分類討論在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

郭海霞

【摘要】

在初中數(shù)學(xué)解題方法中應(yīng)用最為廣泛的就是分類討論思想，分類討論的解題思路可以幫助學(xué)生快速掌握數(shù)學(xué)理論知識(shí)，還可以在正確的解題思路下，有效地掌握解題的規(guī)律.近年來，許多教材和試卷都增加了分類討論的內(nèi)容，這樣加大了試卷的難度.大多數(shù)學(xué)生對(duì)分類討論的數(shù)學(xué)題目并不在行.因此，對(duì)于分類討論在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用應(yīng)該要更加重視.本文將首先對(duì)分類討論的內(nèi)容和作用進(jìn)行闡述，從而分析分類討論法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】分類討論;初中數(shù)學(xué);解題應(yīng)用

1 分類討論法

1.1 分類討論法的內(nèi)容

（1）分類討論簡(jiǎn)單說就是指根據(jù)數(shù)形的種類性質(zhì)的不同，按照標(biāo)準(zhǔn)的分類原則對(duì)數(shù)學(xué)情況進(jìn)行分類之后，再次進(jìn)行討論，歸納總結(jié)的過程.

（2）它的基本應(yīng)用步驟就是根據(jù)已知題目?jī)?nèi)容分析確定要進(jìn)行分類的對(duì)象，首先確立一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的分類原則，然后根據(jù)分類原則進(jìn)行逐級(jí)分類，最后根據(jù)具體情況進(jìn)行歸納和總結(jié).其中初步審題中需要特別注意厘清分類對(duì)象的內(nèi)涵和可延伸的內(nèi)容.

1.2 分類討論法的意義

在學(xué)生學(xué)習(xí)的所有科目中數(shù)學(xué)屬于較難的科目，同時(shí)也是對(duì)學(xué)生邏輯能力和思維能力有較高要求的科目.一個(gè)學(xué)生的思維邏輯能力可以通過數(shù)學(xué)來檢測(cè).數(shù)學(xué)不需要死記硬背，它是檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的一門科目.分類討論在數(shù)學(xué)的教學(xué)中的地位越來越重要，因?yàn)樗枰獙W(xué)生具備細(xì)心、耐心，還有嚴(yán)密的數(shù)學(xué)邏輯思維等條件.目前大部分學(xué)生還是沒有掌握正確的學(xué)習(xí)方法，他們認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門枯燥的學(xué)科，不愿意學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，這樣導(dǎo)致其對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)失去興趣.大部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生厭倦，第一是因?yàn)閷?duì)數(shù)學(xué)的概念理解不透徹，

分?jǐn)?shù)比較低打擊了自信心;第二是由于個(gè)人粗心大意解題差錯(cuò)百出，因此他們喪失了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情;第三還包括學(xué)生答題的不規(guī)范性，考試緊張，綜合理解能力比較弱等等.因此，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，找到正確的學(xué)習(xí)方法是非常重要的，學(xué)生如果能將分類討論思想應(yīng)用在數(shù)學(xué)解題中，不僅會(huì)高效地提升其解題思路，同時(shí)也能培養(yǎng)其綜合能力.

1.3 如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類討論

分類討論有助于培養(yǎng)學(xué)生的思維，看似很難的題目，我們進(jìn)行分類討論后也能變得簡(jiǎn)潔易懂.很多學(xué)生會(huì)對(duì)需要分類討論的數(shù)學(xué)題目產(chǎn)生恐懼、畏難的情緒.教師應(yīng)該對(duì)學(xué)生進(jìn)行積極的引導(dǎo)，讓學(xué)生樹立解題的自信心.

在分類討論的過程中，學(xué)生需要掌握一定的思維邏輯，因此教師需引導(dǎo)學(xué)生積極做題以鍛煉其邏輯思維，使其在題目中能夠感受到分類討論的原則.學(xué)生的腦子記住了，其實(shí)不一定會(huì)寫.教師還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生把學(xué)會(huì)的分類思維運(yùn)用到題目上，使其擁有應(yīng)變能力，并且把分類思維和課本的數(shù)學(xué)概念公式相結(jié)合起來，讓學(xué)生真正地掌握分類思維.

針對(duì)學(xué)生現(xiàn)存學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的問題，教師應(yīng)該回歸基礎(chǔ)，因?yàn)椴皇撬械膶W(xué)生水平都高超，教師應(yīng)該結(jié)合學(xué)生的平均水平來確定上課的難度，及時(shí)把學(xué)生的知識(shí)給概括化，系統(tǒng)化，及時(shí)做好歸納總結(jié)，讓學(xué)生對(duì)當(dāng)天的數(shù)學(xué)課堂有清晰的理解.教師應(yīng)留心觀察每個(gè)學(xué)生的心態(tài)和情緒，發(fā)現(xiàn)學(xué)生情緒不對(duì)的時(shí)候，應(yīng)該及時(shí)找學(xué)生了解清楚.有些學(xué)生不敢去和教師交流，教師作為學(xué)生的引路人，應(yīng)該積極主動(dòng)地去了解他們的學(xué)習(xí)情況.

