基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的螺紋輪廓曲線濾波方法

倪高烽 程維明

摘? 要： 接觸式螺紋測量系統(tǒng)采集到的表面原始螺紋輪廓信號(hào)中往往伴隨著隨機(jī)噪聲，這對后續(xù)計(jì)算螺紋參數(shù)值的影響非常大，所以找到一種既能有效濾除噪聲同時(shí)保護(hù)螺紋輪廓邊緣而且在選取濾波參數(shù)上也比較方便的方法十分重要，本文將數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)運(yùn)用到螺紋輪廓信號(hào)的濾波中，確定合適的結(jié)構(gòu)元素及長度，以得到該方法的最優(yōu)濾波效果。然后對螺紋仿真信號(hào)進(jìn)行試驗(yàn)，以均方根誤差和信噪比作為濾波效果的評(píng)價(jià)指標(biāo)。最后用實(shí)測螺紋輪廓信號(hào)進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果表明，形態(tài)學(xué)濾波方法能有效逼近期望螺紋輪廓信號(hào)，同時(shí)濾波參數(shù)的選取簡單適應(yīng)范圍廣。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué);螺紋測量;濾波方法

中圖分類號(hào)： TP3? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A? ? DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2020.10.018

本文著錄格式：倪高烽，程維明. 基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的螺紋輪廓曲線濾波方法[J]. 軟件，2020，41（10）：7680

【Abstract】： The original thread profile signal of the surface collected by the contact thread measurement system is often accompanied by random noise， which has a great influence on the subsequent calculation of the thread parameter value. It is also very important that the filtering parameters are more convenient. In this paper， mathematical morphology is applied to the filtering of thread profile signals to determine the appropriate structural elements and lengths to obtain the optimal filtering effect of the method. Then the thread simulation signal is tested， and the root-mean-square error and signal-to-noise ratio are used as the evaluation indexes of the filtering effect. Finally， the actual measured thread contour signal is used for testing. The results show that the morphological filtering method can effectively approximate the expected thread contour signal， and the selection of filtering parameters is simple and has a wide range of adaptation.

【Key words】： P Mathematical morphology; Thread measurement; Filtering method

0? 引言

接觸式螺紋測量系統(tǒng)采集到的點(diǎn)云數(shù)據(jù)由于測量誤差、測量環(huán)境噪聲以及螺紋表面質(zhì)量等因素的存在，如果直接利用這些數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合和參數(shù)計(jì)算必然會(huì)出現(xiàn)較大的誤差，所以需要先進(jìn)行信號(hào)數(shù)據(jù)的濾波處理。

對于螺紋輪廓信號(hào)的濾波，在濾除噪聲并保護(hù)牙形輪廓邊緣的同時(shí)，還要保證濾波參數(shù)選取簡便，實(shí)現(xiàn)起來方便高效。傳統(tǒng)的螺紋輪廓信號(hào)濾波方法如平滑濾波，能有效抑制小幅高頻噪聲[1]，但是該方法濾波前后存在相位偏移，也會(huì)平滑掉螺紋邊緣特征，同時(shí)濾波效果也受濾波窗口大小影響。在國際標(biāo)準(zhǔn)ISO11562中規(guī)定了高斯濾波器作為一種零相移濾波方法[2]能有效濾除表面噪聲。然而高斯濾波器存在邊緣效應(yīng)的問題[3]，邊緣效應(yīng)會(huì)破壞螺紋輪廓信號(hào)牙形邊緣特征，而且實(shí)際使用中該方法與高斯核的選取以及濾波窗口大小有很大關(guān)系。中值濾波去噪方法是一種非線性平滑去噪技術(shù)，它能夠有效抑制噪聲。而且中值濾波器不會(huì)增加新的數(shù)據(jù)，所以能保證數(shù)據(jù)分析的準(zhǔn)確性[4]，但它濾波效果的好壞與窗口大小有很大關(guān)系，缺乏自適應(yīng)性不適合螺紋輪廓信號(hào)的去噪?；谛〔ㄗ儞Q的濾波，因其具有低熵性，多分辨率性，可以很好地刻畫信號(hào)非平穩(wěn)特性等優(yōu)點(diǎn)而被越來越多的使用[5-6]，但是小波濾波的結(jié)果和小波基、閾值函數(shù)以及分解層數(shù)有很大關(guān)系，在螺紋輪廓信號(hào)濾波中也缺乏自適應(yīng)性。

