山地掉層框架結(jié)構(gòu)振型分解法合理振型數(shù)的研究

吳茜玲 李英民 ，2，* 唐洋洋

（1.重慶大學(xué)土木工程學(xué)院，重慶400045；2.重慶大學(xué)山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點實驗室，重慶400045）

0 引 言

對于線性振動體系，振型分解法是目前常用的一種動力分析方法。利用振型分解，將原N自由度體系的運動方程解耦為N個等效的單自由度體系運動方程。從原理可知，考慮所有振型能得到該方法的精確解，但在實際情況中，考慮所有振型對硬件和軟件設(shè)備要求高、耗費時間多，且根據(jù)結(jié)構(gòu)的受力特點，適當(dāng)截斷振型能得到與精確解誤差在工程可接受范圍內(nèi)的結(jié)果，因此在對結(jié)構(gòu)進(jìn)行抗震分析時，適當(dāng)截斷振型是有必要的。

對于基礎(chǔ)等高接地的平地結(jié)構(gòu)，現(xiàn)有規(guī)范［1-2］規(guī)定：計算振型數(shù)應(yīng)使各振型參與質(zhì)量之和不小于總質(zhì)量的90%。而山地掉層結(jié)構(gòu)因地形環(huán)境的影響，基礎(chǔ)修建在不同標(biāo)高的場地上，與平地結(jié)構(gòu)受力特征存在顯著差異。已有研究表明［3-4］，高階振型對掉層結(jié)構(gòu)某些部位有不可忽略的影響，若僅考慮以往精度限值下的振型數(shù)，結(jié)構(gòu)會產(chǎn)生較大的誤差。因此針對掉層結(jié)構(gòu)的特殊性，如何合理截斷振型是一個值得研究的問題。

為此，本文建立一山地掉層結(jié)構(gòu)，通過不同控制方法對結(jié)構(gòu)進(jìn)行振型截斷，分析結(jié)構(gòu)響應(yīng)的差異性，并改變結(jié)構(gòu)的布置形式，探討振型截斷的影響規(guī)律，依此對山地掉層結(jié)構(gòu)振型數(shù)的確定提出建議。

1 振型數(shù)的控制方法

目前常用確定振型數(shù)的方法有Edward L.W.提出的振型質(zhì)量參與系數(shù)法［5］和史鐵花提出的振型位移法［6］。

1.1 基本方程

假定掉層結(jié)構(gòu)總層數(shù)為N，將其質(zhì)量等效至各層樓板位置，各質(zhì)點均有沿水平主軸方向的兩個平動自由度及一個繞豎向的轉(zhuǎn)動自由度，共3N個自由度。對該多自由度線性體系，在基底加速度的作用下，存在運動方程：

假定結(jié)構(gòu)位移

式中：Φ為振型矩陣，且Φ=(φ1，φ2，…，φ3N)是振型向量φj(j=1，2，…，3N)的集合；q(t)為廣義坐標(biāo)函數(shù)向量。

1.2 振型質(zhì)量參與系數(shù)法

假定方程（1）不包含阻尼力和彈性力，

對于x方向上的單位基本加速度，j振型的質(zhì)點慣性力向量為

基底剪力即為各質(zhì)點慣性力之和：

同理可得y向及繞z向轉(zhuǎn)動的基底剪力，故定義振型質(zhì)量參與系數(shù)為參與組合振型的基底剪力之和與結(jié)構(gòu)該方向的總質(zhì)量之比：

振型質(zhì)量參與系數(shù)法本質(zhì)是從宏觀上判斷地震作用，通過計算基底剪力來估量解的精確度［7］。r≥90%是一個經(jīng)驗數(shù)據(jù)，若滿足則可忽略剩余振型的影響。

