培養(yǎng)高中生數(shù)學建模素養(yǎng)的課例及分析

傅海倫 曾冠予 王彬

【摘 要】 數(shù)學模型搭建起了數(shù)學與外部世界的橋梁，數(shù)學建模是應用數(shù)學解決實際問題的基本手段，也是推動數(shù)學發(fā)展的動力.基于此，高中數(shù)學教學中應該高度重視數(shù)學建模素養(yǎng)，并將其納入數(shù)學核心素養(yǎng)之中.本文旨在從高中數(shù)學課堂教學層面出發(fā)，對數(shù)學建模素養(yǎng)進行案例分析，并以三種課型為例，對如何培養(yǎng)高中生的數(shù)學建模素養(yǎng)進行詳細闡述.

【關鍵詞】 高中數(shù)學;課堂教學;數(shù)學建模;核心素養(yǎng);課例

為適應時代發(fā)展對人才培養(yǎng)的需要，普通《高中數(shù)學課程標準》（2017年版）的課程目標中明確提出通過高中數(shù)學課程的學習，學會用數(shù)學的思維分析世界，發(fā)展數(shù)學建模素養(yǎng).將數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析作為數(shù)學學科的六大核心素養(yǎng)全面培養(yǎng)學生的數(shù)學品質(zhì).在數(shù)學核心素養(yǎng)中，數(shù)學建模素養(yǎng)是其他五大素養(yǎng)的升華和整體體現(xiàn).首先，模型分析過程中，需要學生有一定的數(shù)學抽象素養(yǎng)，善于發(fā)現(xiàn)其中隱含的數(shù)學關系，將抽象的現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題;其次，模型建立過程中，需要學生有較強的邏輯推理、直觀想象素養(yǎng)，可以根據(jù)所學的知識建立合適的數(shù)學模型;最后，模型求解過程中，又需要學生具有一定的數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，對模型進行求解.因此，數(shù)學建模素養(yǎng)與數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)緊密相連，數(shù)學建模素養(yǎng)的培養(yǎng)和提高對于提高整個數(shù)學核心素養(yǎng)具有重要意義.

數(shù)學建模素養(yǎng)的培養(yǎng)以解決實際問題為中心，以培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識和分析、解決實際問題的能力為目的.在數(shù)學課堂教學中，需要教師指導學生將實際問題抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，建立相關的數(shù)學模型并利用所學知識進行求解.數(shù)學建模教學過程大致分為四個環(huán)節(jié)：

（1）以實際問題為“原胚”，激發(fā)學生的學習興趣，促進知識的理解; （2）指導學生通過數(shù)學抽象進行數(shù)學建模; （3）模型求解;（4）檢驗求得實際問題的解.

在教學環(huán)節(jié)中融入數(shù)學建模是培養(yǎng)高中生數(shù)學建模素養(yǎng)的有效方式.數(shù)學建模的教學不是建模理論知識的機械講解，也不是局限于實際問題的引入，重要的是根據(jù)所學數(shù)學知識與實際問題的聯(lián)系，在教學中適時地引導，重在使學生明確建模的步驟、發(fā)現(xiàn)問題的過程、公式推導的過程以及其中蘊含的數(shù)學思想方法，將建模知識的講授與數(shù)學思想方法的教學有機地結(jié)合起來，根據(jù)不同的實際問題向?qū)W生滲透函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化等重要的數(shù)學思想方法.課堂教學中應以“問題情境—模型分析—建立模型—求解、應用”的基本模式呈現(xiàn)知識內(nèi)容，讓學生經(jīng)歷“數(shù)學化”與“再創(chuàng)造”的過程，形成自己對數(shù)學概念的理解.提倡在關注獲得知識的同時，形成自己對數(shù)學的理解.

下面，筆者嘗試從不同課型出發(fā)對數(shù)學建模素養(yǎng)進行案例分析.

