“同心鼓”顛球最佳策略建模

莫京蘭，伍楊楊，黃羽婷，袁 森

(廣西科技大學(xué)鹿山學(xué)院，廣西 柳州 545616)

1 問(wèn)題

素質(zhì)拓展是培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)精神、凝聚團(tuán)隊(duì)合作力的一種戶外活動(dòng)，該活動(dòng)中又包含各式各樣的活動(dòng)項(xiàng)目，其中有一項(xiàng)活動(dòng)最能體現(xiàn)團(tuán)隊(duì)合作能力——“同心協(xié)力”，它是用同樣的心使同樣的力。

題目：一面牛皮雙面鼓，鼓身周圍固定有多根繩子，固定點(diǎn)與繩子皆均勻分布，每個(gè)隊(duì)員都拉著一根繩子的末端，使鼓面維持水平，將垂直落下的球顛起，按標(biāo)準(zhǔn)的顛起高度作為參考，球顛越多則獲勝。問(wèn)題1，在團(tuán)隊(duì)每個(gè)人能精準(zhǔn)控制用力方向、力度和時(shí)機(jī)的理想狀態(tài)下，討論團(tuán)隊(duì)最佳協(xié)作策略及顛球高度。問(wèn)題2，現(xiàn)實(shí)中，團(tuán)隊(duì)每個(gè)人不可能準(zhǔn)確地控制發(fā)力時(shí)機(jī)和用力大小，其中必然會(huì)導(dǎo)致鼓面產(chǎn)生傾斜。假設(shè)隊(duì)員有8人，繩子長(zhǎng)1.7 m，鼓面于初始狀態(tài)為水平靜止，鼓面的初始位置比繩子水平位置低了0.11 m，據(jù)所給數(shù)據(jù)中隊(duì)員的用力大小和發(fā)力時(shí)機(jī)建立數(shù)學(xué)模型，描述隊(duì)員某一時(shí)刻的鼓面傾斜角與力度和發(fā)力時(shí)機(jī)的關(guān)系，并求出0.1 s時(shí)鼓面的傾斜角度?？紤]到現(xiàn)實(shí)因素帶來(lái)的影響，在問(wèn)題2的模型基礎(chǔ)上，思考是否對(duì)問(wèn)題2的最佳協(xié)作策略進(jìn)行調(diào)整。如果鼓面傾斜，球?qū)⒉辉儇Q直向上跳動(dòng)，則需要調(diào)整隊(duì)員的拉升策略。當(dāng)隊(duì)員人數(shù)為8人、繩子長(zhǎng)2 m、球有60 cm反彈高度、球跳動(dòng)方向與豎直方向夾角為1°、且跳動(dòng)的傾斜方向的水平投影指向兩隊(duì)員之間、其角度比為1∶2。在可精準(zhǔn)控制條件下給出所有隊(duì)員的發(fā)力時(shí)機(jī)和力度來(lái)將球的跳動(dòng)方向調(diào)整為豎直方向，并分析在現(xiàn)實(shí)中此調(diào)整策略的可行性與實(shí)施效果的任務(wù)。

2 模型假設(shè)

忽略空氣阻力對(duì)實(shí)驗(yàn)造成的誤差影響；忽略球與鼓之間相互撞擊為彈性撞擊，不考慮能量損失；假設(shè)鼓和球均完好，不影響使用；不考慮不同用力大小的站位問(wèn)題；不考慮團(tuán)隊(duì)隊(duì)員自身情況所造成影響；不考慮活動(dòng)經(jīng)行過(guò)程發(fā)生的意外因素。

3 問(wèn)題分析

問(wèn)題1。在理想狀態(tài)下進(jìn)行條件假設(shè)，建立數(shù)學(xué)模型，尋找團(tuán)隊(duì)合作使顛球數(shù)量盡可能多的最佳策略，求出最佳策略下的最佳高度。通過(guò)分析題目所給數(shù)據(jù)，對(duì)球運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行分析，判斷該項(xiàng)目球與鼓的運(yùn)動(dòng)是否屬于能量守恒問(wèn)題。以能量守恒為導(dǎo)向，以顛球高度、拉力角度、人對(duì)鼓所作力的大小為線索，尋找最適合解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。

問(wèn)題2。需要考慮到現(xiàn)實(shí)情況。每個(gè)人反應(yīng)的速度、使用的力度有所不同，則發(fā)力時(shí)機(jī)，發(fā)力大小有所不同，這導(dǎo)致鼓面發(fā)生傾斜，產(chǎn)生傾斜角。從分析不同力度下產(chǎn)生的高度差下手，根據(jù)題目所給信息，尋找可行的數(shù)學(xué)模型，分析角度與時(shí)機(jī)、力度之間的關(guān)系。

