含有2個(gè)非線性非忠實(shí)不可約特征標(biāo)的有限群的若干性質(zhì)

李亞利,王 雪

(云南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 昆明 650031)

本文考慮的群都是有限群,提到的有限群的特征標(biāo)總是指常特征標(biāo).符號(hào)Irr(G)表示群G的所有不可約特征標(biāo)構(gòu)成的集合, dl(G)表示群G的導(dǎo)長. 其它符號(hào)都是標(biāo)準(zhǔn)的,可以參閱文獻(xiàn)[1].

設(shè)G為有限群, χ∈Irr(G),如果kerχ={g∈G|χ(g)=χ(1)}={1},則稱特征標(biāo)χ是群G的忠實(shí)不可約特征標(biāo).近年來,有限群的非線性非忠實(shí)不可約特征標(biāo)性質(zhì)對群結(jié)構(gòu)的影響是一個(gè)重要的研究課題.文獻(xiàn)[1]中定理12.5刻畫了只含有0個(gè)非線性非忠實(shí)不可約特征標(biāo)的有限群.2011年,Iranmanesh[2]探討了只含有1個(gè)非線性非忠實(shí)不可約特征標(biāo)的有限群的結(jié)構(gòu)和性質(zhì),特別地,文獻(xiàn)[2]中作者給出了只含有1個(gè)非線性非忠實(shí)不可約特征標(biāo)的有限p-群的結(jié)構(gòu).2013年, Saeidi[3]研究了只含有1個(gè)非線性非忠實(shí)不可約特征標(biāo)的可解群的性質(zhì)和結(jié)構(gòu).2019年筆者分類了只含有2個(gè)非線性非忠實(shí)不可約特征標(biāo)的有限p-群,具體的結(jié)論可以參看文獻(xiàn)[4].

本文將討論只含有2個(gè)非線性非忠實(shí)不可約特征標(biāo)的任意有限群的性質(zhì),這些性質(zhì)對后續(xù)考察這類群的結(jié)構(gòu)有著重要的作用.

1 主要結(jié)論及其證明

任意有限群的所有不可約特征標(biāo)核之交等于1,事實(shí)上,在文獻(xiàn)[5]中,作者給出了結(jié)論：任意有限群的所有非線性不可約特征標(biāo)核之交也等于1.下面我們將用不同與文獻(xiàn)[5]中的方法,證明以下2種特殊情況.

引理1設(shè)有限群只含有1個(gè)非線性不可約特征標(biāo)χ,則χ是忠實(shí)特征標(biāo).

于是,我們可以得到

也即 |K|·(|G′-1|)=|G′|-|G′∩K|,從而(|G′-1|)|(|G′|-|G′∩K|).又因?yàn)?/p>

|G′|-1≥(|G′|-|G′∩K|).

故得到|G′∩K|=1,于是G′∩K=1,這就迫使K=1,得到矛盾.矛盾說明只能成立K=1,因此χ是忠實(shí)特征標(biāo).

引理2設(shè)有限群只含有2個(gè)非線性不可約特征標(biāo)χ1,χ2,則Kerχ1∩Kerχ2=1.

|G|-|G/G′|=χ1(1)2+χ2(1)2=|G/L|-|G/L∶(G/L)′| .

化簡上面式子可以得到,|L|·(|G′-1|)=|G′|-|G′∩L|,從而(|G′-1|)|(|G′|-|G′∩L|)，容易知道, |G′|-1≥|G′|-|G′∩L|,故得到|G′∩L|=1,于是G′∩L=1,從而L=1,得到矛盾.矛盾說明只能成立L=1,綜上得征.

設(shè)G是有限群,如果χ∈Irr(G)且G/Kerχ只有唯一的極小正規(guī)子群,則稱χ是群G的單基點(diǎn)特征標(biāo).下面稍偏離主題,給出有限群單基點(diǎn)特征標(biāo)的核之交的1個(gè)結(jié)論.

命題1有限群G的所有單基點(diǎn)特征標(biāo)的核之交是1.

證明記D是群G的所有單基點(diǎn)特征標(biāo)的核之交,以及R是群G的任意1個(gè)極小正規(guī)子群.設(shè)M是G的最大的滿足M∩R=1的正規(guī)子群,則可以斷言RM/M是G/M的唯一極小正規(guī)子群.事實(shí)上,由于R是群G的極小正規(guī)子群,顯然RM/M是G/M的極小正規(guī)子群.假設(shè)K/M是G/M的不等于RM/M的極小正規(guī)子群,則K是群G的極小正規(guī)子群且R∩K=1.注意到M

命題2設(shè)有限群G只含有2個(gè)非線性非忠實(shí)不可約特征標(biāo)χ1,χ2.記Kerχi=Ki,i=1,2.則群G的不含G′的正規(guī)子群只有K1,K2,K1∩K2.

