動(dòng)態(tài)徑向基函數(shù)代理模型及在減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用研究*

戴嘉偉，羅偉林

(福州大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，福建 福州 350108)

0 引 言

多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化(MDO)在眾多工程領(lǐng)域已得到廣泛運(yùn)用。復(fù)雜非線性系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)通常具有子學(xué)科多、學(xué)科之間耦合關(guān)系強(qiáng)等特點(diǎn)，進(jìn)行數(shù)值仿真計(jì)算需要較高成本，且模擬時(shí)間長(zhǎng)。為解決多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化中數(shù)值模擬時(shí)間長(zhǎng)、效率低的問題，研究人員迫切希望有一種計(jì)算效率高，且精度又有保證的設(shè)計(jì)方法。

在該背景下，基于代理模型的優(yōu)化技術(shù)得到越來越多的關(guān)注[1]。代理模型的基本思想為通過從樣本中采集大量的有特征的樣本點(diǎn)，構(gòu)造出一個(gè)計(jì)算量小、可替代高精度數(shù)值模型的模型。目前，常用的代理模型類型包括：多項(xiàng)式響應(yīng)面模型(PRS)、Kriging模型、徑向基函數(shù)(RBF)模型、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(ANN)模型等。

與其他幾類模型相比，徑向基函數(shù)模型具有更優(yōu)越的非線性映射能力。徑向基函數(shù)代理模型在工程設(shè)計(jì)優(yōu)化領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)的可靠性評(píng)價(jià)[2]、翼型氣動(dòng)隱身優(yōu)化[3]、火炮多柔體動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)優(yōu)化[4]、圖像的噪聲抑制與細(xì)節(jié)保存[5]等。JIN R等[6]通過優(yōu)化效率、優(yōu)化精度等方面的比較，指出徑向基代理模型是較可靠的一種代理模型。韓鼎和鄭建榮[7]通過對(duì)多種代理模型的研究，從擬合精度、魯棒性、實(shí)現(xiàn)難度等多個(gè)方面比較，認(rèn)為徑向基函數(shù)代理模型有較為突出的擬合能力，并具有很高的魯棒性。BABAEI M和PAN I[8]通過對(duì)多種代理模型進(jìn)行評(píng)估發(fā)現(xiàn)，三次徑向基函數(shù)代理模型是其中最可信賴的。CHENG K等人[9]在基于方差的全局敏感性研究中，對(duì)多種代理模型進(jìn)行了測(cè)試，指出徑向基函數(shù)幾乎為所有光滑測(cè)試算例提供了理想逼近，且只需要調(diào)整一個(gè)參數(shù)，就能有效處理大量的訓(xùn)練樣本。

按照優(yōu)化過程中代理模型的樣本特點(diǎn)和使用方法，代理模型技術(shù)可分為靜態(tài)代理模型與動(dòng)態(tài)代理模型[10]：(1)靜態(tài)代理模型的樣本點(diǎn)數(shù)在優(yōu)化算法迭代開始之前就已經(jīng)采集好，在優(yōu)化過程中保持不變。若想要保證代理模型的精度，就需要在初始時(shí)采集足夠多的樣本點(diǎn)，但這樣降低了優(yōu)化效率；(2)動(dòng)態(tài)代理模型在優(yōu)化過程中會(huì)根據(jù)給定的規(guī)則不斷地更新樣本點(diǎn)，并重新構(gòu)造代理模型，整個(gè)優(yōu)化過程中代理模型和樣本點(diǎn)都是變化的。與靜態(tài)代理模型相比，動(dòng)態(tài)代理模型在優(yōu)化效率與優(yōu)化精度上都有著明顯的優(yōu)勢(shì)。

但信賴域方法容易陷入局部最優(yōu)解。為此，基于最小化置信下限準(zhǔn)則的動(dòng)態(tài)代理模型方法[14]被提出，但該方法受限于平衡常數(shù)的不確定性[15]。將置信下限與信賴域相結(jié)合為提高動(dòng)態(tài)代理模型的優(yōu)化效率和全局最優(yōu)解提供了一種有效途徑[16]。

