利用Frenet活動(dòng)標(biāo)架構(gòu)建渦旋壓縮機(jī)型線的新方法

劉 濤，侯才生，李銀萍

(蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730050)

渦旋壓縮機(jī)與其他類型的壓縮機(jī)相比，具有結(jié)構(gòu)緊湊、高效節(jié)能、可靠性高、微振低噪等諸多優(yōu)點(diǎn)，已廣泛應(yīng)用于制冷、空調(diào)、渦旋增壓器和渦旋膨脹機(jī)等領(lǐng)域[1-3]. 它是依靠一對(duì)嚙合的動(dòng)靜渦旋齒之間所形成的密閉容積由大到小的周期性變化，來實(shí)現(xiàn)對(duì)工作介質(zhì)的吸入、壓縮和排放的. 構(gòu)成渦旋齒的型線決定了渦旋壓縮機(jī)的幾何特性、加工性能和磨損，進(jìn)而最終影響渦旋壓縮機(jī)的容積效率和機(jī)械效率[4-5]，所以有關(guān)渦旋齒型線的研究成為一個(gè)熱點(diǎn).

根據(jù)渦旋齒齒廓的形狀，可將型線劃分為三大類，分別為等壁厚渦旋齒型線、漸變壁厚渦旋齒型線和變壁厚渦旋齒型線. 等壁厚渦旋齒型線因數(shù)學(xué)描述簡(jiǎn)單、加工比較方便而得到廣泛應(yīng)用[6-7]，它可由基圓漸開線、線段漸開線、正多邊形漸開線等曲線構(gòu)成；漸變壁厚渦旋齒型線可由變徑基圓漸開線、阿基米德螺旋線和代數(shù)螺線等曲線構(gòu)成，它的優(yōu)勢(shì)在于其齒厚的變化規(guī)律與其工作腔內(nèi)介質(zhì)壓力的變化規(guī)律相一致，所以其性能較高[8-11]. 當(dāng)渦旋壓縮機(jī)需要較大壓縮比時(shí)，采用前兩種渦旋齒型線會(huì)導(dǎo)致型線圈數(shù)增加，泄漏線的長(zhǎng)度增加，進(jìn)而對(duì)渦旋壓縮機(jī)產(chǎn)生不利影響. 為克服上述缺陷，相關(guān)學(xué)者提出了用組合曲線來構(gòu)造變壁厚渦旋齒型線的思路[12-13]，從而用較少的圈數(shù)實(shí)現(xiàn)了大壓縮比的要求. 由上述分析可知，在理論上，能構(gòu)成三大類渦旋齒型線的曲線類型眾多，但每種曲線都有各自的特點(diǎn)和相應(yīng)的表征方式. 在以往對(duì)型線的研究中，只是針對(duì)每一種具體曲線展開討論，給出其復(fù)雜的計(jì)算公式，這種研究方法將造成型線過分依賴于具體的型線表征方式，導(dǎo)致一種型線對(duì)應(yīng)一種模型的局面，使建模不斷重復(fù). 與此同時(shí)，因建立的模型針對(duì)性過強(qiáng)，致使得到的結(jié)論不具有普遍性和通用性. 為解決上述問題，近年來又提出了通用型線的理論[14-15]，這在一定程度上減少了重復(fù)建模的次數(shù)，提高了設(shè)計(jì)效率，但該理論并不完善，尚有待進(jìn)一步研究.

渦旋齒型線傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法是根據(jù)已知型線的特點(diǎn)，先選定型線類型，然后進(jìn)行性能分析. 這種方法存在的缺點(diǎn)是未充分考慮渦旋壓縮機(jī)在實(shí)際工程應(yīng)用中幾何性能傾向性的問題，致使設(shè)計(jì)出的渦旋齒型線不能滿足設(shè)計(jì)要求. 為克服渦旋齒型線傳統(tǒng)設(shè)計(jì)中存在的弊端，本文基于微分幾何理論[16]，在構(gòu)成渦旋齒型線的曲線上依附一個(gè)Frenet標(biāo)架，讓其跟著曲線一起運(yùn)動(dòng)，通過Frenet標(biāo)架的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)來刻畫該曲線的形狀特征，進(jìn)而建立以曲率和Frenet標(biāo)架為參數(shù)的渦旋齒型線的通用幾何模型，實(shí)現(xiàn)對(duì)渦旋齒型線的準(zhǔn)確描述，并以考慮渦旋壓縮機(jī)工程應(yīng)用為設(shè)計(jì)目標(biāo)，來構(gòu)造出眾多符合設(shè)計(jì)要求的渦旋齒型線.

