將數(shù)學(xué)建模思想引入“貝葉斯公式”教學(xué)中的案例實施

曹建美，馮晨嬌，王鳳翔

（山西財經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，山西太原030006）

0 引言

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門學(xué)科，因其抽象性強、題型靈活，需要扎實的“高等數(shù)學(xué)”基礎(chǔ)，被大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為是大學(xué)本科階段3門公共數(shù)學(xué)課程中最難學(xué)習(xí)的一門課程。數(shù)學(xué)建模是將實際問題抽象轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)問題，使用數(shù)學(xué)公式、圖形等進(jìn)行推導(dǎo)演繹進(jìn)而來研究實際問題的一種思想和方法［1］。將數(shù)學(xué)建模思想引入“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程的教學(xué)改革，旨在增強大學(xué)生熟練運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。概括起來，教師可在新課導(dǎo)入、知識應(yīng)用、課后拓展3個教學(xué)環(huán)節(jié)中結(jié)合數(shù)學(xué)建模進(jìn)行案例教學(xué)［2-3］。本文選用“貝葉斯公式”一節(jié)，探討如何實施將數(shù)學(xué)建模思想引入“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程的案例教學(xué)。

1 貝葉斯公式及全概率公式的推廣概述

1.1 貝葉斯公式與證明

設(shè)B1，B2，…，Bn為Ω的一個分割，即B1，B2，…，Bn互不相容，且B i=Ω，如果P（A）＞0，P（Bi）=0（i=1，2，…，n），則P(B i A)=,i=1,2,…,n。

證明：由條件概率的定義（所謂條件概率，是指在某事件B發(fā)生的條件下，求另一事件A的概率，記為P(A B)）

對上式的分子用乘法公式、分母用全概率公式，P(ABi)=P(B i)P(A Bi)

P(A)=P(B i)P(A Bi)

P(B i A)=,i=1,2,…,n

結(jié)論得證。

1.2 貝葉斯公式及其與全概率公式的聯(lián)系

介紹了貝葉斯公式后還需介紹全概率公式，因為全概率公式和貝葉斯公式是一組互逆公式。以下先了解全概率公式的概念。

設(shè)B1，B2，…，Bn為樣本空間Ω的一個分割，即B1，B2，…，Bn互不相容，且Bi=Ω，如果P（Bi）＞0（i=1，2，…，n），則對任一事件A有P(A)=P(B i)P(A|B i)

證明：因為

A=AΩ=A

且AB1，AB2，…，ABn互不相容，所以由可加性得

P(A)=P

再將P(AB i)=P(B i)P(A|B i),i=1,2,…,n代入上式即得：

由證明可知，全概率公式就是貝葉斯公式的一種變形，它與貝葉斯公式是互逆應(yīng)用的，與貝葉斯公式一樣在實際生活中也有很廣泛的應(yīng)用。以下來探討貝葉斯公式在幾個方面的應(yīng)用。

1.3 貝葉斯公式推廣與證明

1.3.1 貝葉斯公式的推廣

設(shè)當(dāng)試驗的隨機過程不少于兩個的時候，在影響目標(biāo)事件的每一個試驗過程中分別建立完備事件組，貝葉斯公式即可進(jìn)一步推廣。

1.3.2 貝葉斯公式推廣定理

設(shè)Ai（i=1，2，…，n）和Bj（j=1，2，…，n）是先后兩個試驗過程中的劃分，C為目標(biāo)事件。當(dāng)P（C）＞0，P（Ai）＞0，P（Bi）＞0，P（AiBj）＞0，i=1，2，…，n，j=1，2，…，m時，則有：

P(B j|C)=,j=1,2,…,m

P(A i B j|C)=,i=1,2,…,n,j=1,2,…,m

證明：（1）P(Ai|C)==

同理可以證明（2）、（3）。

1.4 貝葉斯公式推廣總結(jié)

整理文獻(xiàn)后，可把貝葉斯公式歸為兩種形式，即事件型和隨機變量型，這是就樣本本身的性質(zhì)而言的。上述推廣結(jié)論是由不同的技巧推廣而來的。從公式的條件出發(fā)，討論拓寬公式應(yīng)用的面。在經(jīng)典的貝葉斯公式當(dāng)中要求事件列是“互不相容”的，這方面削弱了這一條件給出廣義的貝葉斯公式，無論相容與否都可以直接計算。從公式的形式出發(fā)，增加公式的靈活度。例如：在經(jīng)典的貝葉斯公式中，樣本是離散的，但是實際計算當(dāng)中，遇到復(fù)雜事件的時候，就不太實用了，這時候可以把全概率公式推廣到隨機變量的情形。當(dāng)然，隨機變量有可能是離散的，或者是連續(xù)的，也可能是混合型隨機變量，所以可以再利用分布律來求解有關(guān)問題。從公式的計算輔助出發(fā)，創(chuàng)新地利用公式的推廣，用在風(fēng)險模型的改進(jìn)、風(fēng)險計算和風(fēng)險過程的分析當(dāng)中。但是可以發(fā)現(xiàn)，隨機變量的貝葉斯公式的推廣結(jié)論，要明顯少于事件型的推廣結(jié)論。一方面，隨機過程是一門很深很難的學(xué)科；另一方面，貝葉斯公式還是局限在概率的計算這個問題中，用于例子的一般計算，采用事件型就能夠完成。然而，隨著各個學(xué)科的相互滲透，事件型概率雖然已有較多的推廣形式值得學(xué)習(xí)和借鑒，但是當(dāng)遇到實際問題時，還是要對貝葉斯公式形式作一些新的變化，使之能更好地為計算和研究服務(wù)。

