基于Logistic 混沌置亂的圖像加密算法

劉為超 劉義沛

（1、洛陽師范學(xué)院信息技術(shù)學(xué)院，河南 洛陽471000 2、重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院2018 級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，重慶400000）

1 概述

數(shù)字圖像媒體的特點(diǎn)：數(shù)據(jù)量大、數(shù)據(jù)冗余性強(qiáng)、相鄰像素點(diǎn)相關(guān)性。圖像加密算法分為一時(shí)空域的加密算法；二頻域的加密算法。文獻(xiàn)[1]進(jìn)行改進(jìn)提出二維像素字節(jié)位循環(huán)移位，國際同行稱為TDCEA 算法，他們都是針對將原圖像分割成8×8像素塊內(nèi)進(jìn)行操作。文獻(xiàn)[1-3，24]也是基于bit 位置亂研究的，文獻(xiàn)[3]將M N 的原圖像當(dāng)作字節(jié)位級的M（8N）圖像來操作，利用混沌置亂先進(jìn)行行操作再列操作。根據(jù)目前圖像加密分析算法的研究成果，以上大多數(shù)屬于原圖矩陣和密圖矩陣間的雙單射加密算法，其致命缺陷便是，對密碼分析方法中的差分攻擊抵抗性能非常脆弱。

2 算法研究基礎(chǔ)

提出了一種基于字節(jié)位置亂的改進(jìn)算法，借鑒了結(jié)合明文或者密文產(chǎn)生密鑰的自適應(yīng)加密思想。選擇一個(gè)bit 位平面做為模板，生成參數(shù)做為密鑰由Logistic 映射生成置亂序列并置亂模板bit 位平面，然后由模板bit 位平面分別和其它位平面進(jìn)行異或計(jì)算。

由已經(jīng)完成異或、置亂運(yùn)算的上一個(gè)bit 位平面的數(shù)值產(chǎn)生混沌參數(shù)，來置亂下一個(gè)bit 位平面。最后將完成異或、置亂操作的8 個(gè)bit 位平面合成加密圖像。仿真實(shí)驗(yàn)證明，算法具有操作運(yùn)算簡便而又不會(huì)降低加密安全性能的優(yōu)點(diǎn)，是一種比較實(shí)用的圖像加密算法。

混沌技術(shù)被廣泛研究和應(yīng)用，混沌映射是Li-Yorke 給出的Logistic 映射[8]。

其中xn∈［0，1］，λ∈[0，4]。Feigenbaum 指出Logistic 映射分岔點(diǎn)的參數(shù)值λm（m=1，2，3…）形成無窮序列，并有一個(gè)極限值λ'=3.569945672…。當(dāng)λ∈（λ'，4］時(shí)，Logistic 映射出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。混沌現(xiàn)象具有對初始條件的敏感依賴性，行為是不可預(yù)測的，現(xiàn)廣泛應(yīng)用于圖像加密算法中。

3 算法設(shè)計(jì)

圖像uint8 格式的數(shù)據(jù)中，由每位像素8bit 位灰度值中相同位的數(shù)據(jù)構(gòu)成的平面。一個(gè)圖像矩陣共分為8 個(gè)bit 位平面，每個(gè)bit 位平面所形成的矩陣為位平面矩陣，記為G1、G2、G3、G4、、、G8。G1 為最低bit 位平面，G8 為最高bit 位平面。

加密過程：

Step1、G1-G8 中，在G1、G2、G3 中取一個(gè)作為基礎(chǔ)模板參與異或加密運(yùn)算。

Step2、根據(jù)（1）式要求產(chǎn)生混沌置亂序列S。截取S 中t 個(gè)數(shù)組成的混沌序列S={S1，S2，S3 St}。t 由下式?jīng)Q定。

其中，M，N 分別圖像的行列數(shù)。此處300×8 是我們考慮到加密實(shí)時(shí)性要求，不再每個(gè)bit 位平面單獨(dú)迭代產(chǎn)生混沌序列，而是統(tǒng)一生成一個(gè)混沌序列S，然后根據(jù)不同bit 位平面選取間隔不等的M×N 長混沌序列數(shù)組，必須保證一定間隔。

Step3、選取混沌置亂序列D1，生成由M×N 個(gè)混沌實(shí)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列。D1 對G1 進(jìn)行混沌置亂操作。表示為D1={x1，x2，xM×N}