鑒于上述各種傳統(tǒng)濾波方法在螺紋輪廓信號(hào)濾波上的局限性，本文將數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法運(yùn)用到螺紋輪廓信號(hào)的濾波中。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)[7]從集合的角度分析和刻畫信號(hào)，其基本思想是設(shè)計(jì)一個(gè)類似“探針”的結(jié)構(gòu)元素[8]，通過該探針在信號(hào)中移動(dòng)，對信號(hào)進(jìn)行匹配計(jì)算， 達(dá)到提取信號(hào)、保持細(xì)節(jié)和抑制噪聲的目的。因其在信號(hào)的分析處理過程中完全是在時(shí)域中進(jìn)行的，所以信號(hào)時(shí)域的局部特征決定了處理效果的好壞，具有相移不衰減及幅值不偏移的優(yōu)點(diǎn)，且該方法的基本運(yùn)算只包含加減、取最大最小值，不涉及其它的復(fù)雜運(yùn)算，算法簡單[9]。

1? 方法研究

1.1? 螺紋輪廓信號(hào)數(shù)據(jù)

在使用實(shí)際測得的螺紋點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波處理時(shí)，因無法事先知道其真值，所以濾波效果評(píng)價(jià)起來比較困難，所以本文擬先采用模擬的一般梯形螺紋輪廓進(jìn)行仿真處理，通過加入相應(yīng)大小信噪比的高斯白噪聲來模擬實(shí)際測得的螺紋點(diǎn)云數(shù)據(jù)，將已知模擬螺紋真值與濾波后的結(jié)果進(jìn)行比較，定量地對濾波效果進(jìn)行評(píng)價(jià)，最后用實(shí)際測得的某螺紋輪廓信號(hào)驗(yàn)證該方法效果。如圖1所示為模擬的梯形螺紋及其某牙局部圖，其牙形角為30°，引入50db高斯白噪聲，一個(gè)牙形周期采樣點(diǎn)為128個(gè)，其中牙頂牙底各46個(gè)點(diǎn)，左右牙側(cè)各18個(gè)點(diǎn)。

1.2? 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)變換

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在一維信號(hào)處理中主要包括形態(tài)腐蝕、形態(tài)膨脹、形態(tài)開及形態(tài)閉四種基本算子。設(shè)輸入信號(hào)，結(jié)構(gòu)元素 其中N≥M，腐蝕和膨脹運(yùn)算分別為：

對于式（1）腐蝕運(yùn)算表達(dá)式以下列一維信號(hào)為例，其中結(jié)構(gòu)元素中帶圈○的元素，表示該結(jié)構(gòu)元素的原點(diǎn)位置，元素字符*表示平移后信號(hào)無窮大的點(diǎn)。根據(jù)結(jié)構(gòu)元素中每點(diǎn)位置，將信號(hào)右移X個(gè)點(diǎn)（如表示向右平移–1個(gè)點(diǎn)位），然后將平移后信號(hào)中的每個(gè)數(shù)值減去結(jié)構(gòu)元素中該點(diǎn)位置上的數(shù)值，最后對所得的所有這些信號(hào)縱向逐點(diǎn)比較取最小值，便可以得到腐蝕結(jié)果。

根據(jù)式（2）膨脹表達(dá)式， 例中符號(hào)#表示平移后信號(hào)無窮小的點(diǎn)，對結(jié)構(gòu)元素中的每一點(diǎn)位置將信號(hào)向左平移X個(gè)點(diǎn)，然后將平移后信號(hào)中的每個(gè)數(shù)值加上結(jié)構(gòu)元素中該點(diǎn)位置上的數(shù)值，最后對所有這些信號(hào)縱向逐點(diǎn)比較取最大值，就可以得到膨脹運(yùn)算結(jié)果。

腐蝕和膨脹都是不可逆運(yùn)算，所以對腐蝕和膨脹進(jìn)行不同的排列組合就可以得到不同的形態(tài)學(xué)變換即形態(tài)開與形態(tài)閉如：

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的開運(yùn)算可以濾除信號(hào)上邊緣的孤立點(diǎn)和毛刺，并削去尖峰。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的閉運(yùn)算則可以濾除信號(hào)下邊緣的孤立點(diǎn)和毛刺，并填補(bǔ)裂縫[10]。P.Maragos[11]為同時(shí)抑制正負(fù)脈沖噪聲，將開運(yùn)算和閉運(yùn)算進(jìn)行串聯(lián)組合，構(gòu)建了形態(tài)開—閉濾波器（OC）和形態(tài)閉—開濾波器（CO）：

如圖2所示，這兩種濾波器都能有效濾除某螺紋信號(hào)中的噪聲，但是由于開運(yùn)算的收縮性和閉運(yùn)算的擴(kuò)張性，會(huì)導(dǎo)致開閉濾波器的輸出偏小，閉開濾波器的輸出偏大，從而存在統(tǒng)計(jì)偏移現(xiàn)象[12]。所以在螺紋輪廓信號(hào)濾波應(yīng)用中，可以采用式7將上述兩種濾波器取平均的方法來消除統(tǒng)計(jì)偏移的影響。

