基于改進(jìn)觀(guān)測(cè)方程的非線(xiàn)性恢復(fù)力免模型識(shí)別方法

齊夢(mèng)晨，張肖雄，賀佳

基于改進(jìn)觀(guān)測(cè)方程的非線(xiàn)性恢復(fù)力免模型識(shí)別方法

齊夢(mèng)晨，張肖雄，賀佳

(湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院 風(fēng)工程與橋梁工程湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410082)

現(xiàn)有的非線(xiàn)性恢復(fù)力參數(shù)化識(shí)別方法需已知非線(xiàn)性模型，并明確模型中參數(shù)的物理意義，而非參數(shù)化方法(如基于各類(lèi)多項(xiàng)式的識(shí)別方法)往往難以準(zhǔn)確識(shí)別突變處的恢復(fù)力。為進(jìn)一步改進(jìn)方法，提出一種非線(xiàn)性恢復(fù)力免模型識(shí)別法。該方法利用改進(jìn)的觀(guān)測(cè)方程，將非線(xiàn)性恢復(fù)力視作虛擬外激勵(lì)，無(wú)需對(duì)非線(xiàn)性恢復(fù)力做參數(shù)化或非參數(shù)化模型假設(shè)，利用最小二乘和擴(kuò)展卡爾曼濾波原理，同步識(shí)別結(jié)構(gòu)參數(shù)和非線(xiàn)性恢復(fù)力，并且通過(guò)多次整體迭代保證識(shí)別結(jié)果穩(wěn)定收斂。以含有Bingham模型和分段線(xiàn)性系統(tǒng)的5層框架數(shù)值模型為例，驗(yàn)證了該方法的有效性，并將其識(shí)別結(jié)果與基于切比雪夫多項(xiàng)式模型的非參數(shù)化識(shí)別方法進(jìn)行對(duì)比，體現(xiàn)了該方法在識(shí)別恢復(fù)力非平滑處的優(yōu)越性。