問(wèn)題3。在問(wèn)題2的數(shù)學(xué)模型上，考慮實(shí)際情況，繩長(zhǎng)與角度帶來(lái)的影響。又對(duì)問(wèn)題2的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行優(yōu)化，重新調(diào)整策略。

問(wèn)題4。需要調(diào)整拉繩策略。根據(jù)題目假設(shè)，在問(wèn)題2數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，在理想情況下，采用問(wèn)題1所得最佳用力大小，尋找豎直方向產(chǎn)生傾斜夾角時(shí)所產(chǎn)生的高度差，從而得到調(diào)整策略。又考慮到現(xiàn)實(shí)情況，對(duì)調(diào)整策略進(jìn)行分析。

4 模型建立和解決

4.1 問(wèn)題1模型建立和求解

4.1.1 模型建立

從題目所給條件，根據(jù)球的大概運(yùn)動(dòng)過(guò)程，選擇球與鼓接觸后向上彈起瞬間作局部受力分析，進(jìn)行建模。在理想狀態(tài)下，不考慮空氣阻力，在沒(méi)有能量損失的條件下該運(yùn)動(dòng)過(guò)程中球滿足能量守恒條件。球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能量守恒：mgH+W=mgh，假設(shè)顛球高度保持在0.4≤h≤1圍內(nèi)最合理。

根據(jù)以上條件可得出人對(duì)球做功的約束范圍0≤W≤1.59。

4.1.2 模型求解

4.1.3 結(jié)果分析

從模型求解結(jié)果可以分析出每個(gè)隊(duì)員在理想狀態(tài)下的最佳策略，如表1所示：

表1 最佳策略結(jié)果分析Tab.1 Analysis of optimal strategy result

從表1可以清楚看出繩長(zhǎng)為0.78 m時(shí)人對(duì)鼓的拉力。拉力屬于合外力分力范圍內(nèi)，證明假設(shè)合理。所以發(fā)力時(shí)機(jī)為球接觸鼓面的瞬間，繩子傾斜角為45°，每個(gè)人對(duì)鼓使用力大小為15.6 N，此為最佳策略。在該策略下，高度假設(shè)合理，考慮到省力、點(diǎn)球次數(shù)盡可能多等因素，選取0.6 m為該策略下的最佳高度。

4.2 問(wèn)題2模型建立和結(jié)果分析

當(dāng)人對(duì)鼓施加一個(gè)特定的拉力Fi時(shí)，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)向上的支持Ti。根據(jù)問(wèn)題2所給數(shù)據(jù)，對(duì)鼓與拉力進(jìn)行特定受力分析，又因不同的時(shí)機(jī)、不同的用力大小都會(huì)影響鼓抬起的高度，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)高度差，這時(shí)建立一個(gè)用力大小在時(shí)機(jī)約束條件下與鼓面傾斜角的關(guān)系分析模型。

4.2.1 模型建立

4.2.2 模型求解

從力影響高度、時(shí)機(jī)影響高度兩方面將1～9組進(jìn)行粗分。

A.1～3屬于t1時(shí)間下，力對(duì)高度產(chǎn)生影響。

②當(dāng)F2=80 N時(shí)，支持力的大小為T(mén)2=10.353 N，此時(shí)所產(chǎn)生加速度大小為a2=13.207 m/s，所抬起的高度為x2=0.066 m，所以8人中有1人用力90 N時(shí)，所產(chǎn)生高度差為Δx=x1-x2=0.014 m，此時(shí)可得鼓面的傾斜角約為θ1≈1.25°。同理可求得有兩人用力為90 N時(shí)，所產(chǎn)生的鼓面傾斜角約為θ2≈2.08°，θ3≈1.89°。

B.4～6屬于Fi=80 N時(shí)，時(shí)間t1，t2對(duì)高度的影響。

①當(dāng)t1=0.1 s時(shí)，所抬起高度為x3=x2=0.066 m。

②當(dāng)t2=0.2 s時(shí)，所抬起高度為x4=0.264 m，因此8人中有1人發(fā)力時(shí)機(jī)屬于t2時(shí)，所產(chǎn)生的高度差為Δx=x4-x3=0.198 m，此時(shí)鼓面的傾斜角為θ4≈1.06°。同理可求得有兩人時(shí)，在時(shí)間t2的影響下，產(chǎn)生的鼓面傾斜角θ5≈1.96°，θ6≈1.32°。

C.7～9屬于t2時(shí)間下，力影響高度。

①當(dāng)F1=90 N時(shí)，通過(guò)A所得求解結(jié)果可計(jì)算出此時(shí)所抬起高度為x5=0.322 m。

②當(dāng)F2=80 N時(shí)，同理計(jì)算出抬起高度為x6=0.264 m，因此在t2時(shí)間下，一人用力大小為90 N所產(chǎn)生的高度差為Δx=x5-x6=0.058 m，此時(shí)鼓面的傾斜角為θ7≈2.35°。同理可得有兩人用力90 N時(shí)，繩子的傾斜角為θ8≈1.54°,θ9≈1.08°。