1 基于問題情境的新課數(shù)學建模教學

教材每一章的課前問題、背景引入都是很好的建模原型，教師在新課教學時，應注意滲透數(shù)學建模思想，將實際生活中與數(shù)學知識相關的案例引入課堂教學，結(jié)合新授課讓學生掌握基本的數(shù)學模型，培養(yǎng)學生模型思想，引導學生將案例內(nèi)化為數(shù)學應用模型，以此激發(fā)學生對數(shù)學學習的興趣.

示例1 三角函數(shù)模型的簡單應用

師：前面我們已經(jīng)學習了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象、性質(zhì)及其簡單的變換.我們知道三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的有效工具，而潮汐是一種具有周期性的自然現(xiàn)象，那么能否將三角函數(shù)與潮汐現(xiàn)象聯(lián)系起來呢？能否借助三角函數(shù)解決實際問題呢？

海水受日月的引力，在一定時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近船塢;卸貨后落潮時返回海洋.下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與水深關系表：

（1）請你選用一個三角函數(shù)來近似地描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關系.

（2）若某船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有2.25米的安全間隙（船底與洋底的距離），試問該船何時能進入港口，在港口能呆多久？

大家小組討論一下，如何利用三角函數(shù)模型求解？

（將現(xiàn)實生活中的潮汐現(xiàn)象作為情境引入，設置問題串，引導學生將三角函數(shù)與潮汐現(xiàn)象建立聯(lián)系，將抽象的生活現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為學生熟悉的數(shù)學問題.）

生1：首先根據(jù)已知數(shù)據(jù)作出散點圖，根據(jù)散點圖的形狀大致選取三角函數(shù)模型，然后代入具體數(shù)據(jù)求解.

師：其實這是數(shù)學建模的第一步——模型分析，確定三角函數(shù)模型，再進行精確的求解計算.在這里我們要特別說明一下模型假設，該模型中我們對自變量只考慮0≤x≤24，下面大家思考一下如何建立模型？

（有意識的向?qū)W生滲透數(shù)學建模的步驟，從模型分析、模型假設再到建立模型，培養(yǎng)學生邏輯思維能力和規(guī)范嚴謹?shù)臄?shù)學態(tài)度.）

生2：以時間為橫坐標，水深為縱坐標，在直角坐標系中畫出兩變量的散點圖，如下圖所示，根據(jù)所做的散點圖可以看出圖象近似正弦函數(shù)，因此考慮用對正弦函數(shù)進行相應變形構建本題模型. ?師：好，下面我們進入模型求解階段，大家可以相互討論，各抒己見.

生3：根據(jù)圖象該函數(shù)模型是在正弦函數(shù)的基礎上橫縱坐標分別進行拉伸，然后函數(shù)圖象整體又進行了上移.

生4：觀察圖象可知該函數(shù)周期為12，由T=2πω=12得ω=π6.

師：很好，現(xiàn)在我們可以得到一個已知量ω=π6，下面假設橫坐標不變，縱坐標擴大A倍，假設函數(shù)圖象整體上移h個單位.

（正弦型函數(shù)是學生有待學習的內(nèi)容，教師引導學生從已學的正弦函數(shù)和圖象的變換出發(fā)，數(shù)形結(jié)合，從圖象中挖掘新舊知識之間的連接點，縮小對新知識的認知差距.）

生5：由正弦函數(shù)的值域為[-1，1]可知，該函數(shù)最大值為A+h，最小值為-A+h，代入具體數(shù)據(jù)，聯(lián)立方程可得A+h=7.5，

-A+h=2.5，所以A=2.5，h=5，將各系數(shù)代入得到y(tǒng)=2.5sinπ6x+5 ，所以該港口水深與時間的關系可用y=2.5sinπ6x+5（0≤x≤24）近似描述.

（模型求解階段，啟發(fā)學生從函數(shù)與方程的角度思考問題，設未知數(shù)列方程，將有一定難度的正弦型函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為已學的知識，培養(yǎng)學生函數(shù)與方程的思想以及數(shù)學運算能力.）

師：很好，現(xiàn)在我們已經(jīng)構建了一個三角函數(shù)模型，我們期望模型可以解決實際問題，如何利用模型解決第二問的實際問題呢？

生6：根據(jù)條件，貨船需要的安全水深為4+2.25=6.25（米），從而將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題即為當y≥6.25時貨船安全.