1.3 振型位移法

文獻(xiàn)［8］表明，結(jié)構(gòu)考慮所有振型時：

同理可得，j振型下y向及繞z向轉(zhuǎn)動的有效特征參數(shù)都為N。則j振型下三方向的累計有效特征參數(shù)絕對值為

故本文定義t為結(jié)構(gòu)在x、y向和繞z軸轉(zhuǎn)動方向的累計有效特征參數(shù)的絕對值與結(jié)構(gòu)總自由度3N的比值：

對應(yīng)Δ= 0.1，即t需滿足t≥90%。

2 不同振型數(shù)對掉層框架結(jié)構(gòu)的影響

2.1 計算模型

為研究采用兩種方法進(jìn)行振型截斷時山地掉層結(jié)構(gòu)的受力差異，建立一個10 層掉層框架結(jié)構(gòu)，其基本情況如圖1：沿順坡向6 跨，沿橫坡向3跨，掉層部分為5 層2 跨。具體參數(shù)為：梁截面尺寸0.25 m×0.6 m，柱截面尺寸0.5 m×0.5 m，板厚0.1 m，層高3 m，柱距6 m×6 m。樓面恒載1 kN/m2，活載2 kN/m2。抗震設(shè)防烈度為7 度0.10g，地震動分組為2組，場地類型為Ⅱ類，特征周期Tg=0.4 s，水平地震影響系數(shù)最大值為0.08，各振型阻尼比均取0.05。

圖1 結(jié)構(gòu)布置圖Fig.1 Structural layout

在Etabs 軟件中，振型組合選擇CQC 法，采用上節(jié)提到的兩種控制方法進(jìn)行振型截斷，并分別對兩種方法取不同控制精度進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析。規(guī)范［1，2］有對結(jié)構(gòu)累計振型質(zhì)量參與系數(shù)大于90%的規(guī)定，此規(guī)定對于掉層結(jié)構(gòu)部分樓層來講，設(shè)計時可能會遺漏一些對結(jié)構(gòu)反應(yīng)貢獻(xiàn)相對較大的振型，導(dǎo)致計算結(jié)果偏不安全，《山地建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)程》（征求意見稿）5.1.2.1 規(guī)定：對于掉層結(jié)構(gòu)，計算振型數(shù)應(yīng)使各振型參與質(zhì)量之和不小于總質(zhì)量的95%；為與振型質(zhì)量參與系數(shù)法對比，振型位移法也取相同精度，即討論4 種情況：①r≥90%；②r≥95%；③t≥90%；④t≥95%。

在各層樓蓋設(shè)置剛性隔板，結(jié)構(gòu)模型即為層剛片模型，每層有沿x、y向平動和繞z軸轉(zhuǎn)動3 個自由度，故認(rèn)為結(jié)構(gòu)總的振型數(shù)為30。經(jīng)計算可知：① 滿足r≥90%的最小振型數(shù)為5；②滿足r≥95%的最小振型數(shù)為9；③滿足t≥90%的最小振型數(shù)為6；④滿足t≥95%的最小振型數(shù)為13。

2.2 結(jié)果分析

以考慮所有振型（即30 個振型）的結(jié)構(gòu)響應(yīng)為精確值，考慮部分振型的結(jié)構(gòu)響應(yīng)為計算值，將因振型截斷引起的誤差定義為

以式（12）得出的誤差值為5%作為衡量標(biāo)準(zhǔn)［9］，分析四種情況下結(jié)構(gòu)的樓層剪力誤差，由圖2 可知：沿順坡向，振型截斷的剪力誤差主要體現(xiàn)在掉層部分中上層和上部結(jié)構(gòu)頂層，且在掉層部分更明顯?？刂凭葹?0%時，掉2 層的剪力誤差超過5%；控制精度增加至95%后，各樓層剪力誤差均小于5%。采用振型質(zhì)量參與系數(shù)法控制時，控制精度自90%增加至95%對掉2 層影響最大，剪力誤差減小了4.2%；上部結(jié)構(gòu)頂層次之減小了2.9%。

