基于小世界算法的機(jī)械手時(shí)間最優(yōu)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃

袁明新， 王麗麗， 謝 豐， 莊彥武， 江亞峰

(1.江蘇科技大學(xué)機(jī)電與動(dòng)力工程學(xué)院， 張家港 215600； 2.江蘇科技大學(xué)冶金與材料工程學(xué)院， 張家港 215600)

當(dāng)前，工業(yè)機(jī)器人得到了快速發(fā)展，而運(yùn)動(dòng)規(guī)劃是機(jī)械手控制的核心和難點(diǎn)?；陉P(guān)節(jié)空間的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃具有計(jì)算量低、無(wú)機(jī)構(gòu)奇異和機(jī)械手冗余優(yōu)點(diǎn)而被廣泛運(yùn)用[1]。孫亮等[2]采用多項(xiàng)式插值方法進(jìn)行關(guān)節(jié)空間的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃，但未對(duì)此做進(jìn)一步的優(yōu)化；Shi等[3]提出了基于B樣條插值的時(shí)間最優(yōu)脈動(dòng)連續(xù)軌跡規(guī)劃算法，但優(yōu)化復(fù)雜程度較高；赫建立等[4]提出基于遺傳算法的多項(xiàng)式插值運(yùn)動(dòng)規(guī)劃，但收斂速度仍有待提升。此外，上述方法都是基于多項(xiàng)式插值，待定參數(shù)較多，計(jì)算較為復(fù)雜。擺線運(yùn)動(dòng)由于提供了優(yōu)異的轉(zhuǎn)位特性[5]，使其在工業(yè)裝置如減速器[6]、凸輪[7]等中得到了廣泛應(yīng)用。滕舉元[8]將擺線方程運(yùn)用到果實(shí)采摘機(jī)械手運(yùn)動(dòng)規(guī)劃中，體現(xiàn)出參數(shù)少、沖擊小的優(yōu)點(diǎn)。因此，現(xiàn)針對(duì)四自由度搬運(yùn)機(jī)械手，結(jié)合末端分離法和擺線方程，以機(jī)械手搬運(yùn)姿態(tài)、電機(jī)額定轉(zhuǎn)速和額定功率為約束，建立基于時(shí)間最優(yōu)的機(jī)械手關(guān)節(jié)空間運(yùn)動(dòng)規(guī)劃模型，同時(shí)提出基于精英集聚效應(yīng)的小世界優(yōu)化算法來(lái)提高模型求解精度。通過(guò)數(shù)值測(cè)試結(jié)果驗(yàn)證文中機(jī)械手規(guī)劃模型的有效性以及強(qiáng)規(guī)劃能力。

1 機(jī)械手的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)學(xué)及搬運(yùn)模型

1.1 機(jī)械手搬運(yùn)姿態(tài)描述

基于搬運(yùn)任務(wù)需要，工業(yè)生產(chǎn)中一些工業(yè)機(jī)器人通常設(shè)計(jì)成如圖1所示的四自由度。

圖1 四自由度搬運(yùn)機(jī)械手模型Fig.1 Model of four-degree-of-freedom handling robot

圖1中L1、L2、L3表示大臂、小臂、末端3根連桿；J1～J4表示4個(gè)自由度所代表的關(guān)節(jié)且分為兩部分，即繞底座平面上垂線軸旋轉(zhuǎn)的關(guān)節(jié)J1和位于同一平面內(nèi)的關(guān)節(jié)J2、J3、J4。當(dāng)J1旋轉(zhuǎn)使得大臂，小臂，末端和物品點(diǎn)位于同一平面時(shí)，記此平面為搬運(yùn)平面。在搬運(yùn)平面內(nèi)以J2為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系oxz，并繪制如圖2所示搬運(yùn)簡(jiǎn)圖。

圖2 搬運(yùn)平面內(nèi)J4邊界與搬運(yùn)圓Fig.2 Boundary and handling circle of the J4 in the handling plane

圖2中將機(jī)械手的末端L3分離出來(lái)，包括機(jī)械手大小臂和末端執(zhí)行器兩部分。點(diǎn)劃線部分是將L3繞物品中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的搬運(yùn)圓。物品位置坐標(biāo)為(x0、z0)；θ1、θ2、θ3分別為L(zhǎng)1、L2、L3與x軸正方向的夾角，其中θ3決定機(jī)械手的搬運(yùn)俯仰。為避免大臂、小臂、底座間發(fā)生硬性接觸，令θ1[0°, 180°]。

設(shè)L1、L2和L3的桿長(zhǎng)分別為l1、l2和l3，建立如式(1)所示搬運(yùn)坐標(biāo)系解析方程。為了保證搬運(yùn)解的非奇異，須使搬運(yùn)處于工作空間內(nèi)，即滿足式(2)。上述條件成立后，可由式(3)得到θ1的極限位置，從而得到θ1的范圍，記為θ1[u0,v0]。再將θ1代入式(1)可解出θ2，記為θ2=σ(θ1),其中σ()表示θ2關(guān)于θ1的函數(shù)。

