小學(xué)生數(shù)學(xué)符號感培育的路徑探究

摘?要：義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出了數(shù)學(xué)改革的十大核心概念，其中數(shù)學(xué)符號感就明確了具體目標(biāo)要求。數(shù)學(xué)符號感是一種學(xué)生對數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)的認知和理解的文化積累，要投入大量的心智成本去理解數(shù)學(xué)語言的意義，光靠記憶、背誦口訣是不行的。在數(shù)學(xué)文化的視域下，文章提出了小學(xué)生培育數(shù)學(xué)符號感的意義;小學(xué)生數(shù)學(xué)符號感培育的特征;小學(xué)生數(shù)學(xué)符號感培育的途徑與方法三個命題，為一線教師提升新課程標(biāo)準(zhǔn)執(zhí)行力助力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué);符號感;培育

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)把數(shù)學(xué)思想和方法列入教育目標(biāo)，歸納成十個核心素養(yǎng)，其中符號感也是十大核心素養(yǎng)之一。數(shù)學(xué)符號是一種含義高度概括，形體高度濃縮的抽象科學(xué)語言。小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要在數(shù)學(xué)符號發(fā)展的歷史長河中，認識符號、理解符號、運用符號，感受數(shù)學(xué)符號的文化意義，從而提升自己的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，建樹一種探索創(chuàng)新的科學(xué)精神。

一、 小學(xué)生數(shù)學(xué)符號感培育的意義

數(shù)學(xué)符號是用以表示概念、數(shù)量關(guān)系的記號，是記錄數(shù)學(xué)理念和方法，建立概念和思維運算的專用文字，對人類的數(shù)學(xué)文化發(fā)展起著極其重大的意義。首先，數(shù)學(xué)符號的出現(xiàn)是數(shù)學(xué)誕生與發(fā)展的重要標(biāo)志，不同地區(qū)、不同文化、不同民族都有各自的數(shù)學(xué)符號標(biāo)記。其次，數(shù)學(xué)符號簡明直觀，準(zhǔn)確簡約表達和交流人的思維活動過程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)美。最后，數(shù)學(xué)符號化，使數(shù)學(xué)發(fā)展的抽象化具有可操作性。小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就像學(xué)習(xí)一門新的語言一樣，走進了一個嶄新的符號系統(tǒng)，用屬于數(shù)學(xué)專用的語言認識世界，交流自己的思維活動。

從文化學(xué)的視角看數(shù)學(xué)符號的產(chǎn)生，有跟漢字造字相通之處。學(xué)生數(shù)學(xué)符號感的產(chǎn)生是對人類文化的深度理解，是對人類智慧的高度信仰。例如圓周率π，最重要的并不是只知道什么是圓周率，或者圓周率≈3.14，最重要的是理解π符號背后的文化信息：中國文化對圓周率產(chǎn)生的貢獻;π隱含的有限與無限哲理;數(shù)的擴充等等。學(xué)生從具體事物到數(shù)字符號完成了第一次抽象，從數(shù)字符號到概念符號和運算符號完成了第二次抽象，學(xué)生符號感的產(chǎn)生是學(xué)生抽象思維的層級發(fā)展過程。

二、 小學(xué)生數(shù)學(xué)符號感培育的特征

數(shù)學(xué)符號的產(chǎn)生和發(fā)展來自生產(chǎn)和生活，最早產(chǎn)生的是自然數(shù)、幾何圖形。自然數(shù)概念符號依賴于算術(shù)運算，早期都用“表意”和“縮寫轉(zhuǎn)注”方式呈現(xiàn)。幾何數(shù)學(xué)符號一般都比較直觀，用“象形”方式呈現(xiàn)。例如三角形用“△”表示，垂直用“⊥”表示等等。小學(xué)生數(shù)學(xué)符號感的形成是一種跨文化的認知實踐，學(xué)好、用好世界統(tǒng)一的數(shù)學(xué)符號是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)要求。

