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    數(shù)學(xué)教學(xué)也應(yīng)潤(rùn)物無(wú)聲

    2013-08-14 02:07楊宇
    實(shí)踐新課程 2013年8期
    關(guān)鍵詞:式子數(shù)學(xué)家字母

    楊宇

    最近我一直在思考一節(jié)課的來(lái)龍去脈,這節(jié)課的內(nèi)容是小學(xué)數(shù)學(xué)人教版五年級(jí)上《用字母表示數(shù)》。之所以關(guān)注它有兩個(gè)原因:其一,從內(nèi)容上看“用字母表示數(shù)”是一個(gè)看似簡(jiǎn)單卻又很復(fù)雜的問(wèn)題,遠(yuǎn)非我們想象的那樣易于學(xué)生理解??v觀歷史,人類從用符號(hào)表示“特定的數(shù)”,發(fā)展到有意識(shí)地、系統(tǒng)地用字母表示數(shù),經(jīng)歷了1200多年的不懈努力。如果說(shuō)這段歷史體現(xiàn)了人類探索數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程,那么學(xué)生對(duì)字母表示數(shù)的理解或多或少也要經(jīng)歷類似的跌跌撞撞的過(guò)程,才能在比較抽象的水平上形成對(duì)符號(hào)表示數(shù)的認(rèn)識(shí)。其二,從課標(biāo)的修訂中看,2011版課標(biāo)將原實(shí)驗(yàn)稿中核心概念之一的“符號(hào)感”調(diào)整為“符號(hào)意識(shí)”。為什么要做這樣的修改?二者之間有著怎樣的聯(lián)系和區(qū)別?如何來(lái)發(fā)展學(xué)生的“符號(hào)意識(shí)”,等等,這些問(wèn)題一直是我深入研究的興趣所在。

    正好,在上學(xué)期末,為了參與編寫(xiě)一本教師培訓(xùn)教材,我執(zhí)筆其中的案例,要求對(duì)一節(jié)課中學(xué)生的學(xué)習(xí)情況做課堂觀察,并作心理分析。于是邀請(qǐng)一位教師上課,內(nèi)容是“用字母表示數(shù)”,同時(shí)選三名學(xué)生做觀察對(duì)象。

    A學(xué)生:

    思維敏捷,分析問(wèn)題思路清晰。能積極參與課堂活動(dòng),上課注意力集中,認(rèn)真聽(tīng)講,能跟上老師的思路,積極發(fā)言,表現(xiàn)欲強(qiáng)。平時(shí)能按照老師的要求認(rèn)真完成作業(yè),書(shū)寫(xiě)工整,作業(yè)不依賴家長(zhǎng),自己獨(dú)立完成作業(yè),有良好的檢查習(xí)慣,能及時(shí)改正作業(yè)中的錯(cuò)誤。

    B學(xué)生:

    性格內(nèi)向,不愛(ài)說(shuō)話,不愛(ài)與人交流。學(xué)習(xí)一般,不太吃力,但不突出。能夠按時(shí)完成作業(yè),偶爾存在丟題、馬虎的現(xiàn)象。書(shū)寫(xiě)不夠認(rèn)真,但是只要認(rèn)真寫(xiě),還是可以把作業(yè)寫(xiě)得很工整,有時(shí)候耍點(diǎn)小聰明,學(xué)習(xí)需要老師督促。

    C學(xué)生:

    不愛(ài)說(shuō)話,不愛(ài)參與學(xué)習(xí)活動(dòng),學(xué)習(xí)被動(dòng),沒(méi)有個(gè)人見(jiàn)解。作業(yè)書(shū)寫(xiě)不認(rèn)真,不及時(shí),兩頭欺瞞,跟老師說(shuō)沒(méi)帶作業(yè),跟家長(zhǎng)說(shuō)沒(méi)留作業(yè),或已經(jīng)寫(xiě)完,家長(zhǎng)也不及時(shí)檢查,作業(yè)中經(jīng)常出現(xiàn)不應(yīng)該的錯(cuò)誤,甚至丟題。學(xué)習(xí)較吃力,沒(méi)有良好的思維能力和學(xué)習(xí)習(xí)慣。

    下面是教師教學(xué)設(shè)計(jì)的大致紀(jì)實(shí):

    一、設(shè)疑導(dǎo)入

    1.引入學(xué)生熟知事物,感受字母表示的特殊含義。

    教師出示1.69m并提問(wèn):數(shù)據(jù)表示什么意思?字母m代表什么?