令2.5sinπ6x+5≥6.25，得 sinπ6x≥12 ，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知：

2kπ+π6≤π6x≤2kπ+5π6 ，k∈Z，所以12k+1≤x≤12k+5，k∈Z.

又0≤x≤24，所以1≤x≤5或13≤x≤17.

因此貨船可以在1點左右進港，早晨5點左右出港.或在13點左右進港，下午17點左右出港，每次在港口呆4小時左右.

（數(shù)學模型的重要之處在于模型應用，因此，得到模型結(jié)論后教師接著設問，讓學生利用已得到的模型結(jié)論解決實際問題，使學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題解決問題的過程，體會數(shù)學建模的意義，初步接觸運用新知.）

師：很好，在該題的求解過程中我們建立的函數(shù)模型為y=2.5sinπ6x+5，如果我們將這一函數(shù)模型更為一般化，即為y=Asin（ωx+φ）+h，這也是我們接下來要研究的重要內(nèi)容，下面我們進入正弦函數(shù)的學習.

（通過情景引入，引導學生建立模型思想，從已學三角函數(shù)角度思考問題，利用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程思想，建立模型解決實際問題，增強學生數(shù)學應用能力，同時學生已對正弦函數(shù)有了解，自然引入新課.）

2 基于專題綜合應用的數(shù)學建模教學

中學數(shù)學是一個脈絡清晰，有機聯(lián)系的整體，數(shù)學問題更加注重知識的綜合考查，思維的靈活性較強.專題綜合復習教學環(huán)節(jié)，應注重提煉和總結(jié)解題模型，讓學生多方位認識和運用數(shù)學模型，使各個模塊橫縱聯(lián)系，提升學生的數(shù)學應用能力.

示例2 函數(shù)模型的綜合應用

師：到目前為止，我們已經(jīng)初步接觸了常函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)，對于這些基本初等函數(shù)我們主要研究了函數(shù)的哪些性質(zhì)呢？

生1：對于基本初等函數(shù)我們研究了函數(shù)的圖象特點、單調(diào)性、奇偶性、定義域、值域、導數(shù)以及最值和極值.

師：很好，知識之間是相互貫通的，下面，我們看一下如何利用函數(shù)的有關知識來解決實際問題：某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不能超過利潤的25%.現(xiàn)有三個獎勵模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，分析與推導哪個函數(shù)模型能符合該公司的要求？（注：1.002500=2.7）

對于這一問題，同學們可以嘗試建立數(shù)學模型并求解嗎？

（復習引導，引領學生回顧基本初等函數(shù)及其有關的研究內(nèi)容，使學生對函數(shù)模塊的內(nèi)容有一個清晰的認識，為解決問題做知識鋪墊，在此基礎上設置問題情境，引起學生的求知欲.）

師：題目中的文字描述很復雜，大家能否轉(zhuǎn)化為簡潔的數(shù)學語言呢？這一步是非常關鍵的，同學們要理解題意，挖掘題干中的限定條件，發(fā)現(xiàn)題目中隱含的數(shù)量關系，將其一一對應.

生2：根據(jù)題意：（1）獎金總數(shù)不超過5萬元，即當x∈[10，1000]時，函數(shù)的最大值不超過5;（2）獎金不超過利潤的25%，即當x∈[10，1000]時，y≤x·25%;（3）獎金隨銷售利潤增加而增加，即當x∈[10，1000]時，函數(shù)為增函數(shù).當依據(jù)函數(shù)模型進行獎勵時滿足這三個條件，即為符合公司要求的模型.