圖2 各樓層剪力誤差Fig.2 Shear force error of each floor

坎上第4 層也有1.3%的誤差減小，其他樓層并沒有明顯變化。采用振型位移法控制時，控制精度增加對掉2 層的剪力誤差影響更大，減小了5.8%，其他樓層與采用振型參與系數(shù)法控制無明顯差別。將兩種控制方法對比：在相同精度90%時，二者的剪力誤差無明顯區(qū)別；在95%時，振型位移法在結(jié)構(gòu)掉2 層的剪力誤差比振型質(zhì)量參與系數(shù)法少1.5%，效果更好。

沿橫坡向，剪力誤差的規(guī)律與順坡向相似，振型截斷的剪力誤差主要體現(xiàn)在掉層部分中上層和上部結(jié)構(gòu)頂層，但在上部結(jié)構(gòu)頂層更明顯。控制精度為90%時，上部結(jié)構(gòu)頂層剪力誤差超過5%；控制精度增加至95%后，各樓層剪力誤差均小于5%。采用振型質(zhì)量參與系數(shù)法控制時，控制精度增加對上部結(jié)構(gòu)頂層的影響最大，剪力誤差減小了3.6%；而掉層部分在掉1層體現(xiàn)更明顯，誤差減小了2.1%。采用振型位移法控制時，精度依舊對上部結(jié)構(gòu)頂層影響最大，精度增加時剪力誤差減小了5%；對掉層部分中上層的影響較均勻，精度增加時結(jié)構(gòu)掉1～3 層的剪力誤差都減小了1%左右。將兩種控制方法對比：在相同精度90%時，振型位移法在掉層部分的剪力誤差更小，主要體現(xiàn)在掉 1 層，其次是掉 4 層、5 層；而在 95% 時，振型位移法在結(jié)構(gòu)掉層部分和上部結(jié)構(gòu)頂層的剪力誤差都明顯小于振型質(zhì)量參與系數(shù)法，控制效果更好。

總的來說，振型截斷的剪力誤差主要體現(xiàn)在掉層部分中上層和上部結(jié)構(gòu)頂層，沿順坡向?qū)Φ魧硬糠钟绊懜?，沿橫坡向?qū)ι喜拷Y(jié)構(gòu)頂層影響更大；控制精度增加至95%后，各樓層剪力誤差均小于5%；振型位移法的控制效果比振型質(zhì)量參與系數(shù)法好，并且在橫坡向的體現(xiàn)更加明顯。

在橫坡向，山地結(jié)構(gòu)豎向不規(guī)則的特點使其存在先天的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)［10-11］，在該方向地震作用下，結(jié)構(gòu)各榀框架剪力分布不均勻且存在較大差異，樓層剪力并不能完全衡量內(nèi)力計算結(jié)果的精確度。故沿橫坡向，將結(jié)構(gòu)看作并聯(lián)式模型，對結(jié)構(gòu)各榀框架的剪力進(jìn)行誤差分析，結(jié)果如圖3 所示，圖中框架編號按圖1 所示。因結(jié)構(gòu)掉2～5 層的剪力誤差分布規(guī)律與掉1 層相似，本文不一一畫出。

在掉層部分及坎上1 層的非接地側(cè)，采用振型質(zhì)量參與系數(shù)控制時，控制精度的增加對掉層部分靠近接地側(cè)的框架剪力影響較大；采用振型位移法時，控制精度的增加對此部分的剪力誤差影響有限。

在坎上1 層的接地側(cè)及坎上2～5 層，相同精度下兩種控制方法的剪力誤差趨勢類似，控制精度的增加對接地側(cè)的框架剪力影響較大，且精度增大時各樓層誤差都有明顯減小。但各樓層誤差最大的框架是不同的：在坎上1 層，遠(yuǎn)離非接地側(cè)的邊兩榀框架的剪力誤差最大；在坎上2 層則是一個先增大后減小的趨勢，剪力誤差在中部框架最大；而在坎上3～5層，剪力誤差從靠近非接地側(cè)起逐漸增大，且樓層越高誤差越大。

四種情況下結(jié)構(gòu)層間位移角誤差由圖4 可知：與剪力誤差基本相似，層間位移角誤差也主要體現(xiàn)在掉層部分及上部結(jié)構(gòu)頂層，但各樓層誤差均未超過5%，受振型截斷的影響比剪力小。

