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    改進(jìn)軟位勢的齊次玻爾茲曼方程柯西問題解的適定性

    2020-12-22 09:00:20李浩光文柯柯
    關(guān)鍵詞:玻爾茲曼位勢柯西

    李浩光,文柯柯

    (中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院, 武漢 430074)

    1 相關(guān)知識

    考慮如下齊次玻爾茲曼方程的柯西問題:

    (1)

    其中f=f(t,v)取決于時間t≥0,速度變量v∈R3.

    玻爾茲曼方程是描述時間和空間演化的最成功的數(shù)學(xué)模型,從統(tǒng)計物理學(xué)的角度看就是描述稀薄氣體中粒子的位置和速度的分布函數(shù),一般通過相關(guān)的偏微分方程來描述這個運動.由于其深厚的物理背景,可測初值的玻爾茲曼方程解的存在唯一性、光滑性以及大時間漸近形態(tài)一直是許多數(shù)學(xué)家著迷的課題.麥克斯韋模型下齊次玻爾茲曼方程的研究已經(jīng)取得了比較完善的結(jié)論[1-3]. 類似的動力學(xué)方程柯西問題解的適定性的相關(guān)研究可參閱文獻(xiàn)[4].對于非麥克斯韋模型的齊次玻爾茲曼方程,受限于其復(fù)雜的結(jié)構(gòu),在很多時候沒有獲得滿意的結(jié)論.MORIMOTO等在文獻(xiàn)[3]中利用近似解的方法研究軟位勢玻爾茲曼解的存在性以及光滑性,沒有穩(wěn)定性的結(jié)論.

    本文將探討帶可測初值的改進(jìn)軟位勢齊次玻爾茲曼方程解的存在唯一性及穩(wěn)定性.該方程的右邊是一個二元碰撞算子:

    f(v*)f(v)}dσdv*,

    對于-3<γ<0,考慮碰撞核函數(shù)Φ(z)=|z|γ傅里葉變換:

    φt=G(φ),

    這里:

    |η|-3-γ)φ(η)φ(ξ-η)dηdσ,κ=ξ/|ξ|.

    考慮到相函數(shù)|ξ|-3-γ在原點有奇異性,為此對位勢函數(shù)做一點修改:

    2 主要結(jié)果

    (2)

    (3)

    關(guān)于Sobolev空間Kα,可以參考文獻(xiàn)[3].

    為證明定理1,先要證明以下定理2.

    證明考慮空間Kα的定義,只需要證明對某個常數(shù)λ0>0,有:

    (4)

    這里記〈η〉=(1+|η|2)1/2.證明過程分為兩部分:

    (1)當(dāng)|ξ|≤1時,考慮到對稱性有:

    〈-η+ξ-〉-6-γ-〈-η〉-6-γ|·

    由微分中值定理(二階):

    〈-η+ξ-〉-6-γ-〈-η〉-6-γ+(6+γ)η·

    ξ-〈-η〉-8-γ=

    〈-η+τξ-〉-10-γdτ,

    從而得到:

    |〈-η+ξ-〉-6-γ-〈-η〉-6-γ+

    (6+γ)η·ξ-〈-η〉-8-γ|≤

    同理可以證明:

    |〈-η+ξ+〉-6-γ-〈-η+ξ〉-6-γ-

    (6+γ)(η-ξ)·ξ-〈-η+ξ〉-8-γ|≤

    又由于:

    |η·ξ-〈-η〉-8-γ-(η-ξ)·ξ-〈-η+ξ〉-8-γ|≤

    考慮到|ξ-|=|ξ|sinθ,得到:

    |〈-η+ξ-ξ-〉-6-γ+〈-η+ξ-〉-6-γ-

    〈-η+ξ〉-6-γ-〈-η〉-6-γ|≤

    τξ-〉-8-γ+〈-η+τξ〉-8-γdτ,

    由于|ξ|≤1,-2<γ<0,0<α≤1,則可求得:

    〈-η+τξ-〉-8-γ](|η|α+|ξ-η|α)dτdη≤

    考慮到:

    于是有結(jié)論:

    其中λ0依賴于γ,α.

    當(dāng)|ξ|>1時,直接計算可得:

    做適當(dāng)平移變換和球坐標(biāo)變換,且考慮到:

    -2<γ<0,0<α≤1,

    可以得到:

    于是:

    綜上所述,可以找到一個正常數(shù)距離λ0滿足公式(4),命題得證.

    定義算子:

    由方程:

    可得:

    從而:

    由定理1可得:

    當(dāng)T0>0足夠小時,使得λ0T0<1時,H是一個壓縮映射.

    由Banach不動點定理可得,上述問題存在一個唯一解φ(ξ,t)∈C([0,T0],Kα).即,帶可測初值的改進(jìn)軟位勢齊次玻爾茲曼方程存在唯一解.以φ(ξ,T0)∈Kα作為初值代回柯西問題(2)中,利用定理2,可得到帶可測初值的改進(jìn)軟位勢齊次玻爾茲曼方程存在唯一解φ(ξ,t)∈C([T0,2T0],Kα).重復(fù)上述過程可以得到φ(ξ,t)∈C([0,∞),Kα).

    利用定理2,可得:

    λ0‖φ-φ‖α.

    計算上述微分方程得到:

    這就證得公式(3),定理1證畢.

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