中心對(duì)稱圖形的深入討論以及對(duì)“負(fù)零”的再理解

[摘 要]文章前半部分通過層層深入，得到了關(guān)于中心對(duì)稱圖形的一個(gè)結(jié)果（定理1），在解決問題過程中獲得的引理1和引理2的結(jié)論與證明也是很有意義的。文中后半部分利用近世代數(shù)作為工具，對(duì)“負(fù)零”進(jìn)行再理解，證明了“負(fù)零表示零的相反數(shù)，負(fù)零等于零”確實(shí)是真命題（定理3）。

[關(guān)鍵詞]中心對(duì)稱圖形;對(duì)稱中心;負(fù)零;負(fù)元;相反數(shù);近世代數(shù)

[作者簡(jiǎn)介]胡力文（1984—），男，安徽蕭縣人，碩士，中學(xué)二級(jí)教師，國家二級(jí)心理咨詢師，研究方向?yàn)榛A(chǔ)數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教育。

[中圖分類號(hào)] G632.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1674-9324（2020）47-0-03[收稿日期] 2020-09-10

一、問題背景

在中學(xué)數(shù)學(xué)里，有一些看似簡(jiǎn)單、實(shí)則可以深入挖掘的內(nèi)容，比如負(fù)號(hào)的確切含義、代數(shù)式中字母所表示的內(nèi)容、因式分解等等，在參考文獻(xiàn)[1][2]中都有所涉及。這篇文章繼續(xù)前面的話題，首先討論圖形的運(yùn)動(dòng)。在初中平面幾何里，我們學(xué)習(xí)了中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形，并且知道某些軸對(duì)稱圖形有不止一條對(duì)稱軸，關(guān)于中心對(duì)稱圖形卻沒有類似的分析展開。接下去我們自然要問：中心對(duì)稱圖形可以有不止一個(gè)對(duì)稱中心嗎？另外，參考文獻(xiàn)[1]里面提到“-0表示0的相反數(shù)，-0=0”這樣一個(gè)結(jié)論，很多中學(xué)數(shù)學(xué)老師一定會(huì)問：該結(jié)論靠譜嗎？它的理論依據(jù)是什么？文章將對(duì)前面提出的兩個(gè)問題進(jìn)行深入討論，并給出準(zhǔn)確合理的解答。

二、關(guān)于中心對(duì)稱圖形的深入討論

滬教版七年級(jí)數(shù)學(xué)的平面幾何部分提到了三種圖形運(yùn)動(dòng)—平移、旋轉(zhuǎn)、翻折，以及三種對(duì)稱圖形—旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形、軸對(duì)稱圖形。在下文所要討論的話題中有如下幾個(gè)概念：

定義1 在平面內(nèi)，圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)按照某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一定大小的角α，這樣的運(yùn)動(dòng)叫作圖形的旋轉(zhuǎn)（rotation）。這個(gè)定點(diǎn)叫作旋轉(zhuǎn)中心（center of rotation），角α叫作旋轉(zhuǎn)角（rotation angle）（0°<α<360°）（參看參考文獻(xiàn)[3]）。

定義2 如果一個(gè)圖形繞著所在平面內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，能與原圖形重合，那么這個(gè)圖形叫作中心對(duì)稱圖形（central symmetric figure），這個(gè)點(diǎn)叫作對(duì)稱中心（center of symmetry）（參看參考文獻(xiàn)[3]）。

定義3 把一個(gè)圖形沿某一條直線翻折過來，直線兩旁的部分能夠相互重合，這個(gè)圖形叫作軸對(duì)稱圖形（axial symmetric figure），這條直線就是它的對(duì)稱軸（axis of symmetric）（參看參考文獻(xiàn)[3]）。