筆者提出一種基于徑向基函數(shù)，聯(lián)合自適應(yīng)置信下限與信賴域的動(dòng)態(tài)代理模型優(yōu)化策略(self-adaptive lower confidence bound and trust region-dynamic radial basis function， ALCBTR-DRBF)。在優(yōu)化迭代的過程中，以代理模型預(yù)測(cè)值與真實(shí)模型響應(yīng)值之間的誤差作為確定置信下限公式中的動(dòng)態(tài)平衡常數(shù)的依據(jù)，應(yīng)用遺傳算法對(duì)置信下限進(jìn)行優(yōu)化，然后根據(jù)代理模型與真實(shí)模型的擬合程度更新信賴域信息，在新的信賴域內(nèi)選取并新增樣本點(diǎn)更新徑向基代理模型，最后將該優(yōu)化策略用于數(shù)學(xué)測(cè)試算例與NASA減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)中，以證明該優(yōu)化策略的有效性。

1 動(dòng)態(tài)代理模型構(gòu)建

1.1 徑向基函數(shù)

徑向基函數(shù)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、計(jì)算效率高的優(yōu)點(diǎn)，可適用于復(fù)雜的高維非線性問題[17]。應(yīng)用該函數(shù)，基本計(jì)算思路為：在d維空間中抽取n個(gè)初始樣本點(diǎn)x1,x2,…,xn∈Rd，目標(biāo)或約束的真實(shí)響應(yīng)值為y(x1),y(x2),…,y(xn)，徑向基函數(shù)基本形式為：

(1)

若滿足：

(2)

則式(1)可寫為：

Y=Φ·W

(3)

(4)

式中：W—權(quán)系數(shù)向量，W=(w1,w2,…,wn)T；Y—樣本點(diǎn)的真實(shí)響應(yīng)值，Y=(y1,y2,…,yn)T；Φ—徑向基函數(shù)。

常用的徑向基函數(shù)包括高斯函數(shù)、三次函數(shù)、逆多二次函數(shù)以及多二次函數(shù)等。筆者使用逆多二次函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(5)

式中：r—預(yù)測(cè)點(diǎn)與樣本點(diǎn)之間的歐氏距離；c—形狀參數(shù)，c為正常實(shí)數(shù)，通常取值范圍為(0，10)。

1.2 置信下限準(zhǔn)則

1.2.1 樣本更新

在動(dòng)態(tài)代理模型的優(yōu)化過程中，常用的樣本點(diǎn)更新方法有：期望改進(jìn)(expected improvement，EI)準(zhǔn)則和最小化置信下限準(zhǔn)則。此外，SBESTER A等人[18]提出了一種并行加點(diǎn)的方法，并結(jié)合徑向基函數(shù)驗(yàn)證了其有效性。

進(jìn)行樣本點(diǎn)更新時(shí)，傳統(tǒng)的EI準(zhǔn)則每次迭代更新都會(huì)計(jì)算任意點(diǎn)相對(duì)代理模型當(dāng)前預(yù)測(cè)最優(yōu)值的改善期望，添加可被改善期望值最大的點(diǎn)，能較好地平衡搜尋的全局性與效率。當(dāng)預(yù)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)差較小時(shí)，搜尋將在當(dāng)前預(yù)測(cè)值附近，強(qiáng)化局部搜索能力；當(dāng)預(yù)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)值較大時(shí)，搜尋重點(diǎn)將轉(zhuǎn)移到預(yù)測(cè)精度低的區(qū)域，從而提高全局搜尋能力。傳統(tǒng)的EI準(zhǔn)則要根據(jù)期望函數(shù)計(jì)算空間中每個(gè)樣本點(diǎn)的期望值，在復(fù)雜問題中計(jì)算量偏大、效率降低。因此，置信下限準(zhǔn)則被提了出來。

置信下限準(zhǔn)則一般表示為[19]:

(6)

假設(shè)徑向基函數(shù)每個(gè)確定性響應(yīng)值y(x)是某個(gè)隨機(jī)過程Y(x)的實(shí)現(xiàn)，利用n個(gè)響應(yīng)的分布Y=(y(1),y(2),…,y(n))，可求出假設(shè)的隨機(jī)過程在xn+1處的方差為：

(7)

當(dāng)平衡常數(shù)w=0時(shí)，置信下限準(zhǔn)則與預(yù)測(cè)值等價(jià)，此時(shí)搜索重心將放在當(dāng)前預(yù)測(cè)值周邊，提高局部搜索能力；當(dāng)w→+∞時(shí)，預(yù)測(cè)值對(duì)整體表達(dá)幾乎不產(chǎn)生影響，置信下限準(zhǔn)則將等價(jià)于最大化預(yù)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)差，搜索重心從預(yù)測(cè)值周邊轉(zhuǎn)移到預(yù)測(cè)精度較低的部分，搜索范圍從局部過渡到全局并加強(qiáng)全局搜索能力，且使問題變?yōu)樽钚』瘑栴}。