1 渦旋齒型線的通用幾何模型

圖1是任意渦旋型線的微分幾何關(guān)系示意圖. 圖中：ρ為曲率半徑；C為曲率中心；φ為型線切向角參數(shù)；K為型線切點(diǎn)，T為單位切向量；N為單位法向量；dx為橫坐標(biāo)軸增量；dy為縱坐標(biāo)軸增量；ds為弧長(zhǎng)增量.

在平面E2的右手笛卡爾直角坐標(biāo)系下，曲線r=r(s)可以表示為

r=r(s)=(x(s),y(s))，

(1)

其中s是弧長(zhǎng)參數(shù).

記任意渦旋型線的切線與x軸正向的夾角為φ=φ(s)，則在切點(diǎn)處的單位切向量和單位法向量分別為

T=T(s)=(cosφ(s),sinφ(s))，

(2)

N=N(s)=(-sinφ(s),cosφ(s))，

(3)

根據(jù)微分幾何關(guān)系，見圖1，易得

(4)

圖1 渦旋型線的微分幾何關(guān)系

且渦旋型線在切點(diǎn)處的曲率半徑為

(5)

由于T(s)為單位向量場(chǎng)，故有T(s)⊥T′(s)，所以T′(s)是N(s)的倍數(shù)，設(shè)為

T′(s)=κr(s)N(s),

(6)

因此

(7)

式中κr為平面曲線的曲率. 故有

(8)

綜合以上各式，得到平面曲線的Frenet標(biāo)架{r(s);T(s),N(s)}沿渦旋齒型線運(yùn)動(dòng)的公式為

(9)

結(jié)合式(5)與式(9)，并代入初值(x0(φ0),y0(φ0))，便得到任意渦旋齒型線的母線方程為

(10)

(φ∈[0,φmax])

式中φmax為母線的最大切向角.

根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)，任意函數(shù)曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式都可表示為切向角φ的函數(shù)形式，并且只要該函數(shù)是關(guān)于φ的遞增函數(shù)，就可以通過此函數(shù)來表示任意滿足嚙合條件的渦旋型線. 因此將式(10)中的曲率半徑函數(shù)表征為

(i=0,1,2,…,n)

式中：ai稱為型線的控制系數(shù)，i稱為曲線的階次. 當(dāng)i=0時(shí)稱為零次曲線，型線方程表示的曲線是圓或者圓弧，可用來對(duì)渦旋齒型線的齒頭部分進(jìn)行修正；當(dāng)i=1時(shí)稱為一次曲線，型線方程表示的曲線是圓漸開線，可構(gòu)成等壁厚渦旋齒型線；當(dāng)i≥2時(shí)稱為高次曲線，型線方程表示的曲線是變徑基圓漸開線，可構(gòu)成漸變壁厚渦旋齒型線.

若要構(gòu)造變壁厚的渦旋齒型線，可將曲率半徑函數(shù)ρ(φ)表征為分段函數(shù)的形式，只要在各連接點(diǎn)處滿足曲線連續(xù)性和光滑性的條件即可. 由此可見，當(dāng)曲率半徑函數(shù)ρ(φ)不分段時(shí)，能構(gòu)成等壁厚和漸變壁厚的渦旋齒型線；當(dāng)ρ(φ)分段時(shí)，又能構(gòu)造出變壁厚的渦旋齒型線. 通過曲率半徑函數(shù)ρ(φ)的不同表征形式，不但將渦旋壓縮機(jī)中的三大類渦旋齒型線統(tǒng)一納入到一個(gè)函數(shù)方程中，而且通過調(diào)整曲率半徑函數(shù)式中的控制系數(shù)就能對(duì)渦旋齒型線的特性進(jìn)行優(yōu)化和控制.

