基于平均法和多尺度法的輸電線舞動(dòng)解析解精度討論

劉小會(huì), 楊曙光, 孫測世, 蔡萌琦

(1.重慶交通大學(xué)省部共建山區(qū)橋梁及隧道工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 重慶 400074； 2.重慶交通大學(xué)土木工程學(xué)院，重慶 400074； 3.成都大學(xué)建筑與土木工程學(xué)院， 成都 610106)

輸電導(dǎo)線覆冰后，橫斷面由圓形變成新月形、D形和扇形等非圓形截面。由于風(fēng)對(duì)覆冰輸電導(dǎo)線施加的豎直向氣動(dòng)力破壞了原有的平衡狀態(tài)，輸電線會(huì)發(fā)生微弱的振動(dòng)。風(fēng)持續(xù)地給系統(tǒng)輸入能量，振動(dòng)幅值也會(huì)逐漸增大，最終輸電導(dǎo)線自身結(jié)構(gòu)阻尼、恢復(fù)力和空氣動(dòng)力之間相互調(diào)節(jié)使得輸電導(dǎo)線產(chǎn)生恒定頻率和恒定振幅的周期運(yùn)動(dòng)，達(dá)到一個(gè)新的穩(wěn)態(tài)平衡形成舞動(dòng)。輸電線舞動(dòng)的3個(gè)主要影響因素：導(dǎo)線的自身結(jié)構(gòu)、導(dǎo)線覆冰情況以及風(fēng)的影響。在緯度較高和海拔較高的寒冷地帶，由于存在霧凇、雪凇以及復(fù)雜的地理環(huán)境，輸電導(dǎo)線在這種條件下極易覆冰且發(fā)生舞動(dòng)[1]。舞動(dòng)會(huì)使輸電導(dǎo)線產(chǎn)生交變的應(yīng)力，降低輸電導(dǎo)線的抗疲勞極限，并且輸電導(dǎo)線在長時(shí)間斷舞動(dòng)的情況下，容易導(dǎo)致斷線事故的發(fā)生；同時(shí)也容易使得絕緣子串、金具和輸電塔產(chǎn)生疲勞損傷甚至破壞。為了使得輸電導(dǎo)線能夠正常和持久地運(yùn)行，對(duì)覆冰輸電導(dǎo)線舞動(dòng)的研究是十分必要的。

此前，Denhartog[2]提出了垂直舞動(dòng)機(jī)理，研究發(fā)現(xiàn)覆冰輸電導(dǎo)線舞動(dòng)橫向的幅值遠(yuǎn)小于豎向幅值，表明舞動(dòng)主要發(fā)生在豎直方向。Rega等[3]分析了面內(nèi)激勵(lì)作用下輸電導(dǎo)線的高階攝動(dòng)解與頻響函數(shù)的多值響應(yīng)曲線，然而只是研究了受迫振動(dòng)并沒有考慮導(dǎo)入空氣動(dòng)力荷載。李欣業(yè)等[4]對(duì)覆冰輸電導(dǎo)線考慮了空氣動(dòng)力并研究了環(huán)境參數(shù)以及結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)覆冰輸電導(dǎo)線零解穩(wěn)定性和振幅的影響，但并未考慮輸電導(dǎo)線結(jié)構(gòu)自身的非線性。郝淑英等[5]研究了平衡點(diǎn)張力和舞動(dòng)幅值的改變導(dǎo)致了固有頻率的漂移，但并未采用精確程度更高的多尺度法。李黎等[6]采用有限元程序ANSYS建立模型，提出了有效的輸電導(dǎo)線舞動(dòng)的簡化分析方法，但并未對(duì)模型進(jìn)行解析解求解分析。黃坤等[7]通過研究非對(duì)稱截面的彎扭兩自由度動(dòng)力學(xué)行為發(fā)現(xiàn)由于非線性的影響導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的振動(dòng)幅值會(huì)隨激勵(lì)幅值和頻率的變化而發(fā)生跳躍，但并沒給出具體的解析解進(jìn)行分析。

