整度圖（見圖 4），圖 4 過渡顏色比較明顯，說明平整度比較差；后期根據(jù)數(shù)據(jù)計算情況找到數(shù)值過大點位，找到超限值的幕墻板，見表 2 中 18－D 軸幕墻板點位到擬合平面距離為 26 mm，通過拆除查勘發(fā)現(xiàn)幕墻板龍骨銹蝕嚴(yán)重等問題（見圖 5），為鑒定提供幫助。

圖4 東區(qū)北側(cè)幕墻平整度圖

圖5 東區(qū)北側(cè)幕墻橫梁銹蝕

表2 坐標(biāo)點到擬合平面距離與平整度（SVD）

2.4 成果與 spss 軟件對比

運用 spss 軟件解多元線性回歸，首先建立多元線性回歸方程模型 Z=β1X+β2Y+β3，把東區(qū)北側(cè) 50 個幕墻坐標(biāo)點導(dǎo)入到 spss 軟件中，在分析中選擇線性回歸，置信區(qū)間級別選擇 95 %、R 方變化量、模型擬合。軟件運算結(jié)果模型吻合程度如表 3 所示、方程系數(shù)如表 4 所示，根據(jù)方程系數(shù)計算出每個坐標(biāo)點到擬合平面的距離如表 5 所示。

表3 模型摘要

表4 系數(shù) a

表5 坐標(biāo)點到擬合平面距離與平整度（spss）

可以看出置信區(qū)間在 95 %，回歸方程為 Z=-183.236 X-302.833 Y+4 275.919。

帶入坐標(biāo)點求得平整度為 5.76 mm，通過表 2 與表 5 對比分析，SVD 算法中點位到擬合平面距離之和小于 spss 中運算的結(jié)果，說明 SVD 方法擬合成果較好。

3 結(jié)論

幕墻建筑在施工和使用過程中的安全問題日益突出，幕墻檢測鑒定顯得尤為重要，本文對幕墻平整度檢測以及數(shù)據(jù)處理提出了有效可靠的方法。

1）文章對幕墻平整度檢測的外業(yè)觀測方法以及內(nèi)業(yè)數(shù)據(jù)處理（采用法向量與各平面向量數(shù)量積最小原則，運用 SVD 奇異值分解求擬合平面方程）做出了系統(tǒng)的說明，SVD 解法與傳統(tǒng)數(shù)據(jù)擬合方法對比結(jié)果更為準(zhǔn)確、合理。

2）SVD 數(shù)據(jù)處理方法對于幕墻平整度檢測具有重要意義，并通過工程實例驗證所得數(shù)據(jù)與現(xiàn)場實際情況相符，為工程實踐提供了一定的參考價值，但是此方法對粗差剔除方面還需進一步研究。