3 結(jié)構(gòu)布置對誤差的影響

為進(jìn)一步研究振型數(shù)對山地結(jié)構(gòu)受力的影響，以上節(jié)模型為標(biāo)準(zhǔn)，對比不同結(jié)構(gòu)布置如掉層層數(shù)、掉層跨數(shù)、坎上樓層數(shù)時振型截斷對誤差的影響。共設(shè)計9 個不同模型，模型的命名原則為DXKY-Z（掉X層Y跨-坎上 Z 層）。以r≥90% 和95%、t≥90%和95%進(jìn)行振型截斷，模型信息及振型截斷結(jié)果如表1所示。

圖3 不同樓層各榀框架的剪力誤差Fig.3 Shear force error of each frame on different floor

圖4 層間位移角誤差Fig.4 Interlayer displacement angle error

改變掉層跨數(shù)和坎上樓層數(shù)，兩種控制方法在控制精度從90%增加至95%時，振型數(shù)均有顯著增大；改變掉層層數(shù)，以振型質(zhì)量參與系數(shù)法控制時，控制精度的增加對振型數(shù)影響略大；以振型位移法控制時，若掉層數(shù)較少，控制精度的增加對振型數(shù)的影響并不明顯。

應(yīng)注意到，對于模型D4K2-5，取7階振型時t=96.1%，取8、9 階振型時t=95.7%、t=95.4%，可見t并非隨振型數(shù)增加而單調(diào)增大。因為振型位移法是和的概念，可能會出現(xiàn)大值項補(bǔ)小值項的情況，即存在t是“震蕩”的情形。

經(jīng)計算，層間位移角的誤差規(guī)律與剪力基本相似，故為簡化篇幅，本文只列出結(jié)構(gòu)布置對剪力誤差的影響。

3.1 結(jié)構(gòu)布置對順坡向剪力誤差的影響

沿順坡向，不同結(jié)構(gòu)布置、不同控制方法下各樓層剪力誤差如圖5 所示，由圖可知：控制精度為90%時，模型在掉層部分誤差會超過5%，控制精度增加至95%，各模型各樓層的剪力誤差均小于了5%。

表1 不同控制方法所需振型數(shù)Table 1 Number of modes required for different control methods

（1）對不同掉層層數(shù)模型，控制精度以振型質(zhì)量參與系數(shù)法控制時：在掉層部分，模型掉層數(shù)較少時，控制精度增加對掉層底部的剪力影響很大，模型D3K2-5 在掉2 層的誤差減少量達(dá)到了9%，而模型D2K2-5 達(dá)到了20%；模型掉層數(shù)越多，精度增加相較于對掉層底部，對掉層部分中上層的剪力影響更大，D4K2-5、D5K2-5 在掉 2 層的誤差減少量最大。以振型位移法控制時，控制精度的增加對掉層部分中上層影響較大，并且在掉層數(shù)多時體現(xiàn)更明顯。

（2）對不同掉層跨數(shù)模型，兩種控制方法的變化規(guī)律大致相似，精度增加對掉2 層的剪力影響最大，且精度增加的影響隨掉層跨數(shù)的增加而減小。振型位移法對掉2 層的控制效果要略優(yōu)于振型質(zhì)量參與系數(shù)法，模型D5K2-5在前者的控制下誤差減小5.8%，后者減小4.2%；D5K3-5 前者減小4.2%，后者減小1.6%；兩種控制方法下精度增加對模型D5K4-5都無明顯影響。

（3）對坎上不同層數(shù)模型，兩種控制方法的變化規(guī)律大致相似，精度增加對掉2 層的剪力影響最大，而誤差也隨著坎上層數(shù)的增加呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢，模型D4K2-5 的誤差減小13.7%，D3K2-5及D5K2-5的誤差都只減小4%左右。