師：很好，我們通過分析思考，將實際問題抽象成數(shù)學問題，這一過程是數(shù)學建模中的模型分析環(huán)節(jié)，也是整個數(shù)學建模的基礎和關鍵環(huán)節(jié).對于本題，公司的利潤目標為1000萬元，因此，我們模型假設只需在x∈[10，1000]上，檢驗三個函數(shù)模型是否符合條件即可.下面我們該進行哪一環(huán)節(jié)？又該如何做呢？

（題干內(nèi)容復雜繁瑣，數(shù)學關系不明顯，模型分析階段啟發(fā)學生挖掘隱含的數(shù)學關系，轉(zhuǎn)化為簡潔明了的數(shù)學語言，降低解題的難度，引導學生循序漸進的按照數(shù)學建模的規(guī)范步驟進行思考.）

生3：下面應該建立模型了.問題中涉及的函數(shù)分別是一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)，函數(shù)圖象并不復雜，我們可以在同一坐標系中先作出三個函數(shù)的圖象，通過觀察，得到初步的結(jié)論，再提供具體的計算，得到確定的結(jié)果.

師：畫出圖象后，大家小組討論交流，結(jié)合圖象，進行數(shù)學建模中最重要的環(huán)節(jié)——模型求解.

（建立模型過程中，在同一坐標系下畫出一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)，使求解過程更加直觀清晰，既復習了不同函數(shù)的圖象性質(zhì)特點又培養(yǎng)了學生直觀想象素養(yǎng)和動手能力.）

生4：觀察圖象，結(jié)合一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可以得到f1（x）=0.25x，f3（x）=1.002x在[10，1000]內(nèi)單調(diào)遞增.f1（1000）=250，f3（1000）=1.0021000 =（1+0.002）5002≈2.722=7.29.二者都大于5萬元，因而第一、三兩個函數(shù)模型均不符合公司要求.

生5：對于函數(shù)f2（x）=log7x+1，在[10，1000]上也是單調(diào)遞增的，f2（1000）=log71000+1 ? ? 師：我們一起來看一下，y≤x·25%代入函數(shù)，即log7x+1≤0.25x，且x∈[10，1000]，是不是變?yōu)橐坏篮瘮?shù)在區(qū)間恒成立問題了？想一想?yún)^(qū)間的恒成立問題解題思路是什么？

（對于第一、三模型學生很容易對其進行否定，但是第二個模型如何驗證條件二對于學生來說有一定的難度，需要教師啟發(fā)學生將問題轉(zhuǎn)化為區(qū)間恒成立問題.對于函數(shù)專題，恒成立問題是重要甚至必考題型，引導學生一起總結(jié)恒成立問題的解題思路.）

生6：構造新函數(shù).將log7x+1≤0.25x移項，為log7x+1-0.25x≤0，構造新函數(shù)：

令f（x）=log7x-14x+1，只要驗證f（x）≤0對x∈[10，1000]是否恒成立即可，也即f（x）最大值小于或等于0. f′（x）=1x·1ln7-14≤110×1ln7-14<110-14<0 ，函數(shù)為減函數(shù)，所以fmax（x）=f10=log710-32 ，但是如何比較log710與32的大小呢？

師：任意一個對數(shù)，我們都可以知道它與1的大小關系，大家思考一下能不能將上面的式子變形，只需比較對數(shù)與1的大小呢？

（對數(shù)的大小比較也是考點，對于學生而言，以往接觸的都是較為簡單的大小比較，復雜對數(shù)與常數(shù)的比較是學生沒有接觸過的，需要教師引導學生根據(jù)對數(shù)的特點進行轉(zhuǎn)化，對學生數(shù)學運算素養(yǎng)要求較高，同時也復習回顧了對數(shù)運算的內(nèi)容.）

生7：可以這樣變形：fmax（x）=f（10）=log710-32=3223·log710-1，將log710化為同底對數(shù)的比，即：fmax（x）=f10=log710-32=3223·log710-1=322·ln103·ln7-1=32ln100ln343-1=32log343100-1<0.

這就驗證了當x∈[10，1000]時，y≤x·25%恒成立，因而符合第二個要求.

綜上所述，只有函數(shù)模型y=log7x+1符合公司要求.

師：很好，大家再回顧一下這道題，體會其中的數(shù)形結(jié)合思想、求導問題、恒成立問題做題思路以及復雜對數(shù)的比較大小的方法.