在常規(guī)教學(xué)當(dāng)中，我們學(xué)習(xí)了許多軸對(duì)稱圖形的實(shí)例，并且研究了它們對(duì)稱軸的條數(shù)，比如等腰（非等邊）三角形有1條對(duì)稱軸、等邊三角形有3條對(duì)稱軸、矩形有2條對(duì)稱軸、菱形有2條對(duì)稱軸、正方形有4條對(duì)稱軸、等腰梯形有1條對(duì)稱軸、圓有無數(shù)條對(duì)稱軸……不難發(fā)現(xiàn)，這些圖形的對(duì)稱軸既可能只有1條，也可能有多條，甚至有無數(shù)條。

我們同樣學(xué)習(xí)了很多中心對(duì)稱圖形的實(shí)例，比如平行四邊形有1個(gè)對(duì)稱中心、矩形有1個(gè)對(duì)稱中心、菱形有1個(gè)對(duì)稱中心、正方形有1個(gè)對(duì)稱中心、圓有1個(gè)對(duì)稱中心……巧合的是，上面所舉的圖形的對(duì)稱中心都只有1個(gè)！

現(xiàn)在問題來了：是不是所有的中心對(duì)稱圖形都只有1個(gè)對(duì)稱中心？如果不是，可以舉出實(shí)際例子嗎？

如果我們把思路局限在特殊多邊形和圓這些常規(guī)的有界圖形上，似乎找不到它們的第二個(gè)對(duì)稱中心。跳出有界“形”的框架，我們仔細(xì)回憶一下，從六年級(jí)到九年級(jí)還學(xué)過哪些圖形？原來在參考文獻(xiàn)[4]第七章《線段與角的畫法》當(dāng)中，我們學(xué)習(xí)了直線、射線、線段、角這么多不用“形”來命名的圖形啊，而且直線、射線、角都是無界的！回到前面關(guān)于對(duì)稱中心的問題，不難發(fā)現(xiàn)直線和線段都是中心對(duì)稱圖形，并且直線上每一點(diǎn)都是該直線的對(duì)稱中心，也就是說一條直線有無數(shù)個(gè)對(duì)稱中心！

除了直線，還有哪些圖形有多于一個(gè)的對(duì)稱中心？稍微動(dòng)動(dòng)腦筋，把直線“改裝”一下，虛線能不能滿足我們的要求？事實(shí)上，“實(shí)”的部分等長(zhǎng)、“虛”的部分也等長(zhǎng)的虛線（當(dāng)然“實(shí)”的部分和“虛”的部分不需要一樣長(zhǎng)）就有無數(shù)個(gè)對(duì)稱中心，每一段“實(shí)”的部分的中點(diǎn)和每一段“虛”的部分的中點(diǎn)都是該虛線的對(duì)稱中心。類似地我們可以舉很多例子，比如平面直角坐標(biāo)系中的“網(wǎng)格”{（x，y）|x，y中至少有一個(gè)是整數(shù)}、向四周無限伸展的國際象棋棋盤、甚至整個(gè)平面R2……這些圖形的對(duì)稱中心個(gè)數(shù)都是+∞。把討論的內(nèi)容總結(jié)一下，我們就得到了下面的結(jié)論：

命題1 一個(gè)中心對(duì)稱圖形可以有一個(gè)或無數(shù)個(gè)對(duì)稱中心。

命題1給出了一個(gè)中心對(duì)稱圖形的對(duì)稱中心個(gè)數(shù)的兩種可能：1、+∞。我們自然要問：有沒有第三種可能，能否舉出實(shí)例？經(jīng)過仔細(xì)思考其實(shí)不難發(fā)現(xiàn)，命題1給出的兩種可能已經(jīng)包含了所有的情況。為了把問題說清楚，我們需要證明下面兩個(gè)引理：

引理1 如果一個(gè)中心對(duì)稱圖形Ω有兩個(gè)不同的對(duì)稱中心A、B，那么A關(guān)于B的對(duì)稱點(diǎn)C以及B關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)D都是Ω的對(duì)稱中心。