    2.出示“哈弗利采克”計(jì)算公式,猜測(cè)公式中字母代表什么,進(jìn)一步激發(fā)興趣,引出課題。

    二、講授新課

    (一)理解字母表示特定的數(shù)。

    出示一組練習(xí)題。(按規(guī)律填數(shù))

    (二)理解字母表示變化的數(shù),會(huì)用字母表示兩個(gè)量之間的關(guān)系。

    1.發(fā)現(xiàn)規(guī)律

    教師:同學(xué)們表現(xiàn)很好,為了鼓勵(lì)大家,老師給大家?guī)?lái)一個(gè)“神奇的魔術(shù)盒”。它的神奇在于左邊進(jìn)去一個(gè)數(shù),經(jīng)過(guò)魔術(shù)盒加工會(huì)出來(lái)另一個(gè)數(shù),想試試嗎?(學(xué)生通過(guò)輸入和輸出的數(shù),發(fā)現(xiàn)規(guī)律)

    2.學(xué)生探究

    教師:輸入的數(shù)可以是任何一個(gè)數(shù),永遠(yuǎn)也輸入不完。有沒(méi)有一個(gè)好辦法能把所有輸入的數(shù)和輸出的數(shù)都表示出來(lái)呢?可以獨(dú)立思考,也可以幾個(gè)人商量完成。(探究)

    探究提示:

    輸入的數(shù)在不斷變化,輸出的數(shù)也在不斷變化,什么永遠(yuǎn)沒(méi)變?

    能不能用一種簡(jiǎn)明、概括的方法把所有輸入的數(shù)和輸出的數(shù)表示出來(lái)?

    3.猜年齡

    教師:請(qǐng)同學(xué)們猜猜老師今年多大了?我比這位同學(xué)大20歲,我多大?當(dāng)這位同學(xué)20歲時(shí),我多大?能用含有字母的式子表示出來(lái)嗎?這里的字母可以是任意數(shù)嗎?

    三、鞏固練習(xí)

    1.先讀兒歌《數(shù)青蛙》,再擴(kuò)展編兒歌

    教師:我們一邊拍手,一邊讀。永遠(yuǎn)也讀不完,怎么辦?誰(shuí)能用一句話的內(nèi)容概括兒歌?

    2.挑戰(zhàn)訓(xùn)練

    常識(shí)題:動(dòng)物氣象員:某地蟋蟀1分鐘叫的次數(shù)除以7加上3就近似得到當(dāng)時(shí)的氣溫。用帶有字母的式子表示該地當(dāng)時(shí)的氣溫;如果蟋蟀1分鐘叫了140次,該地當(dāng)時(shí)的溫度大約是多少?

    3.教師明確課前估算自己身高的公式,明確每個(gè)字母都代表什么

    從教師設(shè)計(jì)的教學(xué)環(huán)節(jié)中我們不難發(fā)現(xiàn),本節(jié)課,教師創(chuàng)設(shè)大量情境,恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用了學(xué)生身邊的生活素材,讓學(xué)生在探索中學(xué)習(xí),增強(qiáng)探索的欲望和學(xué)習(xí)興趣。從具體的數(shù)到用字母表示數(shù)是認(rèn)識(shí)上的一次飛躍,對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是很抽象的,也是相當(dāng)困難的。因此,教師采用合作探究的方式,通過(guò)活動(dòng)去實(shí)現(xiàn)對(duì)它們的理解和掌握。這是符合學(xué)生自身認(rèn)知規(guī)律的。所以,從課的設(shè)計(jì)來(lái)看是一節(jié)好課。但是學(xué)生學(xué)習(xí)得怎么樣呢?是否解決了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)抽象概括的過(guò)程與代數(shù)語(yǔ)言的認(rèn)識(shí)?課后我與上課教師對(duì)觀察的三名學(xué)生學(xué)生進(jìn)行了訪談?wù){(diào)查,發(fā)現(xiàn)對(duì)含有字母的式子既表示結(jié)果,又表示關(guān)系的理解很困難。下面是訪談?dòng)涗洠?/p>