綜上所述，以施加有風(fēng)激勵(lì)的非線性覆冰輸電線結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，用平均法和多尺度法求解出解析解，并對(duì)兩種解析解的精確度進(jìn)行討論。

1 計(jì)算和研究模型

圖1 輸電導(dǎo)線平面圖Fig.1 The plane graph of the transmission conductor

對(duì)于平原地區(qū)的覆冰輸電線，大部分檔的導(dǎo)線可近似為等高輸電線，因此選取兩端固支的等高差單擋輸電線為研究對(duì)象。在平原地區(qū)，高壓輸電線處于郊外。風(fēng)主要以層流風(fēng)為主，所以忽略風(fēng)的脈動(dòng)效應(yīng)，僅考慮穩(wěn)定風(fēng)，而且選取最危險(xiǎn)工況認(rèn)為風(fēng)沿水平方向且與導(dǎo)線的軸向垂直，輸電導(dǎo)線平面圖如圖1所示。輸電導(dǎo)線固定支座處于同一水平面，考慮對(duì)該系統(tǒng)施加水平風(fēng)來模擬輸電線受風(fēng)激勵(lì)的響應(yīng)。先擬合空氣動(dòng)力系數(shù)，然后將空氣動(dòng)力荷載施加于該非線性自治系統(tǒng)中，運(yùn)用Galerkin方法將覆冰導(dǎo)線舞動(dòng)的面內(nèi)偏微分振動(dòng)方程化簡為非線性常微分方程。如圖1所示，輸電線在重力作用下的平衡狀態(tài)構(gòu)形為ξ1，輸電導(dǎo)線檔距為l，靜止?fàn)顟B(tài)下輸電導(dǎo)線的垂度為d,輸電導(dǎo)線自重作用下的線形位于oxy平面上且用函數(shù)y來表示，s表示曲線的自然坐標(biāo)。輸電線覆冰后，在風(fēng)的激勵(lì)下，輸電線會(huì)在豎向發(fā)生振動(dòng)，由初始構(gòu)形ξ1經(jīng)過一段時(shí)間后變化為ξ2，令其變化后的x、y方向上的位移坐標(biāo)函數(shù)分別為u(s,t)、v(s,t)。

(1)

Fy=FLcos(α)+FDsin(α)

(2)

式(2)中：α是一個(gè)很小的量，sin(α)≈α，cos(α)≈1，可將式(2)簡化為

Fy=FL+αFD

(3)

根據(jù)流體誘發(fā)振動(dòng)理論，水平風(fēng)會(huì)使輸電導(dǎo)線產(chǎn)生空氣升力FL和空氣阻力FD[10]，其表達(dá)式為

式中：CL為空氣升力系數(shù)；CD為空氣阻力系數(shù)。設(shè)Cy為水平風(fēng)對(duì)覆冰輸電導(dǎo)線豎直向的空氣動(dòng)力系數(shù)，將豎直向的空氣動(dòng)力系數(shù)Cy進(jìn)行數(shù)值擬合后得到[11]：

Cy=A′α+B′α3

(5)

式(5)中：A′、B′分別為空氣動(dòng)力系數(shù)Cy進(jìn)行數(shù)值擬合后的一次項(xiàng)和三次項(xiàng)的動(dòng)力系數(shù)參數(shù)。

圖2 輸電導(dǎo)線橫截面圖Fig.2 The cross section view of a transmission conductor

則風(fēng)對(duì)輸電導(dǎo)線產(chǎn)生的豎向作用力Fy為

(6)

將式(1)和式(5)代入式(6)中得到豎直向作用力的另一種表達(dá)式為

(7)

(8)

式(8)中：ρ、h分別為空氣密度和輸電線的直徑，輸電線屬于大跨度的柔性索結(jié)構(gòu)，針對(duì)這種類型的結(jié)構(gòu)，作如下假設(shè)：