（一）小學(xué)生數(shù)學(xué)符號感培育的三個不同階段

第一階段是圖性直觀體驗階段。幼兒時期接觸的數(shù)字符號，并不告訴他們符號是怎樣發(fā)展而來的，只是從自然物件中抽象成一個記號，“2”像小鴨，“3”像耳朵，“5”像秤鉤等，“加”“減”是通過操作體驗形成概念的。第二階段是義性識記階段。例如：“∵”“∴”表示因為……所以……，π表示圓周率，S表示面積，V表示體積等等。某個字母，某個記號表示某個特定的概念，要依靠學(xué)生的識記能力掌握數(shù)學(xué)符號的義性。第三階段是唯義抽象階段。小學(xué)生在學(xué)習(xí)“字母表示數(shù)”后，對數(shù)學(xué)符號的認識就進入了唯義抽象階段，這種抽象是后繼學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)的符號基本上都是唯義抽象的。小學(xué)生在符號感缺失的條件下，經(jīng)常會犯以下錯誤：4+15=415，a+1b=a1b，4、5是數(shù)字符號，4+15=415是成立的，a、b是字母符號，a+1b=a1b就不成立了。唯義抽象階段的學(xué)習(xí)要求學(xué)生掌握符號的定義域和特殊的符號含義，要深度理解符號背后的概念、定義和表述的實際意義。

（二）從a+1b=a1b的錯誤分析說起

教材“字母表示數(shù)”是從實物、圖形、數(shù)字、符號逐步拓展的，最后用字母表示特殊數(shù)、特殊單位名稱，為引進方程概念及代數(shù)運算作鋪墊。其實運種教材的編排是有缺陷的，教材只關(guān)注了數(shù)學(xué)符號的實用意義，忽視了數(shù)學(xué)符號文化意義的建構(gòu)。字母表示數(shù)不僅是數(shù)學(xué)表達形式的變化，而且表示了人類對數(shù)學(xué)符號抽象思維層級上的變化和提升。4+15是數(shù)字明確的自然數(shù)“4”和15個單位“1”的合并，4+15=415是成立的。a+1b中，“a”和“b”都是任意數(shù)，在小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)階段可以是自然數(shù)，也可以是小數(shù)、分數(shù)，小學(xué)高年級可以理解為有理數(shù)。a+1b≠a1b，應(yīng)該是a+1b=abb+1b=ab+1b，只有當(dāng)a、b都是自然數(shù)并且b≠0時，a+1b=a1b才成立。數(shù)學(xué)符號感是建立在符號背后意義深度理解基礎(chǔ)上的一種直義的感覺，要在理解的基礎(chǔ)上加以運用，又要在運用中加深意義的理解。

（三）學(xué)生中算術(shù)思維轉(zhuǎn)入代數(shù)思維，在數(shù)學(xué)的表達上往往會犯錯誤

算術(shù)式的表達是用幾個等號連接表達其運算過程，例如（20+5）×4=25×4=100，但是代數(shù)中的解方程，學(xué)生往往犯算術(shù)表達式的錯誤，老師一般只強調(diào)書寫格式的規(guī)范，不明其中符號背后的意義，例如：x+5=6×2，x=6×2-5=12-5=7，老師要求學(xué)生訂正，學(xué)生并不理解為什么。x+5=6×2是一個方程，x=6×2-5也是一個方程，且是一個等價方程，解方程的過程是未知量參與的等式恒等變形，x+5=6×2→x=6×2-5→x=12-5→x=7始終在方程思維的軌道上展開，歸根結(jié)底，學(xué)生并不是書寫上的錯誤，而是用算術(shù)思維去看待代數(shù)思維的學(xué)習(xí)內(nèi)容。

小學(xué)生數(shù)學(xué)符號感的培育是一種數(shù)學(xué)文化實踐，要有識憶、理解、應(yīng)用、評價的認知過程，教師要從數(shù)學(xué)符號的意義著手，在習(xí)題練習(xí)中加深學(xué)生對數(shù)學(xué)符號意義的深度理解，從直觀層面提升到抽象概念層面，把學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程回歸到數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河。

