排序不等式

萬(wàn)維鋼

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如果你在中學(xué)時(shí)代參加過(guò)奧數(shù)，你可能聽(tīng)說(shuō)過(guò)“排序不等式”。這是一個(gè)非常簡(jiǎn)單的不等式，能告訴你“效率”和“公平”的本質(zhì)關(guān)系。

比如，你開(kāi)了一家商場(chǎng)，平時(shí)客流量少，周末客流量多。我們把平時(shí)和周末的流量設(shè)為x1和x2，而x1

答案當(dāng)然是周末。你關(guān)心的是總銷(xiāo)量，而不是特定某一天的銷(xiāo)量。

因此， 就總銷(xiāo)量而論，x1·y1+x2·y2>x1·y2+x2·y1，也就是“大數(shù)乘大數(shù)加上小數(shù)乘小數(shù)”，大于“大數(shù)乘小數(shù)加小數(shù)乘大數(shù)”。這就叫排序不等式。

再說(shuō)得簡(jiǎn)單點(diǎn)，就是讓最大的和最大的結(jié)合、最小的和最小的結(jié)合，總的效果總是好于讓大的和小的結(jié)合。

排序不等式是底層的“不平等關(guān)系”。而正是因?yàn)檫@個(gè)邏輯，“效率”和“公平”本質(zhì)上是矛盾的。

比如，你是某個(gè)決策者，手里有個(gè)大項(xiàng)目，放在哪個(gè)地區(qū)都能提升當(dāng)?shù)氐慕?jīng)濟(jì)發(fā)展。那請(qǐng)問(wèn)，你是把它放在經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)地區(qū)呢，還是邊遠(yuǎn)落后地區(qū)呢？

大數(shù)最能讓大數(shù)發(fā)揮作用。

世界上的很多配合不是加法，而是乘法關(guān)系。所以最好的資源應(yīng)該用在最賺錢(qián)的地方，最厲害的人員應(yīng)該放在最關(guān)鍵的崗位。

這就是為什么好東西總愛(ài)扎堆，有志向的年輕人非得去大城市。這也是為什么會(huì)有馬太效應(yīng)，為什么人人都想跟最好的人合作。這也是為什么市場(chǎng)總是讓財(cái)富分布不平等。

排序不等式，是資源配置的“零階道理”。

2

有幾種情況，會(huì)讓排序不等式不起作用。

教育系統(tǒng)有重點(diǎn)大學(xué)、重點(diǎn)中學(xué)，同一所學(xué)校里還會(huì)有重點(diǎn)班，重點(diǎn)班的老師是全校最好的。

這完全符合排序不等式，教育系統(tǒng)希望培養(yǎng)高水平人才。但你注意到?jīng)]有，在任何一個(gè)班級(jí)里，老師重點(diǎn)關(guān)注的，往往不是最好的學(xué)生。這是為什么呢？

因?yàn)閷W(xué)習(xí)成績(jī)有上限。你分?jǐn)?shù)再高，也不能比滿(mǎn)分還高。第一名有時(shí)考97 分有時(shí)考100 分，在滿(mǎn)分附近隨機(jī)波動(dòng)，對(duì)全班總成績(jī)幾乎沒(méi)有影響。而如果老師能把60 分的同學(xué)提高到75 分，那可是顯著的提高。

很多系統(tǒng)對(duì)組成部分的要求是有上限的。你造一架大橋，不會(huì)重點(diǎn)打造其中一個(gè)橋墩，汽車(chē)上的零件也不是越“好”越好，最理想的情況是所有難以更換的零件的磨損壽命是一樣的。

還有一種系統(tǒng)，比如福利系統(tǒng)，則要求各個(gè)相加項(xiàng)的大小有一個(gè)下限。在貧困山區(qū)建設(shè)通訊基站效率不高，但是貧困山區(qū)需要通訊基站。福利系統(tǒng)解決的是公平問(wèn)題。這種系統(tǒng)有時(shí)候會(huì)把最好的官員派到最貧困的地區(qū)，并不指望他們創(chuàng)造什么效益，只是希望提高那些地區(qū)的下限。

安全系統(tǒng)也強(qiáng)調(diào)下限。只要是防守，我們最關(guān)心的一定是最薄弱的地方，要把最好的資源和人手放在那個(gè)地方。

個(gè)人只能做一個(gè)乘法因子，管理者要的卻是相乘再相加。如果你是一個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)行者，你必須清楚判斷這是一個(gè)不設(shè)限系統(tǒng)，還是一個(gè)有上限或者下限的系統(tǒng)。

而作為個(gè)體，如果你認(rèn)為自己是個(gè)大數(shù)因子，那最好不要待在有上限的系統(tǒng)中。

3

這個(gè)道理很容易明白，但是我感覺(jué)人們對(duì)它貫徹得還不夠。我們過(guò)多地受到了“公平”這個(gè)直覺(jué)的影響，總想把什么東西都弄均勻一點(diǎn)。

假設(shè)一個(gè)車(chē)間有兩條生產(chǎn)線(xiàn)，每條生產(chǎn)線(xiàn)需要兩個(gè)人先后動(dòng)作，共同完成一件產(chǎn)品?，F(xiàn)在你有四個(gè)工人，老張和老李的良品率都是95%，小張和小李的良品率都是75%。請(qǐng)問(wèn)，你應(yīng)該把這四個(gè)人怎么分組呢？

直覺(jué)的分法，是讓老張和小張一組，老李和小李一組，這樣兩個(gè)組的良品率是一樣的，都是0.95×0.75 ≈ 71%。你覺(jué)得這樣分組能讓高手帶一帶低手，起到骨干作用。

但是， 排序不等式要求你讓老張和老李一組， 小張和小李一組。你的高手組良品率將是0.95×0.95 ≈ 90%，低手良品率將是0.75×0.75 ≈ 56%，而你的總良品率是兩組的平均值，也就是73%——高于高低搭配分組的71%。

排序不等式要求你讓高手跟高手搭配，雖然這會(huì)降低其他組的效率，但你的總效率是最高的。而且高手跟高手在一起互相激發(fā)，也許還能進(jìn)一步提高效率。

再回過(guò)頭去想想，老師之所以不重視好學(xué)生，并不僅僅是因?yàn)楹脤W(xué)生成績(jī)有上限——也因?yàn)楹脤W(xué)生自己就能好好學(xué)。如果每個(gè)學(xué)生的成績(jī)都跟老師在他身上花的功夫是乘法關(guān)系，老師還是得最重視好學(xué)生。

只要是涉及這種需要密切配合，是乘法關(guān)系的局面，就應(yīng)該抽調(diào)最強(qiáng)的人馬組建起一支特種部隊(duì)。

搞平均符合直覺(jué)，但是違反數(shù)學(xué)。我們個(gè)人的生活和學(xué)習(xí)不也是這樣的嗎？直覺(jué)上你可能認(rèn)為應(yīng)該把每一件事都做好，每個(gè)學(xué)科都學(xué)好，其實(shí)不是。數(shù)學(xué)要求這是一個(gè)長(zhǎng)板的世界：你應(yīng)該把最好的精力、最多的時(shí)間用在最能體現(xiàn)你價(jià)值的項(xiàng)目上。

（摘自“得到”app，魏克圖）