(1)在靜止?fàn)顟B(tài)下，輸電導(dǎo)線外形可以通過拋物線y=4d[x/l-(x/l)2]來描述。

(2)假設(shè)其中ds≈dx，即初始張力的水平分量為導(dǎo)線的張力H。

根據(jù)圖1，導(dǎo)線面內(nèi)豎向的運(yùn)動(dòng)平衡方程[3]為

(9)

v(x,t)=f(x)q(t)

(10)

(11)

式(11)中：

(12)

式(12)中：w對(duì)應(yīng)于輸電導(dǎo)線的頻率；I的值依賴于特征函數(shù)f(x)，定義為

(13)

在式(11)中，由于恢復(fù)力中包括二次項(xiàng)和三次項(xiàng)，系統(tǒng)中空氣動(dòng)力荷載的空氣動(dòng)力系數(shù)也包含了一次項(xiàng)和三次項(xiàng)，通常認(rèn)為阻尼和非線性項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)的影響較小，或針對(duì)限幅振動(dòng)，可以對(duì)阻尼項(xiàng)和非線性項(xiàng)作如下轉(zhuǎn)換:

(14)

(15)

2 平均法求解

平均法能夠一次得到近似解，在工程中常被使用。相比較于Linz Ted-Poincaré法(L-P)、諧波平衡法、Krylov-Bogoliubov-Mitropol’skii法(KBM)、多尺度法和平均法計(jì)算簡單。平均法設(shè)定阻尼項(xiàng)以及非線性項(xiàng)的小量均設(shè)為一階[12]，故非線性常微分方程[式(11)]應(yīng)該寫為

(16)

式(16)表示一個(gè)弱非線性自治系統(tǒng)，假設(shè)ε為足夠小的量，式(16)的左邊為線性派生系統(tǒng)，其自由振動(dòng)解為

令ψ=wt+θ，并且將a和θ考慮為隨時(shí)間變化的函數(shù)，a(t)是振幅函數(shù)，θ(t)是相移函數(shù)。式(17a)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)可表示為

(18)

聯(lián)立式(17b)與式(18)可得到:

(19)

同理，式(17b)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)可得：

(20)

將式(17)、式(20)代入式(16)得到：

εc1a2cos2ψ+εc2a3cos3ψ-

εc4a3w3sin3ψ=0

(21)

結(jié)合式(19)和式(21)解得：

(22)

Q(a,θ)和P(a,θ)表示為

(24)

式(23a)對(duì)時(shí)間進(jìn)行積分，可得幅值函數(shù)為

(25)

采用文獻(xiàn)[11]的方法，將a看作常值，式(23b)對(duì)時(shí)間進(jìn)行積分可得到相移函數(shù)為

(26)

綜合式(17a)、式(25)和式(26)可得到輸電導(dǎo)線豎向振幅表達(dá)式為

(27)

將式(27)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，求得輸電導(dǎo)線豎向速度變化規(guī)律為

(w+ga2)asin(wt+θ)

(28)

(29)

3 多尺度法求解

多尺度法相比較于平均法能對(duì)方程求出更加準(zhǔn)確的近似解。采用多尺度法，引入Tn=εnt(n=0,1,…,3)，得到新的獨(dú)立時(shí)間變量，n表示多尺度法劃分時(shí)間變量的階數(shù)，n取值越大，計(jì)算量和復(fù)雜程度也會(huì)急劇增大[13]，僅考慮多尺度法的三階近似解。除了多尺度階數(shù)大小對(duì)結(jié)果有影響外，無量綱參數(shù)ε的取值也會(huì)影響多尺度最終求得的周期解析解的結(jié)果，小量ε越小對(duì)弱非線性的近似程度越好，取小量ε=0.1。將q展開ε的冪級(jí)數(shù)：

(30)

將式(30)代入式(15)展開得到：

2D0D1q1+w2q2+2c1q0q1+c3(D0q1+

μ(D0q1+D1q0)+c4(D0q0)3]=0

(31)