為減少置信下限準(zhǔn)則中平衡常數(shù)w因人為經(jīng)驗(yàn)確定所帶來的誤差與波動(dòng)，常采用一種自適應(yīng)平衡常數(shù)置信下限方法。

1.2.2 平衡常數(shù)的自動(dòng)確定

通過代理模型預(yù)測(cè)值與真實(shí)模型響應(yīng)值之間的誤差與預(yù)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)差的比較，可確定平衡常數(shù)為:

(8)

1.3 信賴域方法

信賴域方法常被用來解決非線性規(guī)劃問題，其核心思想是在每次迭代時(shí)，在一個(gè)選定的可信賴區(qū)域內(nèi)，利用近似模型在當(dāng)前中心點(diǎn)擬合真實(shí)模型，通過優(yōu)化算法尋優(yōu)得到當(dāng)前近似模型最優(yōu)解，將其作為下一次優(yōu)化迭代時(shí)信賴域區(qū)域更新的起始點(diǎn)。該方法通過近似模型與真實(shí)模型的擬合程度，判斷是否需要縮放信賴域空間。若當(dāng)前近似模型滿足精度要求，則擴(kuò)大信賴域搜索范圍；否則縮小信賴域搜索范圍，保證下次優(yōu)化結(jié)果的精度。如此反復(fù)迭代更新直至獲得真實(shí)模型最優(yōu)解。

對(duì)于任意非線性目標(biāo)函數(shù)f(x),假設(shè)近似模型mk(p)=f(xk+p)，在第k次迭代中的增量p為：

(9)

式中：Δk—信賴域半徑。

假定在優(yōu)化過程的第k步增量為pk，則目標(biāo)函數(shù)在第k步的實(shí)際下降量記為：

Aredk=f(xk)-f(xk+pk)

(10)

近似模型的下降量記為：

Predk=mk(0)-mk(pk)

(11)

參數(shù)Δk的選定一般根據(jù)下式進(jìn)行調(diào)整：

(12)

式中：rι—近似模型與目標(biāo)函數(shù)的近似程度。

rι越接近于1表示近似程度越高，此時(shí)可以適當(dāng)擴(kuò)大信賴域半徑；反之，則需對(duì)Δk適當(dāng)縮小。信賴域方法通常使用Taylor展開式逼近原函數(shù)，涉及到復(fù)雜的Hessian矩陣計(jì)算，使整體計(jì)算量偏大。因此，筆者使用徑向基代理模型替代Taylor展開式來逼近原函數(shù)。

2 ALCBTR-DRBF優(yōu)化策略描述

2.1 優(yōu)化策略

基于所采用的最小化置信下限方法，優(yōu)化問題可用如下模型表示：

(13)

s.t.hj(x)=0j=1,2,…,J

gk(x)≤0k=1,2,…,K

xL,i≤xi≤xU,ii=1,2,…,nv

約束條件為真實(shí)模型所具有的約束，其優(yōu)化流程如圖1所示。

圖1 優(yōu)化流程圖

具體步驟如下：

(1)確定設(shè)計(jì)變量與設(shè)計(jì)空間D，建立分析模型；令迭代計(jì)數(shù)參數(shù)k=1，通過最優(yōu)拉丁超立方采樣方法[20]選取初始樣本點(diǎn)(循環(huán)中為新增樣本點(diǎn))。在選取初始樣本點(diǎn)時(shí)，樣本點(diǎn)數(shù)量通常為設(shè)計(jì)變量數(shù)的3到6倍，筆者選取初始樣本點(diǎn)數(shù)為：

(14)

(2)當(dāng)k=1時(shí)，初始信賴域采樣空間S1為整個(gè)設(shè)計(jì)空間，即S1=D。當(dāng)k>1時(shí)，信賴域空間是已更新的采樣空間；計(jì)算真實(shí)模型對(duì)應(yīng)初始樣本點(diǎn)(循環(huán)中為新增樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值)，然后將樣本點(diǎn)和響應(yīng)值儲(chǔ)存到相應(yīng)數(shù)據(jù)庫(kù)中；

(3)根據(jù)所獲得樣本構(gòu)建徑向基函數(shù)模型。依照已知信息和公式(13)獲得平衡常數(shù)w，根據(jù)式(6)確定置信下限；

(5)將第k次優(yōu)化所得到的可能最優(yōu)解xk代入真實(shí)模型，得到對(duì)應(yīng)真實(shí)響應(yīng)值f(xk)，并將xk和f(xk)存入數(shù)據(jù)庫(kù)；

