分?jǐn)?shù)階Fornberg-Whitham型方程的解析解及其演化現(xiàn)象

張 慧

(西南科技大學(xué) 城市學(xué)院，四川 綿陽(yáng) 621000)

在過(guò)去的幾十年里，越來(lái)越多的學(xué)者開(kāi)始關(guān)注分?jǐn)?shù)階非線性偏微分模型，與整數(shù)階模型相比，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型具有全局相關(guān)性，能夠充分地描述事物發(fā)展的歷史依賴(lài)過(guò)程，比如，時(shí)間分?jǐn)?shù)階波方程就能描述時(shí)間的記憶性； 空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程可以刻畫(huà)反常擴(kuò)散現(xiàn)象、慢擴(kuò)散現(xiàn)象、快擴(kuò)散現(xiàn)象和超擴(kuò)散現(xiàn)象等； 時(shí)間-空間分?jǐn)?shù)階偏微分方程可以準(zhǔn)確地描述各種復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的中間過(guò)程，例如，水分子向土壤的入滲以及非飽和水在土壤中的運(yùn)移模型.

分?jǐn)?shù)階非線性偏微分方程的解法研究，一直是力學(xué)、工程技術(shù)學(xué)、物理學(xué)、生命科學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)等領(lǐng)域的工作者致力于研究的最為活躍的課題之一.因此，許多有效的求解方法也被陸續(xù)地提出來(lái)，包括Adomian分解法[1]、首次積分法[2]、同倫分析法[3]、李群理論方法[4]、不變子空間方法[5]、分式變分迭代法[6]、分?jǐn)?shù)復(fù)變換法[7]、分離變量法[8]、Laplace變換法[9]以及分離變量法與齊次平衡原理相結(jié)合的方法[10]等.

1967年，在文獻(xiàn)[11 ]中B.Fornberg和Whitham提出了經(jīng)典的非線性偏微分Fornberg-Whitham方程

ut-uxxt+ux=uuxxx-uux+3uxuxx.

(1)

該方程可以描述定性的碎波現(xiàn)象.許多學(xué)者對(duì)該方程進(jìn)行了研究，其中Fornberg 和 Whitham獲得了非線性Fornberg-Whitham方程的尖波解.Abidi和Lu等在[12-13]中分別使用同倫攝動(dòng)法，變分迭代法和Adomian分解法研究了該方程的解析解，Gupta,Sakar[14-15]等研究了該方程的逼近解. Sahadevan和Prakash[16]利用不變子空間的方法研究了時(shí)間分?jǐn)?shù)階 Fornberg-Whitham 方程的精確解.而對(duì)于分?jǐn)?shù)階Fornberg-Whitham 方程的研究目前文獻(xiàn)中比較少，本文在變量分離法與齊次平衡原理相結(jié)合的方法的基礎(chǔ)上，對(duì)解的假設(shè)結(jié)構(gòu)稍加改進(jìn)，使其更具有普適性，并且求解方法和技巧較之前文獻(xiàn)中的要簡(jiǎn)便許多.

文獻(xiàn)[17]中解的假設(shè)結(jié)構(gòu)u=a0+a1v(x)Eα(λtα)只適合求解Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義下的分?jǐn)?shù)階偏微分方程，因?yàn)槌?shù)a0在黎曼-劉維爾型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義下求導(dǎo)不為零. 因此，我們對(duì)這種解的假設(shè)結(jié)構(gòu)稍作改進(jìn)為u=(b0+b1v(x))Eα(λtα)，可以同時(shí)適應(yīng)黎曼-劉維爾型和Caputo型二種分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義下的分?jǐn)?shù)階偏微分方程的求解，然后利用改進(jìn)后的算法分別研究時(shí)間分?jǐn)?shù)階、空間分?jǐn)?shù)階以及時(shí)間-空間分?jǐn)?shù)階三類(lèi)非線性偏微分Fornberg-Whitham方程的精確解及其演化現(xiàn)象.

首先給出關(guān)于分?jǐn)?shù)階微積分的2種常用的定義及其性質(zhì)，以方便讀者更好的理解，更多細(xì)節(jié)參考文獻(xiàn)[18-19].

黎曼-劉維爾分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義如下：

(2)

其中n=[α]+1,n-1≤αa≥0,[α]表示的是非負(fù)實(shí)數(shù)α的整數(shù)部分.

(3)

其中n=[α]+1,n-1≤αa≥0,且f(t)連續(xù)n階可導(dǎo).