    A學(xué)生:很喜歡這節(jié)課,內(nèi)容很新鮮,學(xué)會(huì)了新的思維方式; “猜年齡”這個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)自己最有吸引力,因?yàn)橘N近生活實(shí)際,知道字母的取值是有一定限制的;用含有字母的式子表示數(shù)量及數(shù)量關(guān)系關(guān)鍵就是找到變化的量用字母表示,再找不變的量,就能列出式子。

    B學(xué)生:喜歡這節(jié)課,因?yàn)檫@節(jié)課內(nèi)容很豐富;對(duì)“數(shù)學(xué)魔盒”比較感興趣,很新奇、很好玩,就想去試一試,探索其中的奧秘,最后感覺(jué)到了魔術(shù)變不完用字母就可以概括了;用含有字母的式子表示數(shù)量及數(shù)量關(guān)系聽(tīng)懂了,但說(shuō)不清楚,應(yīng)用還存在一定困難。

    C學(xué)生:喜歡這節(jié)課,覺(jué)得很好玩;對(duì)“鞏固練習(xí)”中的“數(shù)青蛙”、“動(dòng)物氣象員”感興趣,有趣,還增長(zhǎng)了知識(shí);用字母表示特定的數(shù)學(xué)會(huì)了,用含有字母式子表示數(shù)量關(guān)系沒(méi)太明白。

    B學(xué)生和C學(xué)生可以代表全班學(xué)生的70%,他們對(duì)用字母表示特定的數(shù)理解沒(méi)問(wèn)題,但對(duì)用含有字母的式子表示結(jié)果或數(shù)量關(guān)系不理解。教師這樣精心設(shè)計(jì)的課,為什么學(xué)生掌握得沒(méi)有預(yù)想的好呢?課后我們及時(shí)通過(guò)學(xué)習(xí)、討論發(fā)現(xiàn)“用字母表示數(shù)”,對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō),是非常抽象的。特別是用含有字母的式子表示數(shù)量關(guān)系。在學(xué)生的思維過(guò)程中,由具體的數(shù)和用運(yùn)算符號(hào)組成的式子,過(guò)渡到用字母和含有字母的式子表示數(shù),是從個(gè)別上升到一般的抽象化過(guò)程。例如,已知教師年齡比學(xué)生大20歲,用a表示學(xué)生的歲數(shù),那么a+20既表示老師歲數(shù)總是比學(xué)生歲數(shù)大20的年齡關(guān)系,又表示老師的歲數(shù)。這是學(xué)生初學(xué)時(shí)的一個(gè)難點(diǎn)。首先,他們要理解師生年齡之間的關(guān)系,還要把用語(yǔ)言敘述的關(guān)系改用含有字母的式子表示;其次,他們往往不習(xí)慣將a+20視為一個(gè)量,常有學(xué)生認(rèn)為這是一個(gè)式子,不是結(jié)果。而用一個(gè)式子表示一個(gè)量恰恰是學(xué)習(xí)列方程不可或缺的一個(gè)基礎(chǔ)。

    由此可見(jiàn),要想突出本節(jié)課兩個(gè)學(xué)習(xí)重點(diǎn),即使學(xué)生理解并掌握用字母表示特定的數(shù)和變化的數(shù),在課的設(shè)計(jì)上還應(yīng)考慮到讓學(xué)生了解字母表示數(shù)的演變過(guò)程,可以用數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史來(lái)幫助學(xué)生理解字母表示數(shù)存在的意義和價(jià)值。我們應(yīng)該怎樣做呢?