三、 小學(xué)生數(shù)學(xué)符號感培育的途徑與方法

人生活在三個世界：物理世界、精神世界、自我世界。學(xué)習(xí)是三個世界的三種文化實踐，即認知實踐、文化實踐和自我批判和反思性實踐。學(xué)校是一種特殊學(xué)習(xí)的社會性場域，學(xué)生在指定的課程中進行有意義的學(xué)習(xí)活動，許多核心素養(yǎng)是通過符號將文化一代一代傳承下去的。某種意義上講，學(xué)校的學(xué)習(xí)是通過語言符號作媒介有序展開的，數(shù)學(xué)符號只是許多語言符號中極其重要的一種。準(zhǔn)確理解符號，靈活應(yīng)用符號，使用數(shù)學(xué)符號來表達自己的思維過程，提煉自己對世界事物的認知，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本目的。

（一）課堂教學(xué)要與小學(xué)生的生活經(jīng)驗相銜接

人的任何一種語言符號的產(chǎn)生都離不開生活實踐，數(shù)學(xué)符號的產(chǎn)生也如此。但是任何一種語言符號系統(tǒng)都高于生活，并在創(chuàng)新中不斷發(fā)展。小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)本質(zhì)上是一種符號性學(xué)習(xí)，依靠的是理解、分析和應(yīng)用，并不單純的依靠記憶。課堂教學(xué)要與生活現(xiàn)實情境相結(jié)合，但是不能強調(diào)數(shù)學(xué)生活化而拋棄了數(shù)學(xué)抽象化、簡約化的本質(zhì)。要把數(shù)學(xué)語言和生活語言、藝術(shù)語言區(qū)分開來。例如，平時我們講大于20，那么20是否包括在大于范圍內(nèi)呢？不夠明確。A>20就非常明確20不包括在內(nèi)，A≥20就明確了20包括在內(nèi)，這在醫(yī)院里各種化驗報告上經(jīng)常見到。數(shù)學(xué)符號的產(chǎn)生來源于生活，并應(yīng)用于生活，這種現(xiàn)象可稱作“回歸”。我們在培育小學(xué)生數(shù)學(xué)符號感方面，要精心挑選生活中的案例，佐證符號的文化意義，激活學(xué)生的符號意識。

（二）數(shù)學(xué)教學(xué)要講一些數(shù)學(xué)發(fā)展史

小學(xué)數(shù)學(xué)教材十分注意教學(xué)知識跟生活實際的結(jié)合，但是并沒有突出數(shù)學(xué)的文化本質(zhì)，很少講到數(shù)學(xué)在人類文明史中的貢獻。例如圓的概念知識。事實上人類對圓的認識和探究是繼火的應(yīng)用、鐵的發(fā)明之后的第三個文明進步，有了圓的認識，才有車的發(fā)明。以后的機械發(fā)明、建筑離不開圓，甚至于人類對宇宙的認識也認為“天圓地方”。我們在講數(shù)學(xué)符號“π”時，只講π是圓周率，圓周長跟直徑的比約等于 3.1416。如果我們再講一講π背后的故事：中國數(shù)學(xué)史中的疏率和密率，π的有限與無限，茅以升爺爺背3.1415926……的故事等等，小學(xué)生對“π”的認知就不會僅僅停留在3.14上，而會對數(shù)學(xué)符號產(chǎn)生一種學(xué)術(shù)信仰，從而帶來一種數(shù)學(xué)符號感的自覺追求。

