具變時(shí)滯項(xiàng)的非線(xiàn)性波方程解的爆破

崔佳楠, 劉 霞

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006)

在本文中, 主要討論如下一類(lèi)具有變時(shí)滯的波方程

(1)

其中Ω是Rn中具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域,τ(t)>0是變時(shí)滯,m≥2,μ1是常數(shù),μ2是實(shí)數(shù),h1,h2,F是給定的函數(shù), 初始值(u0,u1,f0)在1個(gè)合適的函數(shù)空間中.

時(shí)滯出現(xiàn)在許多的應(yīng)用中, 這是因?yàn)樵诖蠖鄶?shù)的情況下, 包括物理, 化學(xué), 生物, 熱和經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象不僅依賴(lài)于當(dāng)前的狀態(tài), 而且也與過(guò)去發(fā)生的事情有關(guān). 近年來(lái), 具有時(shí)滯效應(yīng)的偏微分方程控制成為了1個(gè)熱點(diǎn). 在許多時(shí)候, 時(shí)滯會(huì)帶來(lái)不穩(wěn)定性, 即使是1個(gè)任意小的時(shí)滯也會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定. 比如說(shuō),

關(guān)于系統(tǒng)

(2)

在沒(méi)有時(shí)滯(a=0,a0>0)時(shí)是指數(shù)穩(wěn)定的, 參考[1,2]. 當(dāng)時(shí)滯存在(a>0),Nicaisa和 Pignotti在[3]中研究了系統(tǒng)(2), 并證明了在假設(shè)有時(shí)滯反饋的權(quán)重小于無(wú)時(shí)滯的反饋(0

Mohammad Kafini等在文獻(xiàn)[4]中首次考慮了1個(gè)有時(shí)滯的2階抽象發(fā)展方程

utt(t)+Au(t)+G(ut(t))+G(ut(t-τ))=F(u(t)), (x,t)∈Ω×(0,∞)，

相同的作者在文獻(xiàn)[5]中考慮了問(wèn)題

當(dāng)p>m≥2且μ1>|μ2|時(shí), 證明了解在有限時(shí)間爆破.

當(dāng)系統(tǒng)中有記憶項(xiàng)時(shí), 吳舜堂在文獻(xiàn)[6]中考慮了1個(gè)有時(shí)滯的非線(xiàn)性粘彈性方程

他證明了當(dāng)初始能量E(0)<βE1時(shí), 某些解在有限時(shí)間爆破. 不同于其他爆破的文章, 這里的初始能量既能取正值也能取負(fù)值.

在文獻(xiàn)[7]中,Benaissa等人考慮了1個(gè)有界區(qū)域上在弱非線(xiàn)性?xún)?nèi)部反饋上有時(shí)滯的非線(xiàn)性波方程

u″(x,t)-Δxu(x,t)+μ1σ(t)g1(u′(x,t))+μ2σ(t)g2(u′(x,t-τ(t)))=0,

并證明了當(dāng)反饋中時(shí)滯的權(quán)重, 沒(méi)有時(shí)滯的項(xiàng)所占權(quán)重以及時(shí)滯的速度三者滿(mǎn)足某種關(guān)系時(shí), 在合適的Sobolev空間中利用能量方法和Faedo-Galerkin方法證明了解的全局存在性結(jié)果. 進(jìn)一步通過(guò)利用乘子法和某些一般的加權(quán)積分不等式研究了解的漸進(jìn)性行為.

對(duì)于在Rn上考慮的問(wèn)題, 我們可以參考[8-12], 比方說(shuō)[11]中研究了1個(gè)非線(xiàn)性6階波方程的Cauchy問(wèn)題, 通過(guò)利用泛函的符號(hào)不變性和凸性方法, 證明了具有任意高正的初始能量的解的爆破性質(zhì). 文獻(xiàn)[12]中研究了有強(qiáng)阻尼的廣義Boussinesq類(lèi)型的柯西問(wèn)題, 通過(guò)定義1個(gè)有時(shí)間權(quán)重范數(shù)的合適的解空間, 且當(dāng)初始數(shù)據(jù)足夠小時(shí), 建立了解的全局存在性和衰減性質(zhì). 并在初始能量合適的條件下, 證明了解的能量在有限時(shí)間爆破.

更多的相關(guān)帶時(shí)滯的方程和結(jié)果見(jiàn)[13-21].

類(lèi)似文獻(xiàn)[17], 引入以下新的變量

z(x,ρ,t)=ut(x,t-ρτ(t)),x∈Ω,ρ∈(0,1),t>0.

因此，問(wèn)題(1)等價(jià)于

(3)

本文結(jié)構(gòu)如下: 第1節(jié), 給出一些假設(shè)條件以及局部解的存在性結(jié)果; 第2節(jié), 給出并證明了主要結(jié)論.

1 預(yù)備知識(shí)

為了證明爆破結(jié)果, 需要進(jìn)行如下的假設(shè).

(A1)h1:R→R非減連續(xù)函數(shù), 存在正常數(shù)c1,c2使得

c1|u|≤|h1(u)|≤c2|u|.