非線(xiàn)性恢復(fù)力；全局迭代；擴(kuò)展卡爾曼濾波；虛擬外激勵(lì)；免模型識(shí)別；

土木結(jié)構(gòu)受某些因素影響，例如強(qiáng)動(dòng)力荷載、疲勞累積、環(huán)境腐蝕等，易產(chǎn)生不同程度的損傷，從而影響結(jié)構(gòu)安全、縮短使用壽命，甚至產(chǎn)生破壞，給人民生命財(cái)產(chǎn)造成損失。因此，有效識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷、評(píng)估結(jié)構(gòu)健康狀況顯得十分重要?；诮Y(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)信息，識(shí)別結(jié)構(gòu)參數(shù)變化，進(jìn)而判斷結(jié)構(gòu)損傷程度是目前損傷識(shí)別常用方法之一[1-2]。然而，在動(dòng)力荷載作用下，結(jié)構(gòu)損傷的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程往往具有非線(xiàn)性特征，基于結(jié)構(gòu)模態(tài)信息或特征值提取的損傷識(shí)別方法將不再適用，因此，發(fā)展適合非線(xiàn)性系統(tǒng)的損傷識(shí)別方法具有重要意義。非線(xiàn)性恢復(fù)力(Nonlinear Restoring Force, NRF)往往與結(jié)構(gòu)速度或位移有關(guān)，不僅可以表征結(jié)構(gòu)非線(xiàn)性發(fā)生發(fā)展的過(guò)程，還可以定量評(píng)估結(jié)構(gòu)在振動(dòng)過(guò)程中耗能特性，因此，研究結(jié)構(gòu)非線(xiàn)性恢復(fù)力識(shí)別方法對(duì)非線(xiàn)性結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。目前，非線(xiàn)性恢復(fù)力的識(shí)別方法基本可分為參數(shù)化識(shí)別和非參數(shù)化識(shí)別。參數(shù)化識(shí)別方法以非線(xiàn)性恢復(fù)力模型為基礎(chǔ)，并往往要求模型參數(shù)具有物理意義。非線(xiàn)性模型眾多，因此，針對(duì)不同的對(duì)象、不同的研究目標(biāo)，有不同的參數(shù)化識(shí)別方法。由于篇幅限制和研究相關(guān)性，本文僅給出了近年來(lái)發(fā)展的基于擴(kuò)展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter, EKF)的一些非線(xiàn)性參數(shù)化識(shí)別方法?；贓KF算法，LEI等[3]提出了部分觀(guān)測(cè)信息下的非線(xiàn)性參數(shù)識(shí)別方法，并通過(guò)Bouc-Wen模型數(shù)值算例驗(yàn)證了方法的有效性。利用直接微分方法，Ebrahimian 等[4]提出了基于EKF的非線(xiàn)性模型修正方法。通過(guò)依次采用EKF和無(wú)跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter, UKF)，LIU等[5]提出了非線(xiàn)性系統(tǒng)參數(shù)的分步識(shí)別方法。針對(duì)非線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)，XIAO等[6]提出了基于EKF的自適應(yīng)識(shí)別法。為考慮模型非確定性，Astroza等[7-8]提出了基于自適應(yīng)非線(xiàn)性模型修正方法，并與基于卡爾曼濾波(Kalman Filter, KF)的模型修正方法進(jìn)行了比較。以上各種基于EKF的非線(xiàn)性識(shí)別方法，在有效識(shí)別了非線(xiàn)性參數(shù)后，均能計(jì)算得到結(jié)構(gòu)的非線(xiàn)性恢復(fù)力。然而，一旦非線(xiàn)性模型不確定，以上方法就不再適用，因此，不少學(xué)者開(kāi)展了非參數(shù)化識(shí)別方法的研究。類(lèi)似的，這里僅給出了基于EKF的一些非參數(shù)化識(shí)別方法。XU等[9-10]提出了基于雙重切比雪夫多項(xiàng)式的非線(xiàn)性恢復(fù)力識(shí)別方法，并通過(guò)安裝有形狀記憶合金阻尼器的鋼框架模型實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了方法的可行性。LIU等[11]將非線(xiàn)性系統(tǒng)等效線(xiàn)性化后，采用EKF對(duì)非線(xiàn)性進(jìn)行定位，進(jìn)而基于UKF識(shí)別該用冪級(jí)數(shù)多項(xiàng)式描述的非線(xiàn)性恢復(fù)力。利用冪級(jí)數(shù)多項(xiàng)式表征NRF，LEI等[12-13]提出了基于等價(jià)線(xiàn)性理論和EKF的非線(xiàn)性識(shí)別方法。ZHANG等[14]將非線(xiàn)性恢復(fù)力線(xiàn)性化，根據(jù)響應(yīng)重構(gòu)識(shí)別弱非線(xiàn)性框架的剛度和阻尼。SU等[15]提出兩步非線(xiàn)性恢復(fù)力識(shí)別法，在結(jié)構(gòu)非線(xiàn)性行為較弱時(shí)，將非線(xiàn)性系統(tǒng)等效成線(xiàn)性系統(tǒng)，基于EKF原理識(shí)別結(jié)構(gòu)參數(shù)后，再將非線(xiàn)性恢復(fù)力視作“未知外激勵(lì)”采用KF-UI(Kalman Filter with unknown input)算法進(jìn)行識(shí)別。利用線(xiàn)性結(jié)構(gòu)參數(shù)，李靖等[16]提出了基于等價(jià)線(xiàn)性原理和UKF的NRF免參數(shù)識(shí)別方法。同樣利用線(xiàn)性結(jié)構(gòu)參數(shù)，雷鷹等[17]借助EKF和最小二乘(Least Squares Estimation, LSE)對(duì)結(jié)構(gòu)橡膠支座非線(xiàn)性部分免參數(shù)識(shí)別。許斌等[18-19]還提出基于切比雪夫多項(xiàng)式和冪級(jí)多項(xiàng)式的EKF免參數(shù)識(shí)別方法。以上基于各類(lèi)多項(xiàng)式的非參數(shù)識(shí)別方法均能有效識(shí)別結(jié)構(gòu)的非線(xiàn)性特征，然而，在某種程度上，這些方法仍依賴(lài)于選取的非參數(shù)化模型的合理性和有效性，同時(shí)，由于多項(xiàng)式模型的本身的特性，在非線(xiàn)性恢復(fù)力非平滑處往往難以實(shí)現(xiàn)可靠識(shí)別。本文提出一種基于改進(jìn)觀(guān)測(cè)方程的非線(xiàn)性恢復(fù)力免模型識(shí)別方法，該方法將非線(xiàn)性恢復(fù)力視為“虛擬外激勵(lì)”，利用投影矩陣，獲得了一種不顯式包含該“虛擬外激勵(lì)”的觀(guān)測(cè)方程，基于LSE和EKF原理，實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)狀態(tài)的遞推估計(jì)和非線(xiàn)性恢復(fù)力的同步識(shí)別。此外，為確保識(shí)別結(jié)果穩(wěn)定收斂，該方法在一次迭代過(guò)程結(jié)束時(shí)，將遞推估計(jì)的結(jié)構(gòu)參數(shù)最終識(shí)別值作為下一個(gè)迭代的初始值，重復(fù)上述過(guò)程，直至滿(mǎn)足收斂條件。