2 在“新課導(dǎo)入”環(huán)節(jié)結(jié)合數(shù)學(xué)建模思想和方法，通過案例教學(xué)導(dǎo)入新知

例1.由包括中國學(xué)者在內(nèi)的新冠病毒（COVID-19）緊急系統(tǒng)性綜述工作組完成的一項研究在《柳葉刀》雜志發(fā)表［4］，該研究科學(xué)論證了保持1 m以上社交距離、戴口罩和眼睛防護(hù)是預(yù)防新冠病毒感染的有效手段。其中，戴口罩這樣一項在中國司空見慣的預(yù)防措施，在歐美國家卻成了較難實行的一項措施。試用概率知識解釋戴口罩的必要性。

分析（實際問題數(shù)學(xué)化）：在一個高風(fēng)險地區(qū)，假設(shè)該地區(qū)的居民能夠保持安全的社交距離與眼部防護(hù)，如果已知一個人感染了新冠肺炎，求他是因為沒戴口罩被感染的概率。

之后，需要“設(shè)事件”，設(shè)B表示“居民感染新冠”，A1表示“居民佩戴口罩”，A2表示“居民不佩戴口罩”，則該數(shù)學(xué)問題是求P（A2|B）。

解：首先，對該問題進(jìn)行一些合理的假設(shè)。

2.1 模型假設(shè)

①假設(shè)在一個偏好戴口罩的地區(qū)，有95%的人習(xí)慣戴口罩，5%的人不習(xí)慣戴口罩；

②假設(shè)在一個不偏好戴口罩的地區(qū)，有5%的人習(xí)慣戴口罩，95%的人不習(xí)慣戴口罩；

③假設(shè)在高風(fēng)險地區(qū)，佩戴口罩時被感染的概率為3.1%，不戴口罩時被感染的概率為17.4%［4］。

2.2 模型建立

根據(jù)條件概率公式，P（A2|B）=P（A2B）/P（B）。對于分子，根據(jù)乘法公式，可知P（A2B）=P（A2）P（B|A2），對于分母，要求P（B）。從題中可以看出，排除其他情況，有兩個情況可能會出現(xiàn)“居民感染新冠”這個結(jié)果，分別是情況1——居民佩戴口罩（A1），或情況2——居民未佩戴口罩（A2）。因此，“居民感染新冠”可包括兩種情況：居民佩戴著口罩同時被感染，或者居民未佩戴口罩同時被感染，即B=A1B+A2B，從而P（B）=P（A1B+A2B）。由于A1B與A2B不同時發(fā)生，故P（B）=P（A1B）+P（A2B）。使用乘法公式，P（A1B）=P（A1）P（B|A1），P（A2B）=P（A2）P（B|A2），得到P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2），這就是已經(jīng)學(xué)習(xí)過的全概率公式。將分子、分母分別代入，可得到P（A2|B）=P（A2）P（B|A2）/［P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）］，即可推導(dǎo)得出貝葉斯公式。

2.3 模型計算

如果是在不偏好佩戴口罩的地區(qū)，由假設(shè)，P（A1）=5%，P（A2）=95%，P（B|A1）=3.1%，P（B|A2）=17.4%，該概率為：

P(A2|B)=

為了便于學(xué)生比較，可引導(dǎo)學(xué)生自行計算“如果已知一個人感染了新冠肺炎，求他是戴口罩情況下被感染的概率”，即計算P（A1|B）。在一個偏好戴口罩的地區(qū)，由假設(shè)，P（A1）=95%，P（A2）=5%，P（B|A1）=3.1%，P（B|A2）=17.4%，該概率為：

P(A1|B)=

（4）模型應(yīng)用。

通過計算發(fā)現(xiàn)，如果一個居民不幸感染了新冠，在不偏好戴口罩的地區(qū)，他是在沒戴口罩情況下被感染的概率高達(dá)99.1%，而在偏好戴口罩的地區(qū)，這一概率約為22.8%。這個結(jié)果充分驗證了西方國家和中國在預(yù)防新冠肺炎時面臨的防疫形勢，結(jié)果令人信服，同時從概率論的角度解釋了戴口罩進(jìn)行防疫的必要性。

在求解的過程中用到了一個公式：P(A2|B)=，即概率論中非常重要的貝葉斯公式。教師可繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)貝葉斯公式的使用條件、適用題型（執(zhí)果索因）、推廣形式（可推廣到n個原因）。