母線方程確定后，根據(jù)法向等距曲線的特點(diǎn)[17]，確定動(dòng)、靜渦旋的內(nèi)外壁型線方程.

動(dòng)渦旋外壁型線方程為

靜渦旋內(nèi)壁型線方程為

動(dòng)渦旋內(nèi)壁型線方程為

靜渦旋外壁型線方程為

式中Ror為回轉(zhuǎn)半徑.

為計(jì)算方便，取初值x0(φ0)=a1，y0(φ0)=0，根據(jù)上述渦旋型線方程，得到的動(dòng)靜渦旋嚙合如圖2所示.

圖2 動(dòng)靜渦旋嚙合

2 工作腔容積的計(jì)算

動(dòng)、靜渦旋相互嚙合時(shí)，能夠形成多對(duì)封閉的工作腔，如圖2所示，從內(nèi)到外依次稱為第一壓縮腔(又稱排氣腔)、第二和第三壓縮腔，分別用編號(hào)①、②、③來表示，各個(gè)工作腔的容積隨著曲軸轉(zhuǎn)角θ的變化而變化. 如圖3(a)所示，以動(dòng)渦旋的內(nèi)壁面與靜渦旋的外壁面所圍成的第二壓縮腔為例，易得單一月牙形腔體的面積A2為動(dòng)渦旋內(nèi)壁型線Loi所組成的面積與靜渦旋外壁型線Lfo所組成的面積之差. 根據(jù)法向等距線法，對(duì)渦旋型線進(jìn)行平動(dòng)，如圖3(b)所示，則

其中

所以第二壓縮腔腔體面積為

由此可得，渦旋壓縮機(jī)除排氣腔以外的任一對(duì)壓縮腔容積的通用計(jì)算式為

式中：N為壓縮腔編號(hào)，h為渦旋齒高度.

(a) (b)

對(duì)于排氣腔，它的容積與開始排氣角及型線最初一段的修正情況有關(guān)，本文采用對(duì)稱雙圓弧修正的方法對(duì)齒頭進(jìn)行修正[18]. 根據(jù)曲軸轉(zhuǎn)角θ的變化，可將排氣腔容積的計(jì)算劃分為兩個(gè)階段.

在第一階段，排氣腔是由圓漸開線和修正圓弧組成，如圖4所示. 工作腔的容積為

V11(θ)=

a12(π-4?)-2Am},

其中

式中：φ為修正展角，?為漸開線發(fā)生角，λ為修正圓弧中心角，Rd為修正大圓弧半徑，Rx為修正小圓弧半徑，γ為修正角.

圖4 由圓漸開線和圓弧組成的排氣腔

Fig.4 The discharge chamber consisting of circle involutes and circular arcs

在第二階段，排氣腔完全由修正圓弧組成，如圖5所示. 工作腔容積為

V12(θ)=h(Rd2-Rx2)[(θ-γ)-sin(θ-γ)].

圖5 僅有圓弧組成的排氣腔

3 渦旋齒型線的幾何性能指標(biāo)

為了研究控制系數(shù)對(duì)渦旋齒型線幾何性能的影響，建立兩者之間的映射關(guān)系，特引入4個(gè)能表征渦旋齒型線幾何性能的指標(biāo)，即壓縮比、渦盤圓周大徑、體積利用系數(shù)和渦旋齒齒厚.

3.1 壓縮比

式中：V3(0)為曲軸轉(zhuǎn)角θ=0時(shí)，第三壓縮腔的容積;θ*為開始排氣角，θ*=2π-γ;κ為氣體的等熵指數(shù)，取κ=1.21.

3.2 渦盤圓周大徑

考慮到渦旋壓縮機(jī)在實(shí)際應(yīng)用中，有尺寸空間限制這一因素，特引入渦盤圓周大徑D這一性能指標(biāo)，如圖2所示.

D=2{[xoo(φmax+π)+Ror]2+(yoo(φmax+π))2}1/2.