1 理論推導(dǎo)

一般的，非線(xiàn)性結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)平衡方程可寫(xiě)成：

將非線(xiàn)性恢復(fù)力視作“虛擬外激勵(lì)”，則式(1)可寫(xiě)成，

其中

文中假設(shè)觀(guān)測(cè)了部分加速度響應(yīng)，則離散化的觀(guān)測(cè)方程為：

式中：為第步的加速度響應(yīng)觀(guān)測(cè)值；為位置觀(guān)測(cè)矩陣；為均值為0；協(xié)方差為的觀(guān)測(cè)噪聲。

式(7)和式(8)之間的估計(jì)誤差可寫(xiě)成：

其中

圖1 基于EKF的非線(xiàn)性恢復(fù)力免模型識(shí)別流程圖

圖2 基于EKF的全局迭代流程圖

2 數(shù)值算例

為了驗(yàn)證算法的有效性，對(duì)圖3所示的含有非線(xiàn)性構(gòu)件的5層框架結(jié)構(gòu)在2種工況下的非線(xiàn)性恢復(fù)力進(jìn)行了免模型識(shí)別。結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)為m=500 kg，k=1.5×105N/m。這里，考慮底層分別存在2種不同的非線(xiàn)性模型，即Bingham模型和分段線(xiàn)性模型。此外，為考察外激勵(lì)位置和形式對(duì)識(shí)別結(jié)果的影響，分別考慮了2種荷載工況，即作用于結(jié)構(gòu)第2層的隨機(jī)激勵(lì)和作用于基底的地震荷載。

圖3 數(shù)值模型

2.1 工況1：Bingham模型

在工況1中，假設(shè)隨機(jī)外激勵(lì)作用于結(jié)構(gòu)第2層，非線(xiàn)性構(gòu)件的力學(xué)行為由Bingham模型描述，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

其中：為層間速度，均為Bingham模型參數(shù)，這里取，，=0 N。外激勵(lì)作用時(shí)間為3 s，如圖4所示。

此工況中，結(jié)構(gòu)阻尼采用瑞利阻尼模型，阻尼系數(shù)取值=0.220 3；=0.003 1。結(jié)構(gòu)響應(yīng)由龍格庫(kù)塔法計(jì)算得出，計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)為0.001 s。由于實(shí)際情況中，實(shí)測(cè)信號(hào)不可避免地存在噪聲，故在觀(guān)測(cè)信號(hào)中引入5%的噪聲。取結(jié)構(gòu)第1，2，3和5層的加速度響應(yīng)作為觀(guān)測(cè)量，假設(shè)結(jié)構(gòu)參數(shù)初始值為真實(shí)值的50%。并且假定當(dāng)<0.00 5時(shí)，迭代過(guò)程結(jié)束。