在解決實際問題的同時，通過數(shù)學(xué)建模思想，由淺入深，循序漸進(jìn)地推導(dǎo)出本次課程的主題內(nèi)容——貝葉斯公式，學(xué)生感覺公式的給出合情合理，避免了直接講解公式時學(xué)生感覺知識點的學(xué)習(xí)如無本之木、無源之水的困境。

3 在“知識應(yīng)用”環(huán)節(jié)利用數(shù)學(xué)建模思想和方法進(jìn)行案例教學(xué)達(dá)到知識鞏固

例2.利用概率知識解釋“狼來了”的寓言故事中村民對放羊娃的信任度是如何下降的。

解：（1）模型假設(shè)。

①假設(shè)一個孩子是誠實的孩子的概率為0.8；②假設(shè)一個誠實的孩子會說謊的概率為0.1；③假設(shè)一個不誠實的孩子會說謊的概率為0.5。

（2）模型建立。

用A1表示“孩子是誠實的”，A2表示“孩子是不誠實的”，B表示“孩子說謊”，根據(jù)貝葉斯公式：

P(A1|B)=

（3）模型計算。

由假設(shè)可知，P（A1）=0.8，P（A2）=0.2，P（B|A1）=0.1，P（B|A2）=0.5，則放羊娃第一次說謊后，村民對其信任度為：P(A1|B)==0.444

在放羊娃第一次說謊后，在村民眼中，這個孩子是誠實的概率降為0.444，即此時可認(rèn)為P（A1）=0.444，P（A2）=0.556。繼續(xù)計算，放羊娃第二次說謊后，村民們對放羊娃的信任度：

P(A1|B)=≈0.138

（4）模型應(yīng)用。

放羊娃兩次說謊后，村民們對放羊娃的信任度從最初的0.8下降為0.138，所以這個故事的結(jié)局是悲慘的，放羊娃因為自己的一再說謊付出了生命的代價。本例是貝葉斯公式的一個應(yīng)用案例，通過對“狼來了”這一寓言故事進(jìn)行數(shù)學(xué)建模分析，既讓學(xué)生深刻理解了該寓言故事蘊含的“誠信做人”的深刻內(nèi)涵，同時還能幫助學(xué)生掌握貝葉斯公式的使用條件、適用題型，并培養(yǎng)學(xué)生利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，極大地激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣。

4 在“課后拓展”環(huán)節(jié)結(jié)合數(shù)學(xué)建模思想和方法來進(jìn)行案例教學(xué)達(dá)到知識拓展

例3.垃圾郵件的識別、智能手機自動翻譯、語音識別等很多人工智能現(xiàn)象的關(guān)鍵算法核心都是貝葉斯公式。請各小組結(jié)合數(shù)學(xué)建模的思想和方法探討貝葉斯公式是如何應(yīng)用到這些實際問題中建模的，并提交小組報告一份。

這是一個開放性的課后拓展作業(yè)，學(xué)生在課后可以查閱資料，小組討論，團(tuán)隊協(xié)作，結(jié)合數(shù)學(xué)建模的思想和方法完成一篇研究報告。限于篇幅，這里不再贅述。

5 結(jié)語

貝葉斯公式在很多數(shù)學(xué)模型中有很重要的作用。對貝葉斯公式進(jìn)行仔細(xì)分析，用例子說明了它的用法及所適用的概型，為了解決實際問題的需要，將貝葉斯公式進(jìn)行了推廣，用例子說明了推廣的貝葉斯公式在實際應(yīng)用中所適用的概型比貝葉斯公式的更廣。因此，貝葉斯公式在數(shù)學(xué)模型的求解中有著十分廣泛的作用，它是數(shù)學(xué)模型中一個經(jīng)常會被用到的工具。社會在飛速發(fā)展，決策者必須綜合考察以往的信息及現(xiàn)狀從而做出綜合判斷，決策概率分析越來越顯示其重要性，其中，貝葉斯公式主要用于處理先驗概率與后驗概率，是進(jìn)行決策的重要工具。

教師在課堂教學(xué)各個環(huán)節(jié)中有意識地融入數(shù)學(xué)建模的思想和方法進(jìn)行案例教學(xué)，將“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”的理論知識與實際問題結(jié)合起來，可以達(dá)到3個方面的教學(xué)效果：第一，讓學(xué)生充分認(rèn)識到該課程的實際應(yīng)用，使得課程學(xué)習(xí)從“無用”變得“有用”；第二，讓學(xué)生逐步了解了數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)，掌握了數(shù)學(xué)建模的基本方法，培養(yǎng)了學(xué)生解決實際問題的能力和創(chuàng)新能力，激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣，使得課程學(xué)習(xí)從“無趣”變得“有趣”；最后，學(xué)生對課程知識的理解得到深化，提高了學(xué)習(xí)效率，使得課程學(xué)習(xí)從“困難”變得“不難”。隨著教學(xué)活動的不斷深入，如何更加有效地融入數(shù)學(xué)建模的思想和方法，不斷提高教學(xué)質(zhì)量，這是需要進(jìn)一步探討和完善的地方。