    美國(guó)著名教育學(xué)家G·波里亞曾說(shuō)過(guò):“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)只有當(dāng)看到數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、按照數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史順序或親自從事數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)時(shí),才能最好的理解數(shù)學(xué)?!?/p>

    先讓我們來(lái)了解一段數(shù)學(xué)史:

    早在3800年前,古埃及人用“堆”表示特定的數(shù)。

    公元4世紀(jì)前后,古希臘學(xué)者丟番圖開(kāi)始用希臘字母表示數(shù)和一些運(yùn)算。

    16世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)開(kāi)始有意識(shí)地、系統(tǒng)地用字母表示數(shù)。

    從歷史上看,人類最初表達(dá)代數(shù)問(wèn)題,一切算法皆用普通文字。古希臘丟番圖首先用“數(shù)”的希臘發(fā)音中的第一個(gè)字母來(lái)表示數(shù)。這之后,許多數(shù)學(xué)家紛紛效仿。但用音節(jié)的縮寫(xiě)來(lái)表示未知量以及其他代數(shù)符號(hào),每一種縮寫(xiě),其本身都具有先入為主的意義,因而其價(jià)值只不過(guò)有所簡(jiǎn)略而已。后來(lái),法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)設(shè)想尋找一種求解各種類型方程的通用方法,他不僅用字母表示未知量,而且也用字母表示已知量及其運(yùn)算,超越了各類數(shù)量的具體特點(diǎn),從一般意義上看用字母來(lái)表示特定的量和變化的量,被公認(rèn)是代數(shù)學(xué)發(fā)展歷史上的一座里程碑。

    那么怎樣在一節(jié)課40分鐘的時(shí)間里讓學(xué)生體會(huì)1200多年的發(fā)展歷程,并從中悟出用字母表示數(shù)的意義與價(jià)值呢?我與同年級(jí)的數(shù)學(xué)老師一起經(jīng)過(guò)數(shù)次研磨,重新設(shè)計(jì)三個(gè)環(huán)節(jié),敘述如下:

    ①引導(dǎo)學(xué)生思考5、10、15、20、25、ⅹ、35……這里的ⅹ表示什么樣的數(shù)。

    ②讓學(xué)生用小棒擺三角形,求一共用了多少根小棒。讓學(xué)生一直擺下去,當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)無(wú)法表示完時(shí),要求學(xué)生用一個(gè)式子代表所有情況,總結(jié)出n×3或ⅹ×3或m×3等形式。得出“用字母表示數(shù)不是簡(jiǎn)單地用字母代替數(shù),而是把一直變化的量用字母表示出來(lái),它可以代表無(wú)數(shù)個(gè)數(shù)”。第一種情況字母表示的是特定的量,而第二種情況則表示變化的量,是不定的。

    ③給式子( )×5改編一句話。教師做示范:

    師:( )表示一本書(shū)的重量,那么( )×5表示5本書(shū)的重量。

    (這時(shí)學(xué)生爭(zhēng)搶來(lái)說(shuō),教師準(zhǔn)確抓住這一銜接點(diǎn))

    每個(gè)重量×5

    每個(gè)價(jià)錢×5

    每班人數(shù)×5

    ……

    師:用文字表達(dá)的確很繁瑣,因而古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖想到用“縮寫(xiě)”的方法來(lái)表示,仿照丟番圖的方法,這里的“每個(gè)重量×5”取“重”的發(fā)音的第一個(gè)字母,表示成“z×5”。那么“每個(gè)價(jià)錢×5,每班人數(shù)×5”怎樣用所寫(xiě)的方法表示呢?