教師上課的時(shí)候，注意力不應(yīng)該只在課程的進(jìn)度上，還要注意學(xué)生的聽課情況，學(xué)生是否真的把知識(shí)點(diǎn)聽進(jìn)去了，否則教師在講臺(tái)上再賣力再辛苦也是沒有收獲的.教師應(yīng)該給學(xué)生留有思考的空間和余地，教會(huì)他們發(fā)散思維的能力.如果教師經(jīng)常直接告訴學(xué)生答案，那么學(xué)生就會(huì)依賴?yán)蠋熁蛘呓滩臅?，而逐漸喪失思考的能力.

2 分類討論法在具體數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用

2.1 數(shù)的分類

數(shù)學(xué)中包含各種各樣的數(shù)，學(xué)生靠著死記硬背是很難把數(shù)的分類記下來的，教師可以畫樹形圖教學(xué)生速記.例如，數(shù)的分類是怎么樣的，實(shí)數(shù)包括什么數(shù).學(xué)生掌握了數(shù)的分類以后，解決數(shù)的問題就更加容易上手了.例如，選出正確答案：A.一個(gè)無理數(shù)是整數(shù)或者分?jǐn)?shù); B.一個(gè)有理數(shù)是正數(shù)或者負(fù)數(shù);C.一個(gè)整數(shù)不是正的就是負(fù)的;D.一個(gè)分?jǐn)?shù)不是正的，就是負(fù)的.只有真正明白數(shù)的分類才能做出來這道題目，很明顯答案是D.

2.2 根據(jù)方程中x的取值分類

例如，|2x-1|=7，解決這道題目時(shí)，如果只寫2x-1=7得x=4，則這道題可能得一半分.因?yàn)檫@道題有絕對(duì)值符號(hào)，所以學(xué)生還需要考慮負(fù)數(shù)的因素，解決這道題還需要寫1-2x=7，所以x還有一個(gè)解為-3.如果學(xué)生沒有根據(jù)絕對(duì)值進(jìn)行取值，就會(huì)只得出一個(gè)答案，導(dǎo)致一半分?jǐn)?shù)的丟失.

2.3 根據(jù)題目的可能性進(jìn)行分類

例如，小明家里有一個(gè)矩形的相框，其相鄰兩邊長(zhǎng)分別為10 cm和20 cm，小明還想做一個(gè)與該相框形狀完全相同的相框，但手中只有一個(gè)30 cm長(zhǎng)的框料，那么在新相框中與小明手中的框料制成的邊相鄰的邊有多長(zhǎng)？

綜上可知，根據(jù)圖形的要素進(jìn)行明確的分類分析才能推理出正確的答案.

2.5 “三角形”問題中的分類討論應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)的題目中，已知的三角形的具體形狀大多都是不確定的，這時(shí)就需要學(xué)生擁有明確的解題思路，對(duì)三角形問題進(jìn)行深度探討分析，對(duì)題目進(jìn)行分類分析.例如，等腰三角形的一條腰上的高與另一條腰上的高的夾角為40°，求這個(gè)三角形的頂角度數(shù)是多少.

已知條件并沒有給出三角形的具體形狀，所以對(duì)三角形的形狀只能先進(jìn)行假設(shè).

首先，假設(shè)三角形的頂角為鈍角，接下來可以大致畫出三角形，這樣就可以得知三角形的腰在三角形外部.那么根據(jù)三角形的外角等于與之不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和，可以推斷出三角形的頂角為90°+40°=130°.

其次，將三角形的頂角假設(shè)為銳角，同樣根據(jù)畫出圖形的方法可知，腰出現(xiàn)在三角形的內(nèi)部.由于三角形的內(nèi)角和為180°，則可推斷出三角形的頂角度數(shù)為90°-40°=50°.

所以，最終解題結(jié)果為三角形的頂角度數(shù)為130°或50°.

在解題時(shí)運(yùn)用分類討論法，首先就是需要考慮三角形的具體形狀，根據(jù)題目中的已知條件列出所有可能的情況，然后按照分類討論原則，逐一進(jìn)行討論與解題.這樣，學(xué)生在解題中既能保持清晰的思路，同時(shí)又能得到正確的答案.

2.6 分類討論不等式

初中數(shù)學(xué)中還有一個(gè)十分常見的問題就是不等式問題，有時(shí)需要運(yùn)用分類討論思想進(jìn)行解題，從而得出答案.

例如，（a-5）x>a2-25，求x的值.

根據(jù)題目已知內(nèi)容，可知不能只用一種方式進(jìn)行求解，需要將所有情況都列出來，進(jìn)行分類討論.