(6)判斷是否滿足收斂標(biāo)準(zhǔn)。當(dāng)k=1時(shí)，直接轉(zhuǎn)入步驟7；當(dāng)k>1時(shí)，計(jì)算優(yōu)化過程中第k次與第k+1次所對(duì)應(yīng)最優(yōu)解的真實(shí)響應(yīng)值之間的相對(duì)誤差，判斷該誤差是否滿足收斂判定條件。若滿足，循環(huán)停止，優(yōu)化流程結(jié)束，步驟(4)中所得最優(yōu)解即為真實(shí)模型最優(yōu)解。若不滿足，則轉(zhuǎn)入步驟(7)；

(7)根據(jù)已知信息更新信賴域采樣空間。令迭代參數(shù)k=k+1，轉(zhuǎn)至步驟(2)。

2.2 信賴域更新策略

信賴域更新方法使用目標(biāo)函數(shù)值的下降程度作為更新準(zhǔn)則，能夠?qū)Σ蓸涌臻g進(jìn)行合理縮放，提高局部?jī)?yōu)化的精度與效率。筆者以最小化問題為例，信賴域更新的目的是使優(yōu)化迭代時(shí)，基于當(dāng)前代理模型的優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)的真實(shí)值的顯著下降。具體的更新步驟如下：

(1)確定信賴域采樣空間新的中心點(diǎn)xc。若目標(biāo)函數(shù)的真實(shí)值下降，即y(xk-1)-y(xk)>0，則將當(dāng)前可能最優(yōu)解xk作為更新的中心點(diǎn)，否則使用上一次的可能最優(yōu)解xk-1作為信賴域采樣空間更新的中心點(diǎn)；

(2)根據(jù)參數(shù)rι來調(diào)整信賴域半徑Δk，依據(jù)如下：

(15)

式中：c1，c2，r1，r2—常數(shù)；δ—最大信賴域半徑。

δ可取為初始設(shè)計(jì)空間半徑R。利用信賴域準(zhǔn)則更新樣本空間，為避免數(shù)次迭代后出現(xiàn)信賴域半徑過小或信賴域半徑過大的問題，此時(shí)可使用文獻(xiàn)[21]的方法進(jìn)行處理，得到更新之后的信賴域區(qū)域：

(16)

式中：xlbc—信賴域采樣空間的下邊界；xubc—信賴域采樣空間的上邊界；λR—最小信賴域半徑。

為了使優(yōu)化策略更好地跳出局部最優(yōu)解，給定最小信賴域半徑λR。其中，λ為常數(shù)，可根據(jù)不同的優(yōu)化問題取不同的值。

3 測(cè)試算例

3.1 數(shù)值測(cè)試算例

首先，選用SC函數(shù)和GN函數(shù)作為測(cè)試函數(shù)。

(1)SC函數(shù)表達(dá)式為：

(17)

該函數(shù)是兩變量、單峰函數(shù)，又稱六背駝峰函數(shù)，有2個(gè)全局最優(yōu)解和4個(gè)局部最優(yōu)解，全局理論極小值為-1.031 6。

(2)GN函數(shù)表達(dá)式為：

(18)

可見該函數(shù)是兩變量函數(shù)，全局理論極小值為0。

筆者使用所提出的ALCBTR-DRBF優(yōu)化策略，與動(dòng)態(tài)徑向基函數(shù)代理模型(DRBF)策略、基于信賴域的動(dòng)態(tài)徑向基函數(shù)代理模型(TR-DRBF)策略、基于傳統(tǒng)置信下限(w=1)的動(dòng)態(tài)徑向基函數(shù)代理模型(LCB-DRBF)策略、基于最小化置信下限與信賴域的Kriging動(dòng)態(tài)代理模型策略(IMLCB-TR)，分別對(duì)SC函數(shù)和GN函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，對(duì)優(yōu)化性能進(jìn)行比較。

信賴域方法參數(shù)取值如下：c1=0.75，c2=1.25，r1=0.1，r2=0.75，λ=0.05。取10次優(yōu)化結(jié)果的中位數(shù)作為最優(yōu)解，模型調(diào)用次數(shù)取10次優(yōu)化調(diào)用次數(shù)的平均值。