計(jì)算過(guò)程在迭代4次后結(jié)束，結(jié)構(gòu)參數(shù)最終識(shí)別結(jié)果及相對(duì)誤差如表1所示?？梢钥闯觯畲笳`差只有-1.04%，識(shí)別結(jié)果相對(duì)準(zhǔn)確。圖5進(jìn)一步給出了第1次迭代和最后一次迭代的參數(shù)識(shí)別結(jié)果，受篇幅限制，這里僅給出了第一層的剛度1以及阻尼系數(shù)的識(shí)別結(jié)果。由圖中不難看出，在第1次迭代中，雖然剛度識(shí)別結(jié)果較好，但是阻尼系數(shù)并未穩(wěn)定收斂；在最后一次迭代中，剛度和阻尼系數(shù)在整個(gè)遞推過(guò)程中均穩(wěn)定收斂于真實(shí)值附近。圖6為識(shí)別的NRF，可以看出識(shí)別值與真實(shí)值吻合 較好。

表1 結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別結(jié)果

2.2 工況2：分段線(xiàn)性模型

工況2假設(shè)以峰值加速度為3.4的El Centro地震波作用于該結(jié)構(gòu)，底層的非線(xiàn)性模型采用分段線(xiàn)性模型，如圖7所示，其表達(dá)式如下：

(a)1(第1次迭代)；(b)1(第4次迭代)；(c)(第1次迭代)；(d)(第4次迭代)

圖5 參數(shù)識(shí)別結(jié)果

Fig. 5 Identified structural parameters

(a) 時(shí)程曲線(xiàn)；(b) 滯回曲線(xiàn)

為考察阻尼的影響，該工況中結(jié)構(gòu)采用黏滯阻尼模型，取值為c=350 (N?s)/m，(=1,2,…,5)。結(jié)構(gòu)非線(xiàn)性時(shí)程響應(yīng)同樣由龍格庫(kù)塔法求得，計(jì)算步長(zhǎng)設(shè)為0.001 s。假設(shè)結(jié)構(gòu)第1，2，3和5層的加速度響應(yīng)為觀(guān)測(cè)量，考慮5%的噪聲影響。結(jié)構(gòu)參數(shù)初始值取為結(jié)構(gòu)參數(shù)真實(shí)值的30%，同樣假定當(dāng)<0.005時(shí)，迭代過(guò)程結(jié)束。

識(shí)別過(guò)程在迭代3次后結(jié)束，最終識(shí)別結(jié)果及相對(duì)誤差如表2所示，從表2中不難看出，最大識(shí)別誤差為-2.62%，識(shí)別結(jié)果可靠。為進(jìn)一步了解計(jì)算過(guò)程中參數(shù)收斂情況，圖8給出了第1次和最后一次迭代過(guò)程中的結(jié)構(gòu)剛度和阻尼系數(shù)的識(shí)別情況，由于篇幅限制，僅給出了第4層(未觀(guān)測(cè)加速度層)的結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別過(guò)程。從圖8中同樣可以看出，在第1次迭代過(guò)程中，雖然結(jié)構(gòu)剛度參數(shù)收斂得較好，但是阻尼系數(shù)不能穩(wěn)定收斂；在最后一次迭代中，剛度和阻尼參數(shù)均穩(wěn)定收斂于真實(shí)值。

圖7 分段線(xiàn)性模型

表2 結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別結(jié)果

(a) k4(第1次迭代)；(b) k4(第3次迭代)；(c) c4(第1次迭代)；(d) c4(第3次迭代)