3.3 體積利用系數(shù)

為了定量表征渦旋壓縮機(jī)尺寸結(jié)構(gòu)的大小以及緊湊程度，引入體積利用系數(shù)這一性能指標(biāo)，定義為

3.4 渦旋齒齒厚

齒厚t是渦旋壓縮機(jī)設(shè)計(jì)、動(dòng)力學(xué)、熱力學(xué)研究和強(qiáng)度計(jì)算中的一個(gè)重要幾何量，所以其大小的選擇對(duì)于渦旋壓縮機(jī)的正常運(yùn)轉(zhuǎn)至關(guān)重要. 渦旋齒齒厚t的計(jì)算公式定義為

t=[ρ(φ+2π)-ρ(φ)-2Ror]/2.

4 控制系數(shù)與性能指標(biāo)的映射關(guān)系

為了建立控制系數(shù)與性能指標(biāo)的映射關(guān)系，并探究每項(xiàng)控制系數(shù)變化所代表的具體意義，分別討論了每個(gè)控制系數(shù)單獨(dú)變化時(shí)其對(duì)性能指標(biāo)的影響. 本文以前兩項(xiàng)控制系數(shù)為研究對(duì)象，并且對(duì)控制系數(shù)的討論都是在回轉(zhuǎn)半徑Ror和渦旋齒高h(yuǎn)確定的條件下進(jìn)行的，因?yàn)榛剞D(zhuǎn)半徑Ror和渦旋齒高h(yuǎn)是兩個(gè)重要的幾何參數(shù)，取值過大或過小均會(huì)對(duì)渦旋壓縮機(jī)的性能產(chǎn)生不利的影響. 回轉(zhuǎn)半徑Ror的大小會(huì)影響動(dòng)靜渦旋的嚙合，Ror取值不恰當(dāng)，會(huì)使動(dòng)靜渦旋相互干涉而無法正常嚙合. 而渦旋齒高h(yuǎn)的大小與軸向泄漏線長(zhǎng)度、渦旋體加工時(shí)的難易程度相關(guān)，若h過大，會(huì)使渦旋體的加工難度增加，不利于保證渦旋體的形位精度；若h過小，又會(huì)增加壓縮腔軸向間隙的泄漏線長(zhǎng)度，不利于提高渦旋壓縮機(jī)的容積效率. 基于以上分析，本文參照文獻(xiàn)[19]，取回轉(zhuǎn)半徑Ror=1.84 mm，渦旋齒高h(yuǎn)=25 mm.

當(dāng)控制系數(shù)a1保持不變，a0逐漸增大時(shí)，得到的計(jì)算結(jié)果如表1中的第1至第3組數(shù)據(jù)所示. 結(jié)果表明：在a1不變的條件下，隨著a0的逐漸變大，渦盤圓周大徑D在變大，壓縮比ν和體積利用系數(shù)γ在變小，而渦旋齒齒厚t卻保持不變；當(dāng)控制系數(shù)a0的值不變，a1取值逐漸變大時(shí)，其計(jì)算結(jié)果如表1中的第3至第5組數(shù)據(jù)所示. 由結(jié)果可知：隨著a1的逐漸增大，壓縮比ν、渦盤圓周大徑D及渦旋齒齒厚t均在變大，只有體積利用系數(shù)γ在減小. 從表1中還可以得出，任何控制系數(shù)ai的單獨(dú)變大都會(huì)使渦盤圓周大徑D增大，也都會(huì)使體積利用系數(shù)減小.

表1 控制系數(shù)ai變化時(shí)的性能指標(biāo)值

Tab. 1 Performance index values with the change of control coefficientai

組數(shù)控制系數(shù)a0a1渦旋齒型線的性能指標(biāo)值νD/mmγt/mm11.101.545.77700.1523.0020.601.546.27690.1533.0030.101.546.87680.1553.0040.102.046.91900.1174.5750.102.546.931120.0946.14

通過探討前兩項(xiàng)控制系數(shù)變化對(duì)渦旋齒型線性能指標(biāo)的影響，建立了控制系數(shù)與性能指標(biāo)的映射關(guān)系，如表2所示. 利用表2中的映射關(guān)系，得到了控制系數(shù)與各項(xiàng)性能指標(biāo)的變化趨勢(shì)圖，如圖6所示. 運(yùn)用該變化趨勢(shì)圖可優(yōu)選出一系列滿足設(shè)計(jì)要求的控制系數(shù)，進(jìn)而構(gòu)造出渦旋齒型線.