(x0-l1cosθ1-l2cosθ2)2+(z0-l1sinθ1-

(1)

(2)

(x0-l1cosθ1)2+(z0-l1sinθ1)2=(l2+l3)2

(3)

1.2 擺線運(yùn)動(dòng)模型

物品搬運(yùn)是點(diǎn)到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，只需考慮末端到達(dá)物品處的位姿，其又可通過(guò)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)轉(zhuǎn)為各個(gè)關(guān)節(jié)角，故只需進(jìn)行關(guān)節(jié)空間的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃。擺線軌跡平滑、計(jì)算簡(jiǎn)單，故可作為機(jī)械手無(wú)障礙點(diǎn)到點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃方式。擺線運(yùn)動(dòng)方程及其前兩階導(dǎo)數(shù)的正則化表達(dá)式如式(4)～式(6)所示，曲線如圖3所示。

(4)

s′(τ)=1-cos(2πτ)

(5)

s″(τ)=2πsin(2πτ)

(6)

式中：τ為歸一化時(shí)間。當(dāng)τ=0、υ時(shí)分別表示關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)起始時(shí)間和終止時(shí)間。

圖3 擺線運(yùn)動(dòng)及其前兩階導(dǎo)數(shù)的正則曲線Fig.3 Normal curve of cycloidal motion and its first two derivatives

由圖3可以看出，基于擺線運(yùn)動(dòng)模型下的機(jī)械手關(guān)節(jié)啟動(dòng)和停止都非常的穩(wěn)定，無(wú)抖動(dòng)發(fā)生。若已知第λ個(gè)關(guān)節(jié)的起點(diǎn)qλ(0)和終點(diǎn)qλ(υ)，可以得到其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

qλ(t)=qλ(0)+Δqλs(τ)

(7)

(8)

(9)

1.3 關(guān)節(jié)空間的運(yùn)動(dòng)優(yōu)化模型

由于搬運(yùn)平面內(nèi)只有3個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，為便于公式表述，令Jλ與Lλ-1對(duì)應(yīng)，λ=2、3、4。采用L1、L2、L3完全伸直并與水平面平行時(shí)的極限姿態(tài)下，計(jì)算各關(guān)節(jié)最大負(fù)載矩，如式(10)所示。再結(jié)合電機(jī)功率、轉(zhuǎn)速與扭矩關(guān)系[式(11)]，即可推出式(12)所示的J2、J3、J4三關(guān)節(jié)加速度公式。

(10)

(11)

(12)

式中：mλ-1為連桿Lλ-1的質(zhì)量；Pλ和ωλ分別為關(guān)節(jié)Jλ上的電機(jī)功率和電機(jī)轉(zhuǎn)速；g為重力加速度。

(13)

(14)

s.t.θ1[u0,v0],θ3[-45°, 45°]

(15)

以圖2中坐標(biāo)系逆時(shí)針為正方向，(0,l1)、(0,l1-l2)、(l3cos15°,l1-l2-l3sin15°)為J3、J4和搬運(yùn)手爪的初始坐標(biāo)位置，可以推出q1、q2、q3與θ1、θ2、θ3之間的關(guān)系為：q1=θ1-180、q2=180+θ2-θ1、q3=θ3-θ2-15°。以x={θ1,θ3,ωλ,Pλ}為約束變量，文中將機(jī)械手3關(guān)節(jié)運(yùn)行時(shí)間最短中的長(zhǎng)者f為優(yōu)化目標(biāo)，并建立優(yōu)化模型。

2 基于小世界算法的機(jī)械手運(yùn)動(dòng)規(guī)劃優(yōu)化

2.1 基于精英集聚效應(yīng)的小世界優(yōu)化算法

小世界優(yōu)化算法是借鑒美國(guó)Milgram教授所提出的“六度分離”現(xiàn)象，通過(guò)隨機(jī)長(zhǎng)連接和局部短連接實(shí)現(xiàn)優(yōu)化的算法?；诰⒓坌?yīng)的小世界優(yōu)化算法[9]是在此基礎(chǔ)上，借鑒精英集聚效應(yīng)將分級(jí)節(jié)點(diǎn)吸引策略加入隨機(jī)長(zhǎng)連接中，并根據(jù)節(jié)點(diǎn)優(yōu)化效果進(jìn)行短連接搜索次數(shù)及鄰域大小的調(diào)整。數(shù)值測(cè)試結(jié)果表明，相比起其他優(yōu)化算法，其優(yōu)化能力、收斂速度和穩(wěn)定性有了明顯改善。為了提高機(jī)械手時(shí)間最優(yōu)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃模型的求解精度，引入基于精英集聚效應(yīng)的小世界優(yōu)化算法(EASWA)。