證明：不失一般性，以A為原點(diǎn)AB為x軸正向單位線段按右手系建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（1，0），從而C（2，0）。設(shè)P1（a，b）是圖形Ω上的任意一點(diǎn)，我們希望證明C（2，0）是Ω的對(duì)稱中心，也就是P1關(guān)于C的對(duì)稱點(diǎn)P（-a+4，-b）∈Ω。

事實(shí)上，由對(duì)稱中心的定義可得，P1關(guān)于B的對(duì)稱點(diǎn)P2（-a+2，-b）∈Ω，P2關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)P3（a-2，b）∈Ω，P3關(guān)于B的對(duì)稱點(diǎn)P4（-a+4，b）∈Ω，即P （-a+4，b）∈Ω，這就是我們所要證明的。所以C（2，0）是Ω的對(duì)稱中心。

由于A和B是Ω的任意兩個(gè)對(duì)稱中心，因此我們同樣可以以B為原點(diǎn)BA為x軸正向單位線段按右手系建立平面直角坐標(biāo)系，按照前面完全相同的做法就能證得D是Ω的對(duì)稱中心。證畢。

引理2 如果一個(gè)中心對(duì)稱圖形Ω有兩個(gè)不同的對(duì)稱中心A、B，那么它一定有無數(shù)個(gè)對(duì)稱中心，并且這些對(duì)稱中心至少在直線AB的一個(gè)維度上是向兩端無限延伸的。

證明：仍然以A為原點(diǎn)AB為x軸正向單位線段按右手系建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（1，0）。定理1說明“中心對(duì)稱圖形的任意一個(gè)對(duì)稱中心關(guān)于任意另一個(gè)對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)也是該圖形的對(duì)稱中心”，從而（3，0）、（4，0）、（5，0）、……，以及（-1，0）、（-2，0）、（-3，0）、……都是Ω的對(duì)稱中心，這些點(diǎn)在直線AB上是向兩端無限延伸的。證畢。

注：引理1和引理2的證明過程都用了直角坐標(biāo)系，事實(shí)上討論中心對(duì)稱可以用仿射坐標(biāo)系。

由引理2我們立即得到下面的定理：

定理1（對(duì)稱中心個(gè)數(shù)） 一個(gè)中心對(duì)稱圖形的對(duì)稱中心的個(gè)數(shù)可以是1或+∞，并且只有這兩種情況。

至此，我們得到了關(guān)于中心對(duì)稱圖形的一個(gè)深刻結(jié)果，該話題的討論就暫時(shí)告一段落了。事實(shí)上，中心對(duì)稱是關(guān)于0維線性流形（點(diǎn)）的對(duì)稱，軸對(duì)稱是關(guān)于1維線性流形（直線）的對(duì)稱，鏡面成像是關(guān)于2維線性流形（平面）的對(duì)稱。在更高維的空間和更復(fù)雜的流形當(dāng)中，我們可以定義更多的對(duì)稱并且研究這些對(duì)稱的性質(zhì)。

三、對(duì)“負(fù)零”的再理解

這一部分用正體粗體的Z、Q、R分別表示整數(shù)環(huán)、有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域，用斜體細(xì)體的G、R、F分別表示一般的群、環(huán)、域。

參考文獻(xiàn)[1]里面提出“-0表示0的相反數(shù)，-0=0”這樣一個(gè)結(jié)論。為了理解“-0”的準(zhǔn)確含義，我們要從概念的本質(zhì)入手。在近世代數(shù)中，有下面幾個(gè)定義和定理：

定義4 設(shè)A是一個(gè)非空集合，若對(duì)A中任意兩個(gè)元素a，b，通過某個(gè)法則“·”，有A中唯一確定的元素c與之對(duì)應(yīng)，則稱法則“·”為集合A上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算（algebraic operation）。元素c是a，b通過運(yùn)算“·”作用的結(jié)果，將此結(jié)果記為a·b=c（參看參考文獻(xiàn)[5]）。