優(yōu)化結(jié)果對(duì)比如表1所示。

表1 優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

模型調(diào)用次數(shù)對(duì)比如表2所示。

表2 模型調(diào)用次數(shù)對(duì)比

由表1和表2可知：(1)針對(duì)SC函數(shù)，筆者所提出的ALCBTR-DRBF策略擁有最高的精度，且有著最少的模型調(diào)用次數(shù)；(2)針對(duì)GN函數(shù)，ALCBTR-DRBF策略所得的最優(yōu)解中間值與全局最優(yōu)解非常接近，在精度和效率方面都明顯優(yōu)于其他4種方法；(3)在優(yōu)化效率方面，DRBF調(diào)用模型次數(shù)最少，僅為133次，但該方法明顯陷入了局部最優(yōu)的情況。

綜上所述，ALCBTR-DRBF優(yōu)化策略在全局性和收斂性上有著更好的表現(xiàn)。

3.2 NASA減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例

為了驗(yàn)證該優(yōu)化策略在工程優(yōu)化領(lǐng)域的有效性，筆者選用了MDO領(lǐng)域經(jīng)典算例—NASA齒輪減速器[22]。該優(yōu)化問題可概括為：在滿足齒輪彎曲應(yīng)力、接觸應(yīng)力和扭轉(zhuǎn)變形的前提下，使減速器的體積(質(zhì)量)最小。

減速器結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 齒輪減速器結(jié)構(gòu)

該算例的數(shù)學(xué)模型如下[23]：

(19)

式中：x1—齒面寬度，2.6≤x1≤3.6；x2—齒輪模數(shù)，0.3≤x2≤1.0；x3—小齒輪齒數(shù)，17≤x3≤28；x4，x5—兩齒輪軸承間距，7.3≤x4≤8.3，7.3≤x5≤8.3；x6，x7—兩齒輪軸軸徑，2.9≤x6≤3.9，5≤x7≤5.5。

該優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的約束為非線性，筆者假設(shè)目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)高精度分析模型，真實(shí)模型約束為約束條件；分別比較ALCBTR-DRBF策略與DRBF策略、TR-DRBF策略和MLCB-DRBF策略的優(yōu)化結(jié)果，如表3所示。

表3 優(yōu)化結(jié)果

由表3知：(1)該算例理論最優(yōu)解為2 994，ALCBTR-DRBF策略所得優(yōu)化結(jié)果與理論最優(yōu)解誤差僅為0.006%，而DRBF策略、TR-DRBF策略、LCB-DRBF策略、IMLCB-TR策略與最優(yōu)解的誤差分別為6.5%、1.4%、9.0%、0.05%；(2)筆者提出的優(yōu)化策略調(diào)用分析模型的次數(shù)分別是DRBF策略、TR-DRBF策略、LCB-DRBF策略、IMLCB-TR策略分析模型調(diào)用次數(shù)的26.3%、62.4%、39.7%和43.0%。

由此可見，從優(yōu)化精度與優(yōu)化效率來看，筆者所提ALCBTR-DRBF策略均優(yōu)于DRBF策略、TR-DRBF策略、LCB-DRBF策略和IMLCB-TR策略。

4 結(jié)束語

(1)針對(duì)多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計(jì)的需求，筆者在現(xiàn)有動(dòng)態(tài)徑向基函數(shù)代理模型方法的基礎(chǔ)上，提出了集合信賴域和置信下限準(zhǔn)則的動(dòng)態(tài)徑向基函數(shù)代理模型優(yōu)化方法；

(2)筆者提出的ALCBTR-DRBF策略整合了信賴域方法和置信下限準(zhǔn)則的優(yōu)點(diǎn)，置信下限準(zhǔn)則中的平衡常數(shù)，利用代理模型預(yù)測(cè)值與真實(shí)模型響應(yīng)值之間的誤差與預(yù)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)差的比較來確定，并在優(yōu)化迭代更新的過程中不斷自適應(yīng)變化，能有效減少因?yàn)樵囼?yàn)確定最佳平衡常數(shù)帶來的工作量；

(3)筆者選用減速器設(shè)計(jì)優(yōu)化問題，驗(yàn)證了該優(yōu)化策略在工程優(yōu)化領(lǐng)域的有效性；并與其他幾種方法進(jìn)行了對(duì)比，證明ALCBTR-DRBF在優(yōu)化精度與效率上有一定的優(yōu)勢(shì)。

接下來，筆者需要做的工作是進(jìn)一步驗(yàn)證ALCBTR-DRBF策略在對(duì)更復(fù)雜的工程問題進(jìn)行求解的有效性，進(jìn)一步完善采用該策略在處理更高維問題時(shí)的性能；同時(shí)，還要研究初始樣本點(diǎn)的選取對(duì)該方法的影響，以便得到一個(gè)合理的初始樣本點(diǎn)挑選方法，更好地指導(dǎo)復(fù)雜的工程實(shí)際問題。