2.2 機(jī)械手運(yùn)動(dòng)規(guī)劃模型的優(yōu)化

步驟1初始化算法參數(shù)：算法節(jié)點(diǎn)集個(gè)數(shù)n、長(zhǎng)連接概率閾值p*、分級(jí)比例η、最大迭代次數(shù)kmax等，k← 0。

步驟2隨機(jī)生成初始節(jié)點(diǎn)集X(0)={x1(0),x2(0), …,xn(0)}。

步驟3算法終止條件判斷。當(dāng)k=kmax則算法終止，并輸出對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)集X(k)。否則k=k+1，并轉(zhuǎn)步驟4。

步驟4依次進(jìn)行分級(jí)長(zhǎng)連接操作Γ和自適應(yīng)短連接操作Ψ。

Γ:x′ii(k)=

(16)

Ψ:x″ii(k)=Floc[x′ii(k)]

(17)

式中：Flon、Floc分別為個(gè)體分級(jí)長(zhǎng)連接算子和個(gè)體自適應(yīng)短連接算子，具體定義見(jiàn)文獻(xiàn)[10]。

步驟5更新節(jié)點(diǎn)信息。i[1,n]，計(jì)算f[x″ii(k)]。如果f[x″ii(k)]

3 算法的仿真測(cè)試與討論

圖4 EASWA優(yōu)化下機(jī)械手的關(guān)節(jié)規(guī)劃運(yùn)動(dòng)曲線Fig.4 Joint planning motion curve of manipulator under EASWA optimization

表1 3種規(guī)劃算法的仿真測(cè)試結(jié)果

由表1可以看出：雖然TGA平均用時(shí)最少，但是規(guī)劃出的運(yùn)動(dòng)時(shí)間平均值以及穩(wěn)定性都是3種算法里最差的。EASWA算法平均耗時(shí)雖略提高，但規(guī)劃出的運(yùn)動(dòng)時(shí)間平均值及總均方差都是3種算法中最小的，且平均降低23.3%和19.7%，體現(xiàn)其強(qiáng)優(yōu)化能力和好的穩(wěn)定性。

圖4為在EASWA優(yōu)化下，機(jī)械手在3只貨物處時(shí)間歸一化的關(guān)節(jié)規(guī)劃運(yùn)動(dòng)曲線。由圖4可以看出：機(jī)械手關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)較為理想，尤其大臂和小臂所對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)角速度基本達(dá)到額定值，說(shuō)明其可以充分利用電機(jī)性能，提高機(jī)械手運(yùn)行效率。圖5為3種優(yōu)化算法搬運(yùn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間的平均進(jìn)化曲線。由圖5可以看出，雖然SSWA優(yōu)化能力強(qiáng)于TGA，但是其初始收斂能力相對(duì)較差，從而在有限的計(jì)算時(shí)間內(nèi)無(wú)法得到較為理想的優(yōu)化結(jié)果。相比之下，EASWA由于采取精英集聚效應(yīng)的長(zhǎng)連接策略，使得初始迭代就表現(xiàn)出很強(qiáng)的收斂能力；而加入自適應(yīng)短連接策略，提高了搜索效率，使得算法依然能在有限時(shí)間內(nèi)獲得較為滿意的優(yōu)化性能，滿足實(shí)時(shí)性要求。這也進(jìn)一步驗(yàn)證了該規(guī)劃模型的有效性。

圖5 3種優(yōu)化算法搬運(yùn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間的平均進(jìn)化曲線Fig.5 Average evolution curve of handling time of three optimization algorithms

4 結(jié)論

針對(duì)機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃問(wèn)題，結(jié)合機(jī)械手末端分離法和擺線方程，建立了時(shí)間最優(yōu)的關(guān)節(jié)空間運(yùn)動(dòng)規(guī)劃模型，并基于精英集聚效應(yīng)的小世界算法實(shí)現(xiàn)了優(yōu)化。通過(guò)數(shù)值測(cè)試及分析可以得出如下結(jié)論：

(1)通過(guò)簡(jiǎn)化機(jī)械手結(jié)構(gòu)和運(yùn)用末端分離法，可以更加方便地確立搬運(yùn)姿態(tài)。

(2)擺線方程具有運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)、參數(shù)少的優(yōu)點(diǎn)，因此建立的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最優(yōu)模型處理較為方便。

機(jī)械手運(yùn)動(dòng)規(guī)劃仿真測(cè)試表明，基于精英集聚效應(yīng)的小世界優(yōu)化算法具有較好的優(yōu)化能力及穩(wěn)定性，從而可以提高機(jī)械手的搬運(yùn)效率。