表2 控制系數(shù)與渦旋齒型線性能指標(biāo)的映射關(guān)系

Tab.2 Mapping relation between control coefficients and performance indexes of scroll wrap profiles

控制系數(shù)a0a1渦旋齒型線的性能指標(biāo)νD/mmγt/mm↑―↓↑↓――↑↑↑↑↓↓↑

注：―表示不變；↑表示增大；↓表示減??；雙箭頭表示增大或減小的程度較大.

圖6 控制系數(shù)與性能指標(biāo)的變化趨勢(shì)圖

5 控制系數(shù)的優(yōu)選

對(duì)于渦旋壓縮機(jī)而言，壓縮比和體積利用系數(shù)無疑是兩個(gè)非常重要的性能指標(biāo)，它們對(duì)于提高壓縮性能，改善整個(gè)空壓系統(tǒng)工作性能的影響關(guān)系較大. 所以在以往的研究中，對(duì)這兩個(gè)性能指標(biāo)特別重視，在一味地追求壓縮比或體積利用系數(shù)的最大值. 但同時(shí)也忽略了另外兩個(gè)形象直觀、便于測(cè)量的指標(biāo)，即渦盤圓周大徑D和渦旋齒齒厚t.

對(duì)于渦盤圓周大徑D而言，它的大小受空間尺寸的限制. 在達(dá)到同樣大小的壓縮比或體積利用系數(shù)的條件下，D的尺寸可以有多種. 如當(dāng)渦旋壓縮機(jī)被用于轎車等空間有限的地方時(shí)，雖然壓縮比或體積利用系數(shù)達(dá)到了設(shè)計(jì)要求，但若D的尺寸過大或過小都將導(dǎo)致渦旋壓縮機(jī)無法正確安裝.

對(duì)于渦旋齒齒厚t而言，它的大小主要根據(jù)渦旋齒工作時(shí)受力狀況而定，以保證強(qiáng)度和剛度為前提. 若t過小，則渦旋齒的強(qiáng)度和剛度會(huì)降低，加工中容易變形；若t過大，則渦旋盤的整體尺寸會(huì)增大，渦旋齒的質(zhì)量也會(huì)過大，導(dǎo)致傳熱性能變差. 當(dāng)渦旋齒頂部要求設(shè)置密封槽時(shí)，t在取值時(shí)還要將密封槽與密封條的加工工藝考慮在內(nèi). 由此可見，渦旋齒齒厚大小的選擇對(duì)渦旋壓縮機(jī)性能的改善是極其關(guān)鍵的.

因此，本文分別討論了在渦盤圓周大徑D與渦旋齒齒厚t恒定的前提下，利用控制系數(shù)與性能指標(biāo)的映射關(guān)系，來優(yōu)選滿足要求的控制系數(shù)，進(jìn)而構(gòu)造出性能優(yōu)良的渦旋齒型線.

利用映射關(guān)系，尋找滿足渦盤圓周大徑D的控制系數(shù). 例如，在a0=0.10，a1=1.54時(shí)，得到的D=68 mm，若此時(shí)需要D=80 mm的外形尺寸，由映射關(guān)系可知，可分別增大a0或a1的值，把a(bǔ)0值增大至a0=6.10來達(dá)到要求，也可把a(bǔ)1值增大到a1=1.81來滿足要求，即在渦盤圓周大徑D確定的前提下，控制系數(shù)a0或a1的取值是在參照表1的基礎(chǔ)上，依據(jù)映射關(guān)系，會(huì)計(jì)算得到一系列滿足要求的控制系數(shù). 如表3所示，僅僅是滿足要求的其中的五組控制系數(shù). 由表3可知，在保證渦盤圓周大徑D一定的條件下，第3組的壓縮比最大，但其體積利用系數(shù)又較小；第1組的體積利用系數(shù)最大，但其壓縮比和齒厚卻是最小的. 所以在選擇控制系數(shù)時(shí)，應(yīng)根據(jù)渦旋壓縮機(jī)的實(shí)際需求合理選擇，若需要較大的壓縮比，則選擇第3組的控制系數(shù)來構(gòu)造渦旋齒型線；若需要較大的體積利用系數(shù)，就選擇第1組的控制系數(shù)來構(gòu)造渦旋齒型線.