式(31)中:Dk表示對(duì)Tk時(shí)間尺度求偏導(dǎo)數(shù)，令小量ε的等次冪系數(shù)為0，得到如下線性偏微分方程組：

解式(32a)結(jié)果為

(33)

式(33)中：A可設(shè)為

A(T1,T2,T3)=1/2a(T1,T2,T3)exp[iθ(T1,T2,T3)]

(34)

式(34)中：a和θ分別表示系統(tǒng)的振幅和相位。

將式(33)和式(34)代入到式(32b)，D0q0即為q0對(duì)時(shí)間尺度T0的導(dǎo)數(shù)，那么可以得到[14]：

(35a)

(35b)

將式(33)～式(35)代入(32c)中得到：

將式(33)～式(36)代入式(32d)中得到：

(37)

結(jié)合式(34)～式(37)，可得到系統(tǒng)振幅和頻率的變化率方程為

(38)

將式(38)對(duì)時(shí)間積分得到幅值和頻率表達(dá)式為

結(jié)合式(30)、式(33)和式(34)可得到系統(tǒng)ε0階小量對(duì)應(yīng)的振幅表達(dá)式為

q=acosψ

(40)

式(40)中：ψ=wt+θ，結(jié)合式(30)、式(33)、式(34)和式(35b)可得到系統(tǒng)(ε0,ε1)階小量對(duì)應(yīng)的振幅表達(dá)式為

(41)

結(jié)合式(30)、式(33)、式(34)、式(35b)和式(36b)可得到系統(tǒng)(ε0,ε1,ε2)階小量對(duì)應(yīng)的振幅表達(dá)式為

(42)

如上述內(nèi)容所示，運(yùn)用多尺度對(duì)該弱非線自治方程求解，分別求得幅值、頻率表達(dá)式以及各階小量對(duì)應(yīng)的周期解析解。不僅能對(duì)風(fēng)激勵(lì)下覆冰導(dǎo)線的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行分析，還能分析各參數(shù)對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響以及各參數(shù)之間相互存在的一些關(guān)聯(lián)，給出了不同階近似解析解精度討論。

4 近似解解析精度討論

4.1 數(shù)值解

為了便于分析比較，對(duì)于等高差的單擋輸電線，覆冰的冰形選用新月形覆冰，選用文獻(xiàn)[15]的幾何參數(shù)、材料參數(shù)和相應(yīng)的氣動(dòng)力參數(shù)如表1所示。

表1 輸電導(dǎo)線線路物理參數(shù)

為了考查解析解的精度，使用表1中的結(jié)構(gòu)參數(shù)和環(huán)境參數(shù)，讓水平風(fēng)作用在覆冰輸電導(dǎo)線上，然后采用Runge-Kutta方法求解式(11)，給輸電線施加豎向0.05 m的初始擾動(dòng)后，用數(shù)值方法得到時(shí)程位移和速度圖像以及相位圖[16]。如圖3和圖4所示，覆冰輸電導(dǎo)線在水平風(fēng)的激勵(lì)作用下，輸電導(dǎo)線的幅值和振動(dòng)速度隨著時(shí)間的變化逐漸增大，荷載激勵(lì)時(shí)間達(dá)到1 200 s以后，該系統(tǒng)的振幅和振動(dòng)速度就逐漸趨近于一個(gè)穩(wěn)定的值，數(shù)值解的最大幅值分別為0.234 0 m和-0.252 5 m，可見由于系統(tǒng)的非線性項(xiàng)導(dǎo)致了振動(dòng)中心向下發(fā)生了 0.009 25 m 的漂移；速度也逐漸趨近于一個(gè)常值，最大豎向速度都趨近于±0.68 m/s。從圖3和圖4中可看出覆冰輸電導(dǎo)線幅值和輸電導(dǎo)線速度的變化趨勢基本一致。