命題3設(shè)G為有限群,則下列結(jié)論成立.

(i)如果群G只含有1個(gè)非線性非忠實(shí)不可約特征標(biāo)χ,則群G的不含G′的非平凡正規(guī)子群只有Kerχ,且Kerχ是G的極小正規(guī)子群.

(ii)如果群G只含有3個(gè)非線性非忠實(shí)不可約特征標(biāo)χ1,χ2,χ3.記Kerχi=Ki,i=1,2,3.則群G的不含G′的非平凡正規(guī)子群屬于集合{K1,K2,K3,K1∩K2,K1∩K3,K2∩K3,K1∩K2∩K3}.

命題3的證明參看文獻(xiàn)[2]和[6].

定理1設(shè)有限群G只含有2個(gè)非線性非忠實(shí)不可約特征標(biāo)χ1,χ2.記Kerχi=Ki,i=1,2.且L=K1∩K2.則下列結(jié)論成立.

(i)若L>1,則Z(G)為循環(huán)群,且K1/L,K2/L為G的主因子.

(ii)若G′∩L≠1,則G′∩L為群G的唯一極小正規(guī)子群.

(iii)若L>1且G′∩L=1,則L和G′為群G的全部極小正規(guī)子群以及G′∩K1=G′∩K2=1.

證明(i)由于L>1和引理2可得,群G必含有除χ1,χ2外的其它非線性不可約特征標(biāo).再結(jié)合群G滿足的已知條件,可以知道這些除χ1,χ2外的非線性不可約特征標(biāo)均是忠實(shí)的,因此Z(G)循環(huán).

設(shè)群G的正規(guī)子群N滿足L≤N≤K1,則G′?N,否則,若G′≤N,則G′≤K1,這與χ1為非線性特征標(biāo)矛盾.由命題2可得N∈{K1,K2,L},故K1/L為群G的主因子.同理K2/L也為群G的主因子.

(ii)設(shè)M為群G的任意非平凡正規(guī)子群.若G′≤M,則G′∩L≤G′≤M;若G′?M,

由命題2可得M∈{K1,K2,L},則G′∩L≤L≤M.總之無論何種情況,均有G′∩L≤M成立,從而群G′∩L為群G的唯一極小正規(guī)子群.

(iii)因?yàn)镚′∩L=1,所以L≤Ζ(G).設(shè)N為L的素?cái)?shù)階子群,則N是G的不含G′的正規(guī)子群,于是由命題2可得N=L.從而L為群G的素?cái)?shù)階極小正規(guī)子群.注意到G′∩L=1,結(jié)合命題2,可得G′和L是群G的全部極小正規(guī)子群.假設(shè)G′∩Ki≠1,i=1,2.由于G′∩Ki為群G的不含G′的正規(guī)子群且G′∩L=1,故由命題2必有G′∩Ki=L.于是L=G′∩Ki=G′∩Ki∩L=(G′∩L)∩Ki=1,i=1,2.這與已知條件L>1矛盾.從而成立G′∩K1=G′∩K2=1.

定理2(i)設(shè)有限群G只含有1個(gè)非線性非忠實(shí)不可約特征標(biāo)χ,則當(dāng)G非可解時(shí), ?r≥2,G(r)=G′.當(dāng)G可解時(shí),G的導(dǎo)長dl(G)≤3.

(ii) 設(shè)有限群G只含有2個(gè)非線性非忠實(shí)不可約特征標(biāo)χ1,χ2,記Kerχi=Ki,i=1,2.且L=K1∩K2.則當(dāng)G非可解時(shí), ?r≥2,G(r)=G′.當(dāng)G可解時(shí),G的導(dǎo)長dl(G)≤4.

證明(i)考慮G的換位子群G″,若G″=G′,則顯然?r≥2,G(r)=G′成立.以下假設(shè)G是可解群,則G″1時(shí),由命題3可得到G″=Kerχ.而此時(shí)Kerχ為群的唯一極小正規(guī)子群,因此G(3)=1,所以dl(G)=3.綜上當(dāng)G可解時(shí),G的導(dǎo)長dl(G)≤3.

(ii)由于G的換位子群G″≤G′,同上當(dāng)G″=G′,則?r≥2,G(r)=G′成立.下面設(shè)G可解.若1