    生:取價(jià)的發(fā)音第一個(gè)字母用j×5,取人的發(fā)音第一個(gè)字母r×5來(lái)表示。

    師:丟番圖用字母縮寫(xiě)來(lái)表示數(shù)量間的關(guān)系,雖然簡(jiǎn)潔了,但每個(gè)字母都表示特定的意思,不能把j×5,r×5等同。所以并沒(méi)有給數(shù)學(xué)帶來(lái)更多便利。到16世紀(jì),法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)想,如果把各種情況中的字母表示的特定意思都去掉的話,不都是一個(gè)數(shù)和5相乘嗎!于是將不同的字母換成□×5。后來(lái)就表示成了a×5,這里的a不是特定的意思了,它只是一個(gè)符號(hào)而已。自從韋達(dá)把字母當(dāng)成符號(hào)來(lái)表示后,許多數(shù)學(xué)難題得到了解決,數(shù)學(xué)獲得了飛速的發(fā)展。

    反思這個(gè)設(shè)計(jì),目的完全從學(xué)生自身出發(fā),從學(xué)生所處年齡特點(diǎn)出發(fā),從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā),讓學(xué)生的思維自然地、無(wú)痕地跟隨數(shù)學(xué)家們的不斷追求逐步得到提升。

    “一個(gè)普通的教師奉送真理,一個(gè)優(yōu)秀的教師教人發(fā)現(xiàn)真理?!睘榇?,我們的數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)努力還原,再現(xiàn)這一發(fā)展過(guò)程,從數(shù)學(xué)家的廢紙簍里尋找知識(shí)的源泉。

    我們知道,符號(hào)意識(shí)是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出的第二個(gè)核心概念。本節(jié)課是培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)最好的載體。這里所說(shuō)的符號(hào)意識(shí)主要包括兩方面的內(nèi)容,一個(gè)是關(guān)于概念的符號(hào),一個(gè)是關(guān)于關(guān)系的符號(hào)。自然數(shù)就是一種符號(hào),人們用自然數(shù)這樣的符號(hào)表達(dá)數(shù)量的多少。但“符號(hào)意識(shí)”中所說(shuō)的概念符號(hào)更為抽象,在小學(xué)“數(shù)與代數(shù)”中主要是指:用字母表示數(shù)。因?yàn)閿?shù)是對(duì)數(shù)量的抽象,因此,這種表示也蘊(yùn)含著用字母表示一般的數(shù)量,所以這節(jié)課中如何幫助學(xué)生由具體到抽象是需要解決的最大問(wèn)題。教學(xué)的最好方式是重要的,但數(shù)學(xué)的本質(zhì)到底什么是更重要的。很顯然,用字母表示數(shù)的過(guò)程,不是字母替代文字的過(guò)程,而是具體數(shù)量符號(hào)化的過(guò)程。從具體的數(shù)到抽象的字母,表達(dá)形式變化的背后,意味著思維方式上要有變化。學(xué)生在此之前接觸的是算術(shù),關(guān)注的是計(jì)算結(jié)果,而現(xiàn)在接觸的是代數(shù),關(guān)注的是數(shù)量關(guān)系。讓一個(gè)含有字母的式子既可以表示關(guān)系,又可以表示結(jié)果,這的確是思維上的飛躍。所以,我們從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史中,概括出用字母表示數(shù)的演變過(guò)程,目的就是使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)發(fā)展一步步的變化,理解字母表示變化的數(shù)的由來(lái),為后續(xù)方程的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

    由此可見(jiàn),利用相關(guān)的數(shù)學(xué)史進(jìn)行教學(xué),學(xué)生會(huì)在“潤(rùn)物無(wú)聲”的情景中獲得認(rèn)識(shí)上的巨大提升。我們?cè)谧穼で叭搜芯寇壽E的過(guò)程中,不單只看到經(jīng)過(guò)嚴(yán)格論證的結(jié)果,也要看到數(shù)學(xué)家們思維活動(dòng)的過(guò)程,感受到了數(shù)學(xué)家們敏銳的洞察力和機(jī)智,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維具有啟發(fā)意義。因?yàn)閷W(xué)生獲得知識(shí)的探索性思維與數(shù)學(xué)家從事研究活動(dòng)的探索性思維本質(zhì)上是相通的。而且科學(xué)家們孜孜以求,克服重重困難,深入探索的精神有助于培養(yǎng)學(xué)生鍥而不舍的鉆研精神,培養(yǎng)他們堅(jiān)強(qiáng)的意志。

    (作者單位:長(zhǎng)春市第一實(shí)驗(yàn)中海小學(xué))

    責(zé)編/張曉東

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