1.3? 結(jié)構(gòu)元素

形態(tài)濾波的效果和選取的結(jié)構(gòu)元素有關(guān)，常用的結(jié)構(gòu)元素有三角型、半圓型、扁平型等，結(jié)構(gòu)元素g（n）的作用類似于對信號(hào)進(jìn)行濾波處理時(shí)的“窗函數(shù)”，它的形狀、寬度和高度這3個(gè)參數(shù)決定了輸入信號(hào)中實(shí)際被保留的成分。一般只有與結(jié)構(gòu)元素尺寸和形狀相匹配的信號(hào)才能被有效保留[13]。因此需要采用與信號(hào)特征相匹配的結(jié)構(gòu)元素才能實(shí)現(xiàn)較好的濾波效果，因?yàn)楸疚牡闹饕芯磕康氖侨コ悸菁y輪廓點(diǎn)云信號(hào)里的誤差噪聲，使得濾波后的螺紋輪廓盡可能平滑且棱角分明，所以在本研究中選用扁平結(jié)構(gòu)元素，另一方面扁平型結(jié)構(gòu)元素只有長度參數(shù)，具有計(jì)算簡單、需要優(yōu)化的參數(shù)少等優(yōu)點(diǎn)。

1.4? 結(jié)構(gòu)元素長度選取

結(jié)構(gòu)元素長度的選取十分重要，它決定了數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)濾波過程中信號(hào)每個(gè)采樣點(diǎn)的濾波范圍，結(jié)構(gòu)元素長度過短就無法有效去除噪聲成分，而過長容易導(dǎo)致有效信息過濾掉。國內(nèi)外學(xué)者對結(jié)構(gòu)元素長度選取進(jìn)行了深入的研究。Dong[14]通過分別對不同長度結(jié)構(gòu)元素處理信號(hào)后計(jì)算計(jì)算出的信噪比來選取最優(yōu)結(jié)構(gòu)元素長度，但是實(shí)際濾波時(shí)不知道原始波形數(shù)據(jù)，無法準(zhǔn)確求得信噪比。Zhang[15]通過確定“局部峰值”來找到最佳的結(jié)構(gòu)元素長度和高度。姜萬錄[16]通過計(jì)算濾波后的信號(hào)功率譜熵以及特征能量比來得出結(jié)構(gòu)元素的最優(yōu)長度尺寸。但這兩種方法只適合噪聲波動(dòng)大的振動(dòng)信號(hào)濾波或軸承故障的特征提取，并不適用于螺紋這樣的信號(hào)。

所以接下來研究形態(tài)濾波器結(jié)構(gòu)元素長度對螺紋信號(hào)降噪性能的影響，考慮到不同螺紋輪廓一個(gè)牙形周期采樣點(diǎn)數(shù)量的影響，對所模擬的螺紋輪廓信號(hào)分別進(jìn)行隔一點(diǎn)和兩點(diǎn)抽取，使一個(gè)牙形周期采樣點(diǎn)分別為64點(diǎn)（牙頂牙底采樣點(diǎn)數(shù)24）和32點(diǎn)（牙頂牙底采樣點(diǎn)數(shù)12）。為確保計(jì)算結(jié)果不產(chǎn)生偏移，這里結(jié)構(gòu)元素尺寸的點(diǎn)數(shù)選為奇數(shù)，用濾波前后的信噪比以及均方根誤差來評(píng)價(jià)降噪性能，結(jié)果如圖3所示。

從上圖中可以發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)元素尺寸的選擇，與螺紋輪廓一牙形周期內(nèi)牙頂或牙底處采樣點(diǎn)數(shù)有關(guān)，結(jié)構(gòu)元素尺寸超過牙頂或牙底處采樣點(diǎn)數(shù)則會(huì)破壞螺紋信號(hào);采樣點(diǎn)數(shù)越多，該濾波方法效果也越好;牙頂或牙底處采樣點(diǎn)數(shù)較大時(shí)，一般有多個(gè)較優(yōu)的結(jié)構(gòu)元素尺寸使濾波效果比較相近。也就是說結(jié)構(gòu)元素尺寸在不同采樣點(diǎn)數(shù)的螺紋輪廓信號(hào)上有較廣的適用范圍。經(jīng)測試實(shí)驗(yàn)室測得的螺紋輪廓信號(hào)在牙頂或牙底處采樣點(diǎn)一般不能少于5個(gè)點(diǎn)，所以選擇5作為結(jié)構(gòu)元素尺寸在保證濾波效果的同時(shí)還有較廣的適用范圍。