根據(jù)求解結(jié)果，0.1 s時(shí)鼓面傾斜角可歸納為表2：

表2 0.1s時(shí)鼓面的傾斜角Tab.2 Slant angle of the drumhead at 0.1s

4.3 問(wèn)題3模型建立和解決

問(wèn)題1中可知隊(duì)員之間的最小距離不得小于0.6 m，所以繩子不能小于0.78 m?？紤]到現(xiàn)實(shí)因素，繩子長(zhǎng)度在一定限值下，角度過(guò)大，鼓會(huì)碰到地面。問(wèn)題2的模型中，可得繩子傾斜角度。

4.3.1 模型優(yōu)化和求解

4.3.2 模型結(jié)果分析

在繩長(zhǎng)為0.78 m的情況，以問(wèn)題2為基礎(chǔ)，調(diào)整方案如表3所示。

表3 調(diào)整后策略方案Tab.3 Strategy schedule after adjustment

所以調(diào)整后策略為發(fā)力時(shí)機(jī)相同，繩子傾斜角調(diào)整為10°，每個(gè)人對(duì)鼓使用65.5 N的力，此時(shí)為最佳策略。

4.4 問(wèn)題4模型建立和解決

若鼓面發(fā)生傾斜不處于水平狀態(tài)時(shí)，致使球彈起運(yùn)動(dòng)不屬于豎直上拋，運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生改變，且在反彈時(shí)相對(duì)于豎直方向產(chǎn)生1°的傾斜。由角度關(guān)系證明定理可知，1°的傾斜角相對(duì)于平面發(fā)生了的1°傾斜。所以，為了將球調(diào)整為豎直狀態(tài)，則在球類下降過(guò)程中，應(yīng)將鼓面傾斜角1°。

因人數(shù)10人，所以人員的站位為正十邊形，且人與人的夾角度數(shù)為36°。利用對(duì)角線判斷方法，將人員分為兩組，以1～5號(hào)為第一組，6～10號(hào)為第二組進(jìn)行受力分析。經(jīng)研究分析，傾斜方向與位置沒(méi)有關(guān)系，因此假定傾斜落在8號(hào)與9號(hào)之間，且在位置上，傾斜位置更偏向于9號(hào)。所以，要想改變傾斜角度為水平，必須改變?cè)摼€上的作用時(shí)間或者是力的大小，因此對(duì)模型進(jìn)行限制。

在水平方向上：

設(shè)F(i=1，2，3，…，9，10)為繩上拉力，θ為繩子與水平線上的夾角，所以，在水平上的受力為Fi·cosθ，在y軸上，矢量和為0，得F1·cos4°+F2·cos40°+F3·cos76°+F5·cos36°=0。

因?yàn)樵诶硐霠顟B(tài)下，問(wèn)題1中最大合外力為Fl=124.73 N，利用問(wèn)題2所得模型，求得在10人情況下，使用力度合外力為Fl=124.73 N，每個(gè)人提供加速度a3=34.647 m/s，調(diào)整時(shí)間為t3=0.020 1 s。

根據(jù)受力時(shí)間條件下t3取0.1 s作為計(jì)算，調(diào)整鼓面傾斜度時(shí)加速度a4=13.8 m/s2，調(diào)整拉力為p=5.026 N，調(diào)整后用力大小為F=20.63 N。

由此得出調(diào)整后的策略方案，如表4所示：

表4 調(diào)整后策略結(jié)果Tab.4 Strategy results after adjustment

根據(jù)表4結(jié)果可知，在現(xiàn)實(shí)情況中，人不可能在球發(fā)生傾斜后能準(zhǔn)確地控制調(diào)整時(shí)間、調(diào)整力度，但調(diào)整策略結(jié)果與整數(shù)調(diào)整相差不大，實(shí)施效果良好。

5 結(jié)語(yǔ)

“同心鼓”這項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中，理想狀態(tài)下沒(méi)有能量損失，利用排球掉落彈起過(guò)程的受力分析，尋找出顛球高度、拉力角度、人對(duì)鼓所作力的大小之間的關(guān)系，同時(shí)考慮到實(shí)際彈起高度，建立最佳策略模型。在特定用力大小下的受力情況，從不同用力對(duì)高度影響、不同時(shí)機(jī)與高度影響兩個(gè)大方面考慮鼓面因?yàn)楦叨鹊牟煌a(chǎn)生的傾斜角。通過(guò)物理計(jì)算，建立了用力大小、發(fā)力時(shí)機(jī)與傾斜角的關(guān)系模型?，F(xiàn)實(shí)情況下，人不可能準(zhǔn)確地把握時(shí)機(jī)、力度，因此調(diào)整策略效果不能達(dá)到理想效果，通過(guò)分析調(diào)整策略效果，使得模型屬于合理范圍內(nèi)。