高考題怎樣改編（七）
——不等式篇

蘇 玖

高考題 （2019年全國Ⅱ理科卷第23題）已知函數(shù)f（x）=|x-a|x+|x-2|（x-a）.

（1）當a=1時，求不等式f（x）＜0的解集；

（2）當x∈ （-∞，1）時，f（x）＜0，求a的取值范圍.

點撥 本題是二次不等式與絕對值不等式的解法，考查了分類討論思想，題目難度不大.如果已知不等式解集中整數(shù)的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍，于是有改編1.

改編1已知不等式|有三個整數(shù)解，求a的取值范圍.

點撥 本題先解絕對值不等式，然后再利用數(shù)形結(jié)合思想確定端點所滿足的條件.其實這類絕對值不等式兩邊平方就轉(zhuǎn)化為一元二次類型不等式，這也是高考重點考查的內(nèi)容，于是有改編2.

改編2集合｛x∈Z|x2-x-6≤0｝為（ ）

A.｛x|-2≤x≤3｝

B.｛x|-3≤x≤2｝

C.｛-2，-1，0，1，2，3｝

D.｛-3，-2，-1，0，1，2｝

點撥 這類問題常出現(xiàn)在高考卷或模擬卷中，題型常是選擇題.因此解一元二次不等式最基本的方法就是因式分解中的十字相乘法.如果將x替換為x2，則又可以有改編3.

改編3不等式x4-3x2+2＞0的解集為________.

點撥 本題是二次不等式中的雙二次，將x2作為整體求解二次不等式，然后再開方運算.若將不等式中引入一個參數(shù)，再結(jié)合集合運算，于是有改編4.

改編4已知集合A=｛x|x2-5x+4≥0｝，B=｛x|x2-2ax-3a2≤0｝，若A∪B=R，則實數(shù)a的取值范圍為________.

點撥 本題是含有參數(shù)的一元二次不等式，利用集合運算判斷出集合B的區(qū)間端點與集合A的區(qū)間端點的關(guān)系，再建立關(guān)于a的不等式，求出a的取值范圍.如果二次不等式的值域為R，于是又有改編5.

改編5已知二次不等式f（x）=ax2+bx+c≥0的解集為R，求的最小值.

點撥 由已知不等式解集為R可以判斷a＞0，同時得到判別式小于等于零，利用不等式性質(zhì)建立不等關(guān)系，從而利用減元思想將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，很容易求解.其實可以利用秒殺的方法求解，事實上判斷a＞0，而f（1）≥0，故所求式子的最小值為0.

詳細解析

●原●題 （1）（-∞，1）；（2）［1，+∞）.

當a=0時，1＜x＜7，有5個整數(shù)解，不合適，舍去.

當a＞0時，要使不等式有三個整數(shù)解，必有，

●改●編●2x2-x-6≤0等價于（x+2）（x-3）≤0，

所以-2≤x≤3，整數(shù)解為-2，-1，0，1，2，3，

故整數(shù)解集為｛-2，-1，0，1，2，3｝.故選C.

●改●編●3 因為x4-3x2+2＞0，所以x2＞2或x2＜1，

●改●編●4A=（-∞，1］∪［4，+∞），集合B中的不等式等價于（x+a）（x-3a）≤0，不等式對應(yīng)兩個零點分別為-a和3a，因為A∪B=R，所以-a≤1且3a≥4，或者3a≤1且-a≥4，所以a≤-4或.

●改●編●5 因為a≠0，f（x）=ax2+bx+c≥0的解集為R，

所以a＞0，Δ=b2-4ac≤0，即b2≤4ac，.

Tips：

（1）解一元二次不等式的一般步驟：

①化為標準形式（二次項系數(shù)大于0）；②確定判別式Δ的符號；③若Δ≥0，則求出該不等式對應(yīng)的二次方程的根，若Δ＜0，則對應(yīng)的二次方程無根；④結(jié)合二次函數(shù)的圖象得出不等式的解集.

（2）解含參數(shù)的一元二次不等式，需要對參數(shù)進行分類討論：

① 二次項中若含有參數(shù)，應(yīng)討論是小于零、等于零，還是大于零，然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為正的形式；

② 當不等式對應(yīng)方程的根的個數(shù)不確定時，討論判別式Δ與零的關(guān)系；

③ 確定無根時可直接寫出解集，確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式.

牛刀小試

（2019年江蘇卷第21C題）設(shè)x∈R，解不等式|x|+|2x-1|＞2.

改編1：設(shè)函數(shù)f（x）=5-|x+a|-|x-2|.

（1）當a=1時，求不等式f（x）≥0的解集；

（2）若f（x）≤1，求a的取值范圍.

改編2：（2018年全國Ⅰ文科卷）已知f（x）=|x+1|-|ax-1|.

（1）當a=1時，求不等式f（x）＞1的解集；

（2）若x∈（0，1）時不等式f（x）＞x成立，求a的取值范圍.

改編3：（2017年全國Ⅰ理科卷）已知函數(shù)f（x）=-x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x-1|.

（1）當a=1時，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含［-1，1］，求a的取值范圍.

解題回顧

（1）在解決有關(guān)絕對值不等式的問題時，充分利用絕對值不等式的幾何意義解決問題能有效避免分類討論不全面的問題.若用零點分段法求解，要掌握分類討論的標準，做到不重不漏.

（2）絕對值不等式|a±b|≤|a|+|b|，從左到右是一個放大過程，從右到左是縮小過程，證明不等式可以直接用，也可利用它消去變量求最值.絕對值不等式是證明與絕對值有關(guān)的不等式的重要工具，但有時還需要通過適當?shù)淖冃问蛊浞辖^對值不等式的條件.