2? 效果評(píng)價(jià)與結(jié)果分析

2.1? 濾波效果評(píng)價(jià)

濾波效果評(píng)價(jià)指標(biāo)一般包括：均方根誤差（RMSE）、信噪比（SNR）。

均方根誤差是預(yù)測值與真實(shí)值偏差的平方與觀測次數(shù)n比值的平方根如式（8）。它是用來衡量觀測值同真值之間的偏差，一般而言，均方根誤差是指濾波后信號(hào)與原信號(hào)的均方誤差，體現(xiàn)了信號(hào)的細(xì)節(jié)濾波情況，均方根誤差越小，表示濾波效果均方根誤差越小，表示濾波效果越好[17]。

均方根誤差計(jì)算公式：

在評(píng)價(jià)濾波效果邊緣保護(hù)能力上，采用提取每個(gè)牙形拐角處的5個(gè)點(diǎn)如圖4所示來進(jìn)行計(jì)算邊緣均方根誤差，以此衡量濾波方法的邊緣保護(hù)性。

信噪比是指原始信號(hào)能量與噪聲能量的比值，體現(xiàn)了噪聲信號(hào)對于整體信息的影響，信噪比越高，濾波效果越好。

2.2? 仿真結(jié)果與分析

選擇結(jié)構(gòu)元素尺寸為5的扁平結(jié)構(gòu)元素對仿真螺紋進(jìn)行濾波處理后，與其他四種提到的常見濾波方法在反復(fù)試驗(yàn)選取最佳濾波條件濾波后的效果進(jìn)行比較，某牙局部效果圖如圖5所示，具體各方法濾波效果評(píng)價(jià)指標(biāo)數(shù)值如表1所示。

由圖5局部效果圖以及表1中評(píng)價(jià)指標(biāo)的對比可以看出，高斯濾波、平滑濾波、中值濾波等在螺紋牙形的拐角處雖然保持了線條的連續(xù)性，但是邊緣破壞十分嚴(yán)重，造成誤差偏大。小波濾波這里通過反復(fù)試驗(yàn)選用的是小波基為Haar的小波，由于該小波基函數(shù)為階梯狀，比較接近此次仿真實(shí)驗(yàn)螺紋的外形，所以濾波效果相對較好，但是在光滑區(qū)域用Haar小波處理時(shí)表現(xiàn)也會(huì)出現(xiàn)階梯狀，用它來逼近連續(xù)信號(hào)效果不是很好，同時(shí)上述幾種方法在參數(shù)準(zhǔn)確選取方面比較困難。而數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)濾波能在有效的濾除螺紋輪廓信號(hào)噪聲的同時(shí)，保護(hù)螺紋輪廓的邊緣，濾波后的信號(hào)能很好的接近原始輪廓。相比其他四種濾波方法，形態(tài)學(xué)濾方法在螺紋輪廓信號(hào)濾波效果，邊緣保護(hù)，以及參數(shù)選取方面都具有比較大的優(yōu)勢。

2.3? 實(shí)測螺紋輪廓濾波效果

圖6給出的是一段實(shí)際測得的原始螺紋輪廓某一側(cè)的輪廓點(diǎn)云信號(hào)，用本文濾波方法處理后可以看出該方法在實(shí)際使用中能有效濾除原始螺紋輪廓中的尖峰毛刺噪聲，填補(bǔ)裂縫，很好的貼合邊緣，也保證了線條的連續(xù)性，為后續(xù)輪廓擬合，參數(shù)計(jì)算提供便利。

3? 結(jié)論

本文將數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)運(yùn)用到一維螺紋輪廓曲線的濾波中，根據(jù)螺紋特點(diǎn)選用了扁平結(jié)構(gòu)元素，根據(jù)螺紋輪廓牙形采樣點(diǎn)選取適當(dāng)?shù)慕Y(jié)構(gòu)元素長度，然后用matlab模擬含噪螺紋曲線，對其進(jìn)行濾波仿真。通過與其他常見的四種不同濾波方法濾波后的均方根誤差和信噪比來對濾波效果進(jìn)行評(píng)價(jià)，結(jié)果表明數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)濾波方法對期望的螺紋輪廓形狀表現(xiàn)出了較好的逼近效果，在提高信噪比的同時(shí)，也很好的保護(hù)了螺紋牙形邊緣，而且濾波參數(shù)的選取比其他方法簡單，參數(shù)適應(yīng)范圍廣，具有可實(shí)用性。

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