正排序D1 生成序列E1= {x'1，x'2，x'M×N}。D1 序列中元素在E1 中的位置序號構(gòu)成集合F；E1 中元素在D1 中的位置序號構(gòu)成集合F'，作為解密時(shí)運(yùn)算。將G1（此處當(dāng)做基礎(chǔ)模板）位平面一維化成數(shù)組G1。（4）式為位平面的置亂加密；（5）式為位平面的置亂解密。

將G'1（G1）轉(zhuǎn)化為M×N 位平面。

Step4、G'1 分別與其他位平面G2-8進(jìn)行異或運(yùn)算，生成新的G2-8位平面。

Step5、重復(fù)Step3 分別置亂G2-8，在置亂G2 時(shí)，D2 取S序列向后順延（sum（G'1）mod 255）個(gè)元素的序列數(shù)組。同理Gn時(shí)Dn 取S 序列依次向后（sum（G'1）mod 255+sum（G'2）mod 255+ sum（G'n）mod 255）個(gè)元素的序列數(shù)組。

Step6、由經(jīng)過分別異或、置亂操作構(gòu)成的G'1-8重新組成密圖矩陣G'。

解密過程：加密過程和解密過程是一對逆過程。不再詳述。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

4.1 敏感性分析

國際上通用“l(fā)ena”灰度圖像大小為256 256，matlab 環(huán)境下進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。

測試用“像素?cái)?shù)目改變率NPCR”和“歸一化平均改變強(qiáng)度UACI”來計(jì)算比較。

式（6）中P（i，j）表示：在兩個(gè)測試密圖差圖中，如果點(diǎn)（i，j）值為0，表示對應(yīng)像素點(diǎn)值相等則P（i，j）=1，否則P（i，j）=0。M，N代表圖像矩陣的行列數(shù)。

式（7）中G'（i，j）和G''（i，j）代表兩個(gè)密圖對應(yīng)點(diǎn)（i，j）處的像素值。

表1 NPCR 和UACI 分析

通過表1 可以得出，本文算法通過一次置亂加密即可達(dá)到很好的理想值，優(yōu)于文獻(xiàn)[4，6]。

4.2 相關(guān)性分析

正常的圖像中大多區(qū)域色調(diào)基本是連續(xù)的，其相鄰像素的相關(guān)性一般是非常高的，通常接近于1。效率高的加密算法會(huì)將這種相鄰像素的相關(guān)性降低至接近0。計(jì)算相關(guān)系數(shù)的方法公式采用文獻(xiàn)[4]中的公式。

圖1

本文在密圖和明圖中隨機(jī)抽取1000 對相鄰像素進(jìn)行相關(guān)性計(jì)算比較，結(jié)果如圖1 所示。水平方向，明文相關(guān)度為0.9487，密圖相關(guān)度為-0.0131；傾斜方向，明文相關(guān)度為0.9354，密文相關(guān)度為0.0204；垂直方向，明文相關(guān)度為0.9701，密文相關(guān)度為-0.0165。結(jié)果可以得出，明文圖像在三個(gè)方向上都具有很高的相關(guān)性。密文圖像在三個(gè)方向上的相關(guān)系數(shù)基本接近0。

4.3 與同類算法的對比

文獻(xiàn)[1-3]，他們的明文加密性能較高，但是他們遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有達(dá)到雪崩現(xiàn)象要求標(biāo)準(zhǔn)（要求當(dāng)一個(gè)像素值發(fā)生變化時(shí)至少密文會(huì)有50%以上發(fā)生變化）。文獻(xiàn)[4，6]在差分分析方面達(dá)到了雪崩標(biāo)準(zhǔn)，但是需要經(jīng)過多輪置亂。

密鑰空間方面，本算法對圖像每一層分別置亂，因此至少大于傳統(tǒng)像素級置亂算法密鑰空間的7 倍，同時(shí)加入各層之間的異或運(yùn)算，密鑰空間至少增加了數(shù)百倍。為了節(jié)約計(jì)算成本，本文采用一次置亂足夠大，間隔選擇置亂序列方法。

提出基于位平面Logistic 混沌置亂的圖像加密算法解決了局限于圖像矩陣間雙單射的加密算法缺陷，數(shù)百倍擴(kuò)大的傳統(tǒng)置亂加密算法的密鑰空間。