圖5為該弱非線性自治系統(tǒng)的相位圖，取輸電線受水平風(fēng)激勵(lì)后1 800～2 000 s的時(shí)段，反映了輸電導(dǎo)線在豎直方向上速度和位移的關(guān)系圖。當(dāng)?shù)竭_(dá)1 200 s后，幅值和速度趨于常值，就形成如圖5的穩(wěn)定極限環(huán)。

圖3 時(shí)程位移圖像-數(shù)值解Fig.3 Time history displacement diagram-numerical solution

圖4 豎向速度圖像-數(shù)值解Fig.4 Vertical velocity diagram-numerical solution

圖5 相位圖-數(shù)值解Fig.5 Phase diagram-numerical solution

4.2 平均法和多尺度法解析解與數(shù)值解的比較

平均法和多尺度法都是求解弱非線性問題常用的方法。對(duì)于平均法，相比于其他攝動(dòng)法而言的優(yōu)點(diǎn)就是能夠快速求得近似解；多尺度法的優(yōu)點(diǎn)就是能夠求解更加精確的近似解，可以根據(jù)計(jì)算精度需要來決定使用幾階小量。小量的階次越高，計(jì)算過程也越復(fù)雜，這也是多尺度法的缺點(diǎn)。那么為了討論這兩種方法對(duì)于求解覆冰輸電線這類弱非線性自治系統(tǒng)的適用性。比較了相同條件下平均法、多尺度法的解析解與數(shù)值解結(jié)果，得到不同方法的計(jì)算結(jié)果精確程度。

數(shù)值法和平均法時(shí)程位移的時(shí)間區(qū)段如圖6所示。從圖6可以看出平均法解析解和數(shù)值解的圖像并不能吻合。造成這種現(xiàn)象的原因是平均法得到的式(26)和多尺度法得到的式(39b)有區(qū)別，多尺度法對(duì)相位描述的更加準(zhǔn)確。當(dāng)振動(dòng)方程中含有高次非線性項(xiàng)時(shí)，使用平均法對(duì)頻率的非線性修正項(xiàng)有錯(cuò)誤，從而也得到不準(zhǔn)確的結(jié)果[16]。

圖7為平均法解析解與數(shù)值法在時(shí)間區(qū)段內(nèi)的相位圖。圖7中坐標(biāo)為(0,0)的點(diǎn)表示平均法結(jié)果的振動(dòng)中心，坐標(biāo)為(-0.009 3,0)的點(diǎn)表示數(shù)值法結(jié)果的振動(dòng)中心。從圖7中看出平均法解析解和數(shù)值解的振動(dòng)中心沒有重合，并且兩者的相位圖也并不能重合。平均法解析解的圖像是關(guān)于坐標(biāo)中心對(duì)稱的，數(shù)值方法的相位圖則不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以結(jié)合圖6和圖7表明平均法的解析解對(duì)比數(shù)值法結(jié)果沒有發(fā)生漂移現(xiàn)象。圖8為式(40)所得結(jié)果，僅考慮多尺度法得到的ε0階對(duì)應(yīng)的解。由圖8可以看出多尺度法ε0階解析解與數(shù)值解的最大正向和負(fù)向幅值不能完全重合，即表現(xiàn)為振動(dòng)中心的偏移，與平均法所求結(jié)果一致。結(jié)合圖6～圖8和上述分析可以得到：平均法和多尺度法(ε0)的解析解對(duì)弱非線性自治系統(tǒng)的振動(dòng)狀態(tài)描述不夠準(zhǔn)確。

圖6 時(shí)程位移圖-平均法解析解與數(shù)值解Fig.6 Time history displacement diagram-average method analytic solution and numerical solution

圖7 相位圖-平均法解析解和數(shù)值解Fig.7 Phase diagram-average method analytical solution and numerical solution