有關(guān)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和積分的常用性質(zhì)有：

(4)

1 時(shí)間分?jǐn)?shù)階Fornberg-Whitham型方程的精確解及其動(dòng)力學(xué)性質(zhì)

本節(jié)將利用改進(jìn)后的齊次平衡原理與分離變量相結(jié)合的方法來(lái)研究時(shí)間分?jǐn)?shù)階Fornberg-Whitham型方程：

(5)

的精確解，其中u=u(x,t),t>0,x∈R，假設(shè)方程(5)具有如下形式的解

u=(b0+b1v(x))Eα(λtα),

(6)

將(6)式代入方程(5)中可得

(7)

對(duì)上式進(jìn)行整理可得

(8)

(9)

首先對(duì)方程組(9)中第1個(gè)線性常微分方程進(jìn)行求解，可以得到其通解：

(10)

再將上式代入方程組(9)的第2個(gè)方程中可得

(11)

其中

令Ω1=0，Ω2=0，Ω3=0可得：

(12)

將(12)式代入(10)式可得方程組(9)的解

(13)

再將(14)式帶入(6)中可得時(shí)間分?jǐn)?shù)階Fornberg-Whitham型方程(5)的二個(gè)精確

(14)

(15)

其中C1,b1為任意非零的常數(shù).解(14)和(15)空間部分函數(shù)為無(wú)界函數(shù)，又當(dāng)時(shí)間t趨于正無(wú)窮時(shí)，振幅隨時(shí)間的增加而衰減.為了能夠直觀地展示解(14)和解(15)的動(dòng)力性質(zhì)，將其繪制成了3維坐標(biāo)圖形，如圖1所示，在圖1(a)取C1=0.2,b1=7.5,α=0.75;圖1(b)中取值為C1=0.2,b1=2.5,α=0.75.

圖1 解隨時(shí)間和空間發(fā)展的3維坐標(biāo)模擬圖

2 空間分?jǐn)?shù)階Fornberg-Whitham型方程的精確解及其動(dòng)力學(xué)性質(zhì)

本節(jié)主要研究空間分?jǐn)?shù)階Fornberg-Whitham型方程：

(16)

的精確解，其中u=u(x,t),t>0,x∈R,0<β<1.

假設(shè)方程有如下形式的解：

u=(h0+h1w(t))Eβ(λ0tβ),

(17)

其中h0,h1,λ0是待定常數(shù)且h1≠0,λ0≠0,w=w(t)是關(guān)于t的待定函數(shù).

同樣將(17)代入(16)式中可得

(18)

將上式整理可得

(19)

(20)

求解(20)式中的第1個(gè)常微分方程得

(21)

再將(21)代入(20)式的第2個(gè)方程中可得

(22)

(23)

因此，將(23)式代入(21)式中可得

(24)

(25)

將(23)式、(24)式和(25)式代入(17)式可得空間分?jǐn)?shù)階Fornberg-Whitham型偏微分方程(16)的2個(gè)精確解

(26)

(27)

其中C3,h1為任意非零的常數(shù).

3 時(shí)間-空間分?jǐn)?shù)階Fornberg-Whitham型方程的精確解

當(dāng)時(shí)間和空間都為分?jǐn)?shù)階時(shí)，即當(dāng)0<α<1,0<β<1時(shí)，方程(1)可轉(zhuǎn)化為時(shí)間-空間分?jǐn)?shù)階Fornberg-Whitham型方程

(28)

其中u=u(x,t),t>0,x∈R.

我們假定方程(28)有如下形式的解

u=hEα(λ1tα)Eβ(λ2xβ)，

(29)

其中h,λ1,λ2是待定常數(shù)且h≠0,λ1≠0,λ2≠0. 將(29)代入(28)式可得

(30)

整理上式可得

(31)

(32)

解方程組(32)可得

(33)

于是將(33)式代入(29)式中可得時(shí)間-空間分?jǐn)?shù)階Fornberg-Whitham型方程的2個(gè)精確解

(34)

(35)

其中h為任意的非零常數(shù).解(34)和(35)同樣當(dāng)時(shí)間t趨于正無(wú)窮時(shí)，振幅隨時(shí)間的增加而衰減.為了能夠直觀地展示解(34)和解(35)的動(dòng)力性質(zhì)，在圖2(a)中繪制了解(34)取h=-6,α=0.75,β=0.75下的3維坐標(biāo)圖形，圖2(b)中取值為h=-0.2,α=0.25,β=0.25繪制出解(35)的坐標(biāo)演化圖形.

圖2 解(34)和解(35)的動(dòng)力學(xué)行為演化圖

4 結(jié)語(yǔ)

本文改進(jìn)了文獻(xiàn)[17]中關(guān)于解的假設(shè)結(jié)構(gòu)問(wèn)題，使得積分分支方法與齊次平衡原理相結(jié)合的方法在求解分?jǐn)?shù)階偏微分方程時(shí)更具普適性，即可以用它來(lái)獲得Riemann-Lioville導(dǎo)數(shù)意義下的分?jǐn)?shù)階非線性偏微分方程的精確解，又可以獲得Caputo導(dǎo)數(shù)意義下的分?jǐn)?shù)階非線性偏微分方程的精確解.利用改進(jìn)后的算法研究了不同類(lèi)別的分?jǐn)?shù)階Fornberg-Whitham 型方程的精確解，通過(guò)對(duì)所得精確解的分析，發(fā)現(xiàn)其中大部分解都具有隨時(shí)間和空間發(fā)展而產(chǎn)生衰減的特性.