為了表明算法在識(shí)別恢復(fù)力非平滑點(diǎn)處的優(yōu)越性，這里也采用基于高階切比雪夫多項(xiàng)式(待識(shí)別系數(shù)高達(dá)25個(gè))的非參數(shù)化方法識(shí)別了結(jié)構(gòu)的NRF。圖9(a)比較了2種方法的識(shí)別結(jié)果，從圖中可以看出，本文方法的NRF識(shí)別值與真實(shí)值吻合更好，尤其在剛度突變處。為便于比較，圖9(b)給出了2種結(jié)果識(shí)別誤差的時(shí)程曲線(xiàn)，從圖中不難看出，本文提出的方法的識(shí)別誤差普遍低于基于切比雪夫多項(xiàng)式的非參數(shù)化方法的識(shí)別誤差。為進(jìn)一步對(duì)比分析，以層間位移為橫坐標(biāo)，圖9(c)給出了2種方法的誤差對(duì)比，圖9中點(diǎn)畫(huà)線(xiàn)表示臨界相對(duì)位移，即剛度突變處，從圖9(c)可以看出，在剛度突變點(diǎn)處本文方法的識(shí)別誤差明顯小于基于切比雪夫多項(xiàng)式識(shí)別的誤差。

(a) 識(shí)別值與真實(shí)值比較；(b) 誤差比較(時(shí)間為橫坐標(biāo))；(c) 誤差比較(相對(duì)位移為橫坐標(biāo))

3 結(jié)論

1) 提出一種基于改進(jìn)觀(guān)測(cè)方程的非線(xiàn)性恢復(fù)力免模型識(shí)別方法，該方法將NRF視作虛擬外激勵(lì)，因而，無(wú)需提前對(duì)其做參數(shù)化或非參數(shù)模型 假設(shè)。

2) 利用投影矩陣，獲得了改進(jìn)的觀(guān)測(cè)方程，并基于LSE和EKF原理，同步識(shí)別了結(jié)構(gòu)相關(guān)參數(shù)和對(duì)應(yīng)的NRF的時(shí)程信息，并通過(guò)經(jīng)過(guò)多次整體迭代，有效保證了識(shí)別結(jié)果穩(wěn)定收斂。

3) 文中通過(guò)一個(gè)安裝有Bingham模型和分段線(xiàn)性模型的5層框架數(shù)值模型驗(yàn)證了該方法的可行性，并與基于高階切比雪夫多項(xiàng)式的NRF識(shí)別方法進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)本文提出的方法能更有效地識(shí)別剛度突變處的恢復(fù)力大小。

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Identification of nonlinear restoring force in a model-free manner based on revised observation equation

QI Mengchen, ZHANG Xiaoxiong, HE Jia

(Key Laboratory of Wind and Bridge Engineering of Hunan Province, College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China)

The existing parametric approaches for the identification of nonlinear restoring force (NRF) basically require their deterministic NRF models and have to clarify the physical meaning of each parameter. For many nonparametric techniques, their nonparametric models or approximations may result in undesirable results or oscillations around unsmooth points. Therefore, based on the revised observation equation, a model-free NRF identification approach was proposed in this study. The NRF to be identified was treated as “unknown fictitious input”, and thus the prior knowledge of the expression of NRF was not required. The revised observation equation, where the unknown NRF was implicitly involved, was employed. Based on the principle of least squares estimation (LSE) and extended Kalman filter (EKF), the formulas of the proposed approach for the identification of NRF were then derived. The structural parameters and the NRF could be simultaneously identified. A global iteration procedure was employed to assure the convergence of the identification results. The effectiveness of the proposed approach is numerically verified via a five-story building equipped with Bingham model and piecewise linear model. As compared with the nonparametric identification method using Chebyshev polynomial model, the superiority of the proposed method in identifying the non-smoothness of NRF is demonstrated.

nonlinear restoring force; global iteration; extended Kalman filter; unknown fictitious input; model-free identification

TU3

A

1672 - 7029(2020)11 - 2729 - 09

10.19713/j.cnki.43-1423/u.T20200068

2020-01-20

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51708198)；湖南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2018JJ3054)

賀佳(1983-)，男，湖南長(zhǎng)沙人，副教授，博士，從事結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)及系統(tǒng)識(shí)別研究；E-mail：jiahe@hnu.edu.cn

(編輯 蔣學(xué)東)