定義5 設(shè)G是一個(gè)非空集合，“·”是G上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，即對(duì)所有的a，b∈G，有a·b∈G。如果G的運(yùn)算還滿足

（G1） 結(jié)合律，即對(duì)所有的a，b，c∈G，有（a·b）·c= a·（b·c）;

（G2） G中有元素e，使對(duì)每個(gè)a∈G，有e·a=a·e=a，元素e稱為群G的單位元（unit element）或恒等元（identity）;

（G3） 對(duì)G中每個(gè)元素a，存在元素b∈G，使a·b= b·a=e，元素b稱為a的逆元（inverse），通常記作a-1，即b=a-1，

則稱G關(guān)于運(yùn)算“·”構(gòu)成一個(gè)群（group），記作（G，·）。在不致引起混淆的情況下，也稱G為群（參看參考文獻(xiàn)[5]）。

注：在不引起歧義的情況下，群G的運(yùn)算符號(hào)“·”通常省略不寫。

定理2 設(shè)G為群，其單位元是e，則有

（1）群G的單位元e是唯一的;

（2）群G的每個(gè)元素a的逆元a-1是唯一的;

（3）對(duì)任意的a∈G，有;

（4） 對(duì)任意的a，b∈G，有;

（5）在群中消去律成立，即設(shè)a，b，c∈G，如果ab=ac，或ba=ca，則b=c（參看參考文獻(xiàn)[5]）。

由上面的定義和定理，不難證明：

引理3 在群G中，單位元e的逆元e-1就是e本身，即e-1=e。

證法一：由于e是群G的單位元，e-1是e的逆元，因此ee-1=e（一個(gè)元素和它的逆元作運(yùn)算等于單位元），ee=e（任何元素與單位元作運(yùn)算都等于該元素本身），從而ee-1=ee，再由消去律得到e-1=e。證畢。

證法二：由于e是群G的單位元，e-1是e的逆元，因此ee-1=e（一個(gè)元素和它的逆元作運(yùn)算等于單位元），ee-1=e-1（任何元素與單位元作運(yùn)算都等于該元素本身），由等量代換立即得到e-1=e。證畢。

注：引理3的證明雖然簡(jiǎn)單，但仍然需要每一步都有現(xiàn)實(shí)的定義和定理作為依據(jù)，過程要清晰。

在群的定義中，我們沒有要求運(yùn)算“·”滿足交換律，也就是說a·b≠b·a是可能發(fā)生的。但是當(dāng)“·”滿足交換律時(shí)，我們有：

定義6 如果群G的運(yùn)算還滿足交換律，即對(duì)任意的a，b∈G，有a·b=b·a，則稱G是一個(gè)交換群（commutative group）或阿貝爾群（Abelian group）（參看參考文獻(xiàn)[5]）。

還有群G的運(yùn)算“·”也可以改為“+”：

定義7 當(dāng)群G的運(yùn)算用加號(hào)“+”表示時(shí)，通常將G的單位元記作0，并稱0為G的零元;將a∈G的逆元記作-a，并稱-a為a的負(fù)元（參看參考文獻(xiàn)[5]）。

注：習(xí)慣上，只有當(dāng)群為交換群時(shí)，才用“+”來表示群的運(yùn)算，并稱這個(gè)運(yùn)算為加法，把運(yùn)算的結(jié)果叫作和，同時(shí)稱這樣的群為加群（參看參考文獻(xiàn)[5]）。相應(yīng)地，將不是加群的群稱為乘群，并把乘群的運(yùn)算叫作乘法，運(yùn)算的結(jié)果叫作積（參看參考文獻(xiàn)[5]）。乘法可能滿足交換律，也可能不滿足。