圖5 沿順坡向各樓層剪力誤差Fig.5 Shear force error of each floor along the slope

3.2 結(jié)構(gòu)布置對橫坡向剪力誤差的影響

沿橫坡向，不同結(jié)構(gòu)布置、不同控制方法下各樓層剪力誤差如圖6 所示，由圖可知：控制精度為90%時，模型在上部結(jié)構(gòu)頂層的誤差會超過5%，控制精度增加至95%，各模型各樓層的剪力誤差均小于5%。

（1）對不同掉層層數(shù)模型，以振型質(zhì)量參與系數(shù)法控制時，精度增加對上部結(jié)構(gòu)頂層的剪力誤差影響最大，各模型誤差均減小3%左右；對于掉層部分，掉層數(shù)少時，精度增加對掉層底部的剪力影響更大，隨著掉層數(shù)的增加，對掉層部分中上層影響更大。振型位移法的控制效果較差，精度增加對模型D5K2-5 影響較大，對模型D2K2-5、D3K2-5、D4K2-5影響不明顯。

（2）對不同掉層跨數(shù)模型，上部結(jié)構(gòu)頂層是受精度影響最大的樓層；在掉層部分，以振型質(zhì)量參與系數(shù)法控制時，精度增加對掉層跨數(shù)少的模型影響更大，模型D5K2-5各掉層的剪力誤差都有不同程度的減小，而模型D5K3-5 及D5K4-5 僅體現(xiàn)在掉1 層。以振型位移法控制時，精度增加主要影響掉1、2層的剪力，并且跨數(shù)少時影響大。

（3）對坎上不同層數(shù)模型，上部結(jié)構(gòu)頂層是受精度影響最大的樓層，且坎上層數(shù)越多，精度影響越大。在掉層部分，以振型質(zhì)量參與系數(shù)法控制時，精度增加對掉1 層的影響最明顯，模型D5K2-3 的變化最大，減小2.1%；以振型位移法控制時，精度增加對模型D5K2-3 掉1 層影響最大，誤差減小2.1%，而模型D5K2-4掉2層的誤差變化最大，減小1.1%，可見隨著坎上層數(shù)的增加，受精度影響最大的樓層由掉1層變化至掉2層。

圖6 沿橫坡向各樓層剪力誤差Fig.6 Shear force error of each floor along the cross slope

4 結(jié) 論

（1）振型分解法對山地掉層框架結(jié)構(gòu)是適用的，振型質(zhì)量參與系數(shù)法是通過計算基底剪力來估量解的精確度；振型位移法是和的概念，在計算過程中可能會出現(xiàn)大值項補(bǔ)小值項的情形。振型數(shù)的截斷可能會忽略對局部樓層有顯著影響的振型，對結(jié)構(gòu)安全造成影響。對山地掉層框架結(jié)構(gòu)而言，95%的控制精度能將各樓層剪力誤差控制在5%范圍內(nèi)。

（2）振型截斷的剪力誤差主要體現(xiàn)在掉層部分的中上層和上部結(jié)構(gòu)頂層，沿順坡向?qū)Φ魧硬糠钟绊懜?，沿橫坡向?qū)ι喜拷Y(jié)構(gòu)頂層影響更大；在橫坡向，由于結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)，結(jié)構(gòu)各榀框架剪力誤差存在較大差異，掉層部分剪力誤差較大的框架為靠近接地側(cè)的框架，坎上1 層為靠近接地側(cè)的非接地框架，上部結(jié)構(gòu)則為接地側(cè)框架。

（3）沿順坡向，對于不同掉層層數(shù)模型，掉層數(shù)越少，隨精度增加兩種控制方法的差異越明顯；對于不同掉層跨數(shù)模型及坎上層數(shù)模型，兩種控制方法的規(guī)律相似，精度增加對掉層部分中上層的剪力影響最大，且精度的影響隨掉層跨數(shù)的增加而減小，隨坎上層增加數(shù)呈先增大后減小的趨勢。沿橫坡向，上部結(jié)構(gòu)頂層是受精度影響最大的樓層，且兩種控制方法有差異，在掉層層數(shù)不同時體現(xiàn)最明顯。掉層跨數(shù)、坎上層數(shù)越少，精度增加的影響越大。