（1）假設(shè)a-5>0，那么 a>5，則 x>a+5;

（2）假設(shè)a-5=0，那么 a=5，此時(shí)出現(xiàn)無解的情況;

（3）假設(shè)a-5<0，那么 a<5，則x

所以，最終可以得出結(jié)果：當(dāng)a>5時(shí)，x>a+5;當(dāng)a=5時(shí)，無解;當(dāng)a<5時(shí)，x

由于有些不等式問題存在不確定性，因此，學(xué)生在解題中一定要進(jìn)行全面的分析.分類討論思想在不等式問題中的應(yīng)用是較為廣泛的，將每一個(gè)有可能性的情況都進(jìn)行討論，盡量較少出現(xiàn)遺落某一個(gè)點(diǎn)的錯(cuò)誤.

2.7 參變量或結(jié)果存在多種可能進(jìn)行分類討論應(yīng)用

對(duì)于初中數(shù)學(xué)來說，會(huì)涉及很多種已知題目信息不明確的問題，這就會(huì)導(dǎo)致參變量或結(jié)果存在多種可能的情況.

學(xué)生如果沒有明確的解題思路，就會(huì)有解題中出現(xiàn)結(jié)果不準(zhǔn)確、不完整的情況出現(xiàn).

在運(yùn)用分類討論法解題研究時(shí)，學(xué)生應(yīng)對(duì)每一個(gè)點(diǎn)、每一個(gè)圖形的位置等都仔細(xì)研究，把每一種可能出現(xiàn)的情況都想出來.

例如，已知一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為3和4，求這個(gè)三角形第三條邊的長(zhǎng).

根據(jù)已知條件，我們不能只考慮一種情況，需要用分類討論的方法進(jìn)行解題，將可能的兩種情況列出來進(jìn)行分析.

（1）由題目得出直角三角形的兩條邊長(zhǎng)，那么假設(shè)已知的兩條邊長(zhǎng)都為直角邊長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可知，第三條邊長(zhǎng)為5;

（2）假設(shè)題目中的邊長(zhǎng)為直角邊長(zhǎng)和斜邊長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可知，第三條邊長(zhǎng)為

最終得出結(jié)果，這個(gè)三角形的第三條邊的長(zhǎng)為5或

這個(gè)題目具有不確定性，在解題中，學(xué)生一般不會(huì)多加思考，而是直接運(yùn)用最熟悉的勾股定理進(jìn)行解題，即勾三股四弦五，從而得出答案為5，這樣的解題過程是不全面的，沒有將每一種情況都考慮進(jìn)去，導(dǎo)致了結(jié)果的缺失.因此，對(duì)于問題的參變量或結(jié)果存在多種可能性的情況，我們應(yīng)該運(yùn)用分類討論法進(jìn)行解答，從而確保對(duì)題目解答的完整、準(zhǔn)確.

2.8 分類討論數(shù)學(xué)中的代數(shù)

教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生在解題中對(duì)不同的題目進(jìn)行分析，把學(xué)生培養(yǎng)出分類討論的敏感.在解決問題時(shí)，我們應(yīng)該能夠看清題目的本質(zhì)，然后把題目進(jìn)行分類.例如，a2-1+b2-2ab=，這個(gè)式子應(yīng)該用分組分解的方法.因?yàn)樗环譃榱怂捻?xiàng).本題目中a2+b2-2ab正好符合完全平方式，應(yīng)該考慮為一組.a2-1+b2-2ab=（a2+b2-2ab）-1=（a-b）2-1=（a-b+1）（a-b-1），所以答案就是（a-b+1）（a-b-1）.

3 結(jié)語

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)的解題中分類討論思想方法是一種非常重要的方法，它有效地幫助學(xué)生提升個(gè)人的綜合能力，開發(fā)學(xué)生的思維，使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)能夠使用正確的方法，從而保持對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛，提升學(xué)習(xí)的質(zhì)量.我們除了在學(xué)習(xí)上可以進(jìn)行分類討論，在生活中同樣需要對(duì)事情進(jìn)行分類討論.我們?cè)跀?shù)學(xué)中學(xué)習(xí)到的思維在生活中同樣能夠應(yīng)用，甚至該思維能夠貫串一生.因此，教師應(yīng)該讓每一位學(xué)生都學(xué)會(huì)分類討論的思路，通過正確的邏輯解題，不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，這樣學(xué)生才能在數(shù)學(xué)解題中正確并且有效地應(yīng)用分類討論方法.

【參考文獻(xiàn)】

[1]康嘉.試談初中數(shù)學(xué)分類討論思想在解題中的應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究，2015（12）：44.

[2]趙秀坤.初中數(shù)學(xué)分類討論思想在解題中的應(yīng)用[J].學(xué)周刊，2012（07）：128.

[3] 鄒秦.分類討論思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的作用[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)，2014（05）：237.