由引理3、定義6、定義7，我們不難得到：

引理4 在加群（G，+）中，零元0的負(fù)元-0就是0本身，即-0=0。

回到中學(xué)數(shù)學(xué)。容易驗(yàn)證整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R關(guān)于通常數(shù)的加法均構(gòu)成加法群，這三個(gè)常用數(shù)集分別稱為整數(shù)環(huán)Z、有理數(shù)域Q、實(shí)數(shù)域R（關(guān)于環(huán)和域的定義可參看參考文獻(xiàn)[5]），它們的零元是通常的數(shù)字0，單位元是數(shù)字1。近世代數(shù)中的“負(fù)元”對(duì)應(yīng)中學(xué)數(shù)學(xué)里的“相反數(shù)”。于是我們有下面的定理：

定理3 在整數(shù)環(huán)Z、有理數(shù)域Q、實(shí)數(shù)域R中，零元0的負(fù)元（相反數(shù)）-0就是0本身，即-0=0。

從引理3、引理4到定理3是一個(gè)逐步推進(jìn)的過程，定理3把我們中學(xué)數(shù)學(xué)當(dāng)中-0的含義講清楚了，也就是說“-0表示0的相反數(shù)，-0=0”確實(shí)是真命題。[6-9]

四、思考總結(jié)

作為數(shù)學(xué)教師，我們的日常工作繁忙而瑣碎，每逢重要考試都要計(jì)算班級(jí)學(xué)生平均分并排名，壓力確實(shí)很大。如果我們對(duì)所教內(nèi)容時(shí)常保持一種專業(yè)態(tài)度和一顆好奇心，不斷進(jìn)行探索研究，而不僅僅停留在教會(huì)學(xué)生做題的層面，就可能獲得更大的成就感與滿足感，職業(yè)幸福指數(shù)也會(huì)得到提高。

作為中學(xué)生，無論數(shù)學(xué)考試還是競(jìng)賽，現(xiàn)行評(píng)價(jià)體系更多地注重解題能力，關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)科本身的理解和思考卻很少涉及。其實(shí)對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)適當(dāng)做一些思考和探究，可以更好地激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣和動(dòng)力，對(duì)提高解題能力也會(huì)有一定幫助。如果到大學(xué)階段進(jìn)入相關(guān)專業(yè)的學(xué)習(xí)，對(duì)學(xué)科本質(zhì)的理解更是不可或缺的能力。[6-9]

參考文獻(xiàn)

[1]胡力文.關(guān)于“負(fù)零”的理解和教學(xué)[J].教育教學(xué)論壇，2020 （25）：337-338.

[2]胡力文.由一道初中數(shù)學(xué)填空題引發(fā)的思考—用近世代數(shù)的觀點(diǎn)[J].教育教學(xué)論壇，2020（22）：354-355.

[3]邱萬作，黃華.數(shù)學(xué)（七年級(jí)第一學(xué)期，試用本，第1版）[M].上海：上海教育出版社，2019.

[4]邱萬作，黃華.數(shù)學(xué)（六年級(jí)第二學(xué)期，試用本，第1版）[M].上海：上海教育出版社，2019.

[5]韓士安，林磊.近世代數(shù)（第二版）[M].北京：科學(xué)出版社，2009.

[6]丘維聲.高等代數(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，2013.

[7]丘維聲.解析幾何（第三版）[M].北京：北京大學(xué)出版社，2015.

[8]楊子婿.近世代數(shù)（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[9]馮克勤，李尚志，章璞.近世代數(shù)引論[M].第3版.合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2009.

Abstract： In the first half of this paper， a result about the central symmetric figure is obtained step by step （Theorem 1）. The conclusion and proof of Lemma 1 and Lemma 2 obtained in the process of solving the problem are also very meaningful. In the latter part， modern algebra is used as a tool to rethink "negative zero"， and it is proved that "negative zero represents the opposite number of zero， and negative zero equals zero" is true proposition （Theorem 3）.

Key words： central symmetric figure; symmetry center; negative zero; negative element; opposite number; modern algebra