（三）在弄清數(shù)學(xué)符號意義的基礎(chǔ)上，盡量鼓勵學(xué)生用符號來推理運算和表達自己的思維過程

閱讀不僅僅是語文學(xué)科的任務(wù)，而且也是數(shù)學(xué)、音樂、美術(shù)學(xué)科的基本任務(wù)。小學(xué)生能讀懂?dāng)?shù)學(xué)例題，并用自己的思維模式理解例題，這是非常重要的。大多數(shù)老師總是把數(shù)學(xué)教科書當(dāng)作練習(xí)冊，把練習(xí)冊當(dāng)作教科書，只讓學(xué)生反復(fù)做，不讓學(xué)生反復(fù)想，由此學(xué)生害怕數(shù)學(xué)，討厭數(shù)學(xué)，喪失學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

與閱讀同行的是表達。閱讀是符號變成心智，表達是心智變成符號的可逆心理過程。小學(xué)生很少有用數(shù)學(xué)符號表達自己思維過程的機會，很少要求講一講算理。例如：學(xué)習(xí)多位數(shù)，學(xué)生只知道背數(shù)位，不知道265=2×100+6×10+5×1的展開式。到了小學(xué)高年級，自然數(shù)的展開式ab……yz=a×10m-1+b×10m-2+……+y×101+z×100的意義就不理解了。數(shù)學(xué)的閱讀能力和寫作表達能力與語文學(xué)科是同等重要的，要鼓勵小學(xué)生寫數(shù)學(xué)小論文。

（四）要注意小學(xué)生運算符號和數(shù)量符號的混淆

數(shù)學(xué)符號是有分類的，但符號是不能運算的，只有數(shù)量才能運算。因為表示數(shù)量的字母可以用不同的數(shù)替代，有的甚至可以用式子代替，任何一個數(shù)學(xué)符號都有內(nèi)在的條件，不能參加運算，不能濫用。倒如平均數(shù)，表示一群數(shù)的相對集中的程度。一年級數(shù)學(xué)測驗成績的平均數(shù)=一年級所有學(xué)生測驗成績的總和一年級學(xué)生總?cè)藬?shù)，如果知道每個班級的成績平均數(shù)1、2、3、4，不能用1+2+3+44來計算，這是班級平均數(shù)的集中程度而不是所有學(xué)生測驗成績的集中程度，況且要跟事物的離散程度綜合起來評估才有現(xiàn)實意義。目前，我們以班級學(xué)科測驗成績的來評定教學(xué)質(zhì)量的優(yōu)劣，是不科學(xué)的，造成了學(xué)生學(xué)業(yè)負擔(dān)過重，學(xué)習(xí)障礙學(xué)生被遺棄，拼命進行無意義的重復(fù)操練等等。運算符號和數(shù)量符號混淆，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)符號“一鍋煮”，給學(xué)生后繼學(xué)習(xí)帶來的后果是災(zāi)難性的。教師要主動指導(dǎo)學(xué)生有意識地提高自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)符號“依形思義，形義結(jié)合”的實際能力。

數(shù)學(xué)符號有一個發(fā)展和創(chuàng)新的過程。許多符號存在“一符多義”和“一義多符”的現(xiàn)象，教師要嚴格要求學(xué)生規(guī)范準(zhǔn)確使用世界數(shù)學(xué)界統(tǒng)一的符號，一定要做到對數(shù)學(xué)符號的意義、讀寫、含義準(zhǔn)確無誤，數(shù)學(xué)教師也要一絲不茍。

作為義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的十大核心素養(yǎng)之一的數(shù)學(xué)符號感的培育是一個長期的浸潤性目標(biāo)任務(wù)，光靠記憶和反復(fù)操練是完全不夠的，要依靠長年的心智和經(jīng)驗的積累。新課程目標(biāo)為一個各格的小學(xué)數(shù)學(xué)教師提出了一個符合時代發(fā)展要求的新的專業(yè)發(fā)展要求，把數(shù)學(xué)符號感的培育納入數(shù)學(xué)教育的新視野，用數(shù)學(xué)文化的新視角，創(chuàng)新和改革我們的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)新范式，這是深化新課程標(biāo)準(zhǔn)改革，全面推進素質(zhì)教育的新任務(wù)。

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作者簡介：

吳永華，江蘇省蘇州市，蘇州市敬文實驗小學(xué)校。