（本題以實際問題為載體，考查函數(shù)模型的構建以及學生分析解決問題的能力，既解決實際問題，又全面復習了三個不同函數(shù)性質(zhì)的應用，體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長的不同，體現(xiàn)了數(shù)學的應用價值.簡單函數(shù)問題背后卻蘊藏著多種數(shù)學思想方法以及求導、恒成立等復雜問題，對于提高學生數(shù)學素養(yǎng)意義重大.）

3 基于變式拓展的數(shù)學建模教學

高中數(shù)學問題千變?nèi)f化，變式拓展題型對學生的轉(zhuǎn)換能力要求較高，教師應適當引導，合理啟發(fā)，對解答題思路進行分析，逐步系統(tǒng)地構建重點題型的解題模型.通過構建問題模型拓展學生的思維空間，深刻領悟蘊涵的思想與方法，多方位認識和運用數(shù)學模型.

示例3 等比數(shù)列變式拓展

師：前面我們學習了等比數(shù)列的通項公式以及前n項和公式，我們知道等比數(shù)列與日常生活是息息相關的，下面一起來看一下如何用等比數(shù)列解決實際問題.

師：按揭貸款是近年中央推行的積極財政政策，眾所周知，按揭貸款中都實行按月等額還本付息，那么若干月后，還應歸還銀行多少本金？這些是人們需要關注卻又很難精確知曉的，下面從我們已學的數(shù)列角度，嘗試建立數(shù)學模型，尋求解決辦法.大家小組討論一下這道題應該如何求解呢？（設貸款數(shù)額為a0元，貸款月利率為p（p>0），每月等額還本付息a元，第n月還款后的本金為an）

（在學習完等比數(shù)列的基礎上，以生活情境為背景引入新模型——一階線性非齊次遞歸數(shù)列.該數(shù)列是等比數(shù)列的變式拓展，也是易考的題型，對學生而言又有一定的難度.這里以學生感興趣的形式引入，降低了新知識的學習難度.）

生1：根據(jù)假設，第一個月還款后的本金為：a1=a0（1+p）-a ，第二個月還款后的本金為：a2=a1（1+p）-a ，第三個月還款后的本金為：a3=a2（1+p）-a ，以此類推，可得到a1，a2，a3，…an，…的遞推公式：

經(jīng)檢驗，所有等式成立.

生5：由此可得，an-ap是一個以a0-ap為首項，（1+p）為公比的等比數(shù)列，類比等比數(shù)列通項公式，可得到an-ap=a0-ap（1+p）n，an=a0-ap（1+p）n +ap （n≥1）.

（模型求解過程中，需要學生對遞推公式進行轉(zhuǎn)化，以方程的視角，設未知數(shù)等價轉(zhuǎn)化求解，得到新的等比數(shù)列，最后從等比數(shù)列通項公式化歸到原數(shù)列的通項公式，該環(huán)節(jié)更有利于提高學生數(shù)學運算能力，有利于多種數(shù)學思想方法的運用.）

師：很好，通過本題可得到按揭貸款問題的模型以及一般結(jié)論：第n月還款后的本金an為：an=a0-ap（1+p）n +ap，日常生活中一切有關按揭貸款問題，均可根據(jù)此計算.

（本題模型實質(zhì)為等差數(shù)列與等比數(shù)列的結(jié)合，高中并沒有給出此類數(shù)列的通項公式，但是在做題時尤其是拓展題，經(jīng)常會有此類型題.對于該模型，采用化歸思想將其巧妙地轉(zhuǎn)化為一階線性其次遞歸數(shù)列.通過本題的模型分析、模型建立、模型求解等環(huán)節(jié)，能夠開拓學生思維，提高學生數(shù)學素養(yǎng)以及分析問題解決問題的能力，體會數(shù)學在實際生活中的作用.）

參考文獻

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作者簡介 傅海倫（1970-），男，山東曹縣人，山東師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院教授、博士生導師，主要從事數(shù)學課程與教學研究.

曾冠予（1996—），女，山東濟南人，山東師范大學附屬中學教師，主要從事高中數(shù)學教學研究.