圖9和圖10分別為式(41)和式(42)解析解與數(shù)值解對(duì)比所得到的結(jié)果，其中圖9為多尺度法(ε0，ε1)一階解析解對(duì)應(yīng)的相位圖，圖10為多尺度法(ε0，ε1，ε2)二階解析解對(duì)應(yīng)的時(shí)程位移圖像。從兩幅圖中可以看出多尺度法(ε0，ε1)和多尺度法(ε0，ε1，ε2)的解析解與數(shù)值解圖像十分吻合，并且幅值接近，振動(dòng)中心也發(fā)生了漂移現(xiàn)象。圖11是多尺度法(ε0，ε1)和多尺度法(ε0，ε1，ε2)解析解對(duì)弱非線性系統(tǒng)的振動(dòng)狀態(tài)的描述，從圖11中可以看出，在此種工況下，多尺度法(ε0，ε1)和多尺度法(ε0，ε1，ε2)解析解均能十分準(zhǔn)確地描述系統(tǒng)的相位和幅值。

圖8 時(shí)程位移圖像-多尺度法(ε0)解析解Fig.8 Time-history displacement diagram-multiscale method (ε0) analytic solution

圖9 相位圖-多尺度法(ε0、ε1)解析解和數(shù)值解Fig.9 Phase diagram-multiscale method (ε0，ε1) analytic solution and numerical solution

圖10 時(shí)程位移圖像-多尺度法(ε0，ε1，ε2)解析解和數(shù)值解Fig.10 Time-history displacement diagram-multiscale method (ε0，ε1，ε2) analytic solution and numerical solution

圖11 時(shí)程位移圖像-多尺度法(ε0，ε1)(ε0，ε1，ε2)解析解和數(shù)值解Fig.11 Time-history displacement diagram-multiscale method (ε0，ε1)(ε0，ε1，ε2) analytical solutions and numerical solution

為了進(jìn)一步分析平均法、多尺度法的精度，將舞動(dòng)的幅值與數(shù)值解進(jìn)行差異性分析，如表2所示。

表2 解析解-數(shù)值解

表2中數(shù)據(jù)進(jìn)一步證明了運(yùn)用平均法和多尺度(ε0)求解該弱非線性自治系統(tǒng)的周期解與數(shù)值法有一定的差異，采用二階(ε0，ε1，ε2)多尺度法對(duì)應(yīng)的解析解能對(duì)弱非線性系統(tǒng)進(jìn)行更為準(zhǔn)確的描述。

4.3 風(fēng)速對(duì)振幅的影響

覆冰輸電導(dǎo)線舞動(dòng)受導(dǎo)線的自身結(jié)構(gòu)、導(dǎo)線覆冰情況以及風(fēng)的影響。一般情況下，輸電線發(fā)生舞動(dòng)后幅值和振動(dòng)速度隨著風(fēng)速的提高而增大。而弱非線性系統(tǒng)以自身的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)作為調(diào)節(jié)器[17]，因此風(fēng)速對(duì)輸電線舞動(dòng)有比較大的影響。為了能確定風(fēng)速的增大會(huì)不會(huì)對(duì)多尺度法周期解析解的準(zhǔn)確性有影響，以下研究不同風(fēng)速對(duì)多尺度法和平均法解析解精度的影響。

圖12為風(fēng)速10 m/s時(shí)舞動(dòng)位移時(shí)程曲線，輸電導(dǎo)線振幅隨著時(shí)間增長較為緩慢，到達(dá)700 s時(shí)振幅才逐漸穩(wěn)定；并且當(dāng)輸電導(dǎo)線發(fā)生舞動(dòng)時(shí)，輸電導(dǎo)線幅值為0.596 0 m和 -0.726 0 m。圖13為風(fēng)速16 m/s時(shí)的圖像，輸電導(dǎo)線發(fā)生舞動(dòng)時(shí)間縮減至450 s;舞動(dòng)幅值也增大到0.918 0 m和-1.258 8 m。上述分析可以得出風(fēng)速的增大會(huì)使得覆冰輸電線發(fā)生舞動(dòng)所需要的時(shí)間減少，并且舞動(dòng)幅值和速度也會(huì)增大。