(4)

(A2)h2:R→R非減C1(R)奇函數(shù), 存在正常數(shù)c3,c4,c5使得

(5)

其中H2:R→[0,∞)滿(mǎn)足

(A3)F:R→R的C(R)函數(shù), 存在連續(xù)可微的映射滿(mǎn)足ψ:R→[0,∞)滿(mǎn)足

(6)

且對(duì)于p>q≥2,

(7)

(A4) 對(duì)所有的δ>0, 有

(8)

(9)

(A6) 存在正常數(shù)C1使得

(10)

(A7) 類(lèi)似文獻(xiàn)[21],τ∈W2,∞([0,T]),T>0, 存在正常數(shù)τ0,τ1和d使得0<τ0≤τ(t)≤τ1,τ′(t)≤d<1, ?t>0.

并且耗散和時(shí)滯的系數(shù)滿(mǎn)足

(11)

注由條件(A1)可知uh1(u)>0,u≠0. 由條件(A2)可知H2為偶凸函數(shù)且滿(mǎn)足H2(u)≤uh2(u), 從而c4≤1.

下面定義問(wèn)題(3)對(duì)應(yīng)的能量泛函

(12)

其中

(13)

由(11)式可知k的選取是合理的.

結(jié)合文獻(xiàn)[7]建立初邊值問(wèn)題(3)的解的局部存在性:

(14)

2 主要結(jié)論及其證明

本節(jié)建立問(wèn)題(3)解的能量在有限時(shí)間爆破.

引理 1如果條件(A1)-(A7)和(13)式成立, 則存在正的常數(shù)β1,β2使得

E′(t)≤-β1[h1(ut),ut]-β2[h2(z(1,t),z(1,t))]≤0.

(15)

證明在方程(3)1兩邊同乘以u(píng)t并在Ω上積分, 則有

由E(t)的定義，可得

(16)

類(lèi)似于文獻(xiàn)[21], (16)式右端估計(jì)如下

(17)

(18)

根據(jù)(18)式可得

(19)

事實(shí)上，當(dāng)h2(z(1,t))≤0且ut(t)>0時(shí)

I0=μ2[-h2(z(1,t)),ut(t)]≤

這里用到(18)式和h2為奇函數(shù)以及H2為偶函數(shù). 類(lèi)似的當(dāng)h2(z(1,t))>0,ut(t)≤0或者h(yuǎn)2(z(1,t))ut(t)≥0時(shí), 不等式(19)依然成立.

由(19)和(5)式，得

I0≤|μ2|(1-c4)[h2(z(1,t)),z(1,t)]+|μ2|c5[h1(ut),ut].

(20)

因此，由(16),(17),(20)式，可得

證畢.

下面，引入泛函

(21)

(22)

(23)

則問(wèn)題(3)的解在有限時(shí)間爆破.

證明由引理1，有

E(t)≤E(0)<0.

因此，由(15)式和(21)式，可得H′(t)=-E′(t)≥0. 且

ψ(u)≥H(u)≥H(0)=-E(0)>0.

(24)

再令

(25)

其中ε>0之后給定且

(26)

對(duì)L進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算并帶入(3)可得

(27)

然后, 利用(A4)和(A3)對(duì)(27)式的最后兩項(xiàng)進(jìn)行估計(jì):

(28)

(29)

再根據(jù)

H′(t)=-E′(t)≥β1[h1(ut),ut]+β2[h2(z(1,t)),z(1,t)]≥

β2[h2(z(1,t)),z(1,t)]≥β2qH2(z(1,t)).

(30)

由(29),(30)式有

(31)

因此，由(27),(28),(31)式可得

(32)

又因?yàn)榉e分與變量t無(wú)關(guān), 所以即使δ與t有關(guān), (32)式依然成立. 因此這里可以通過(guò)取δ以使得

(33)

K的值之后具體給定，將(33)帶入(32)式可得

(34)

利用(24)式, 發(fā)現(xiàn)Hα(q-1)(t)≤(ψ(u))α(q-1). 因此, 再根據(jù)(A6), 可得

(35)

因此, 再利用(21)式, 對(duì)0

(36)

(37)

因此, 可得

ε[(1-a)p+Cm|μ2|K1-q]H(t).

(38)

此時(shí), 只需取a>0足夠小以使得

(39)

再選取足夠大的K使得

ap-C|μ2|K1-q(m+1)>0.

(40)

最后, 取ε足夠小使得

(41)

最終可以得到, 對(duì)某些γ>0, 有

(42)

因此, 有

L(t)≥L(0)>0,?t≥0.

(43)

接下來(lái), 利用柯西-施瓦茨不等式以及(A6), 有

(44)

再利用Young不等式有

(45)

(46)

另外, 根據(jù)假設(shè)條件(A1)和(A6), 有

(47)

因此,

(48)

結(jié)合(42)式, 可得

(49)

對(duì)(49)式在(0,t)上進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)單的積分可得

因此,L(t)爆破, 且爆破時(shí)刻T*滿(mǎn)足

定理證畢 .