表3D=80 mm，改變控制系數(shù)ai時(shí)的性能指標(biāo)值

Tab.3 Performance index values with the change of control coefficientaiwhenD=80 mm

組數(shù)控制系數(shù)a0a1渦旋齒型線的性能指標(biāo)值D/mmνγt/mm16.101.54803.430.1393.0020.101.81806.890.1323.85301.82807.010.1313.8840.381.80806.590.1323.8250.501.79806.460.1333.78

同樣利用映射關(guān)系來尋找滿足渦旋齒齒厚t的控制系數(shù). 例如，在a0=0.10，a1=1.54時(shí)，得到的t=3.00 mm，若需要t=4.00 mm的齒厚，可增大控制系數(shù)a1的值，即把a(bǔ)1值增大至a1=1.86來達(dá)到要求. 即在渦旋齒齒厚t確定的條件下，根據(jù)表1并結(jié)合表2中的映射關(guān)系，可計(jì)算得到控制系數(shù)若干. 由表2可知，雖然齒厚t不受控制系數(shù)a0的影響，但a0取較小值時(shí)，可以增大壓縮比和體積利用系數(shù). 如表4所示，是滿足渦旋齒齒厚t=4.00 mm要求的其中的五組控制系數(shù).

表4t=4.00 mm，改變控制系數(shù)ai時(shí)的性能指標(biāo)值

Tab. 4 Performance index values whith the change of control coefficientaiwhent=4.00 mm

組數(shù)控制系數(shù)a0a1渦旋齒型線的性能指標(biāo)值t/mmνγD/mm101.864.007.010.1288220.601.864.006.380.1278331.101.864.005.950.1268441.601.864.005.580.1258552.101.864.005.260.12486

由表4可知，在保證渦旋齒齒厚t一定的前提下，第1組的壓縮比和體積利用系數(shù)最大，而渦盤圓周大徑D卻最??；第5組的壓縮比和體積利用系數(shù)又是最小的，但渦盤圓周大徑D又是最大的. 因此在優(yōu)選控制系數(shù)時(shí)，要綜合考慮各個(gè)性能指標(biāo)，若需要較大的壓縮比或體積利用系數(shù)，則選擇第1組的控制系數(shù)來構(gòu)造渦旋齒型線；若需要較大的渦盤圓周大徑，則選擇第5組的控制系數(shù)來構(gòu)造渦旋齒型線.

6 結(jié) 論

1)利用微分幾何中的Frenet標(biāo)架，建立了渦旋齒型線的通用幾何模型，將等壁厚渦旋齒型線、漸變壁厚渦旋齒型線和變壁厚渦旋齒型線集成在一個(gè)函數(shù)方程中，并且將對(duì)型線幾何性能的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)控制系數(shù)的研究，設(shè)計(jì)人員可更加專注于控制系數(shù)選取對(duì)渦旋壓縮機(jī)性能影響的研究.

2)建立了控制系數(shù)與渦旋齒型線性能指標(biāo)的映射關(guān)系，通過該映射關(guān)系，不但可以有效避免控制系數(shù)取值的盲目性，而且還可以構(gòu)造出眾多符合設(shè)計(jì)要求的渦旋齒型線.

3)突破了渦旋齒型線設(shè)計(jì)中只注重壓縮比或體積利用系數(shù)等條件的限制，以考慮實(shí)際需求為抓手，依據(jù)設(shè)計(jì)需求的傾向性，利用映射關(guān)系來構(gòu)造出綜合性能優(yōu)良的渦旋齒型線.