圖12 風(fēng)速為10 m/s的時(shí)程位移圖像Fig.12 Time history displacement diagram with wind speed is 10 m/s

圖13 風(fēng)速為16 m/s的時(shí)程位移圖像Fig.13 Time history displacement diagram with wind speed of 16 m/s

為了弄清楚幅值變化對(duì)漂移量的影響，采用數(shù)值方法，取4～20 m/s的風(fēng)速得到振幅和漂移量隨風(fēng)速變化的具體情況，結(jié)果如表3所示。表3中主要包括豎直向的最大正向位移和最大負(fù)向位移，以及振動(dòng)中心的漂移量。可以看出，隨著風(fēng)速的增加，不僅舞動(dòng)幅值會(huì)逐漸增加，振動(dòng)中心的漂移量也會(huì)隨著增加。舞動(dòng)幅值從風(fēng)速為4 m/s的 0.243 3 m 到風(fēng)速為20 m/s的1.384 3 m。振動(dòng)中心漂移量也從風(fēng)速4 m/s的0.009 3 m到風(fēng)速 20 m/s 的0.264 8 m。表3可以明顯看出，振幅增長和風(fēng)速是正相關(guān)的。風(fēng)速的增大也使得輸電導(dǎo)線舞動(dòng)的振動(dòng)中心漂移量增加。舞動(dòng)振幅是不會(huì)一直增長的，當(dāng)輸電導(dǎo)線振幅達(dá)到限值時(shí)，可能會(huì)發(fā)生金具損壞或斷線等危害。

表3 數(shù)值解

隨著風(fēng)速的改變，為了檢驗(yàn)平均法和多尺度法解析解之間的誤差是否有變化，將平均法和多尺度法對(duì)應(yīng)的零階、一階、二階解析解分別和數(shù)值解作對(duì)比分析，得到的誤差如表4所示。從表4中可清楚地看出，隨著風(fēng)速的增大，各方法的誤差也隨著增大，其中平均法和多尺度零階的誤差變得更大(從4 m/s的3.8%到20 m/s的19.2%)。而多尺度法二階對(duì)應(yīng)的解析解在風(fēng)速達(dá)到20 m/s時(shí)，誤差僅為3.3%。因此，相較于平均法和多尺度法零階小量對(duì)應(yīng)的周期解析解，多尺度一階(ε0，ε1)解析解以及多尺度二階(ε0，ε1，ε2)解析解適用于描述輸電導(dǎo)線舞動(dòng)過程，并且后者的描述更加準(zhǔn)確。

表4 風(fēng)速變化對(duì)解析解誤差的影響

5 結(jié)論

運(yùn)用平均法和多尺度法求解出該弱非線性舞動(dòng)方程的振幅和相位解析解，然后用數(shù)值方法求得數(shù)值解，將解析解和數(shù)值解進(jìn)行比較得到如下結(jié)果。

(1)將平均法和多尺度ε0階解析解與數(shù)值解進(jìn)行比較，得出平均法和多尺度法ε0階解析解精度很接近，但是平均法不能準(zhǔn)確描述相位的變化情況，而多尺度法ε0階解析解對(duì)相位的描述有較高的精度。

(2)由于非線性項(xiàng)的存在，覆冰輸電線舞動(dòng)的振動(dòng)中心會(huì)發(fā)生漂移，并且隨著風(fēng)速的增大振動(dòng)中心漂移量也逐漸增加。

(3)隨著風(fēng)速的增加，非線性逐漸加強(qiáng)，運(yùn)用平均法和多尺度法ε0階解析解結(jié)果的誤差顯著增加，誤差最大達(dá)到19.2%，因此不適于描述非線性舞動(dòng)過程，多尺度一階(ε0，ε1)解析解以及多尺度二階(ε0，ε1，ε2)解析解誤差逐漸增大，但是誤差最大僅為4.2%，仍可以較為準(zhǔn)確描述舞動(dòng)幅值。