高考中有關(guān)橢圓曲直聯(lián)立計(jì)算的思考

◇ 山東 王晨晨

(作者單位:山東省濟(jì)寧孔子國(guó)際學(xué)校)

高考數(shù)學(xué)中有一道必考解答題,即圓錐曲線問(wèn)題,并且此類大題一直處于壓軸地位.解一題會(huì)耗時(shí)15～20 min之久,這很容易讓學(xué)生失分.其實(shí)從曲直聯(lián)立的一般情況推導(dǎo),可以總結(jié)出一些規(guī)律,這將有助于此類問(wèn)題的突破.在設(shè)而不求的曲直聯(lián)立中,直線的設(shè)法無(wú)疑決定著計(jì)算的復(fù)雜程度,相信教師們都有總結(jié),此文不再贅述.本文只介紹橢圓在高考環(huán)境下曲直聯(lián)立計(jì)算中的一些規(guī)律,希望對(duì)廣大師生有所幫助.

(a2A2＋b2B2)x2＋2a2ACx＋a2C2－a2b2B2＝0.

設(shè)x1,x2為其兩根,記α＝a2A2＋b2B2,β＝2a2AC,γ＝a2C2－a2b2B2,則

由對(duì)稱性,我們將x 與y,A 與B,a 與b 均互換即可得消x 留y 的情形,即

可以總結(jié)出如下規(guī)律.

① 兩根之和與兩根之積中有共同的分母α.

② 和式分子都為“－2倍”.

如計(jì)算x1＋x2時(shí),只關(guān)注式的等號(hào)左邊,忽略含y 的項(xiàng),只關(guān)注三項(xiàng)中所含字母a2,A,C,將其與“－2”相乘,即分子為－2a2AC.

③ 積式分子亦可大致記為分母α 中所表示未知數(shù)有關(guān)部分字母與(C2－另一部分)之積.如計(jì)算x1x2時(shí),將分母a2A2＋b2B2看成兩部分,與x 有關(guān)部分a2A2,與y 有關(guān)部分b2B2,而分子為a2(C2－b2B2).

④Δ 與Δ′相近,但事實(shí)上我們構(gòu)造直線方程時(shí),若為y＝kx＋b,y－y0＝k(x－x0),化為一般式后B＝－1,Δ′＝4a2b2(a2A2＋b2B2－C2);若為x＝ty＋m,化為一般式后 A ＝1,Δ ＝4b2a2(b2B2＋a2A2－C2).所以,計(jì)算時(shí),有Δ＝4a2b2(α－C2).

特別地,弦長(zhǎng)公式

同理,另一形式

分析至此,相關(guān)計(jì)算結(jié)論的記憶與運(yùn)用顯然是可行的.而橢圓雖因焦點(diǎn)位置不同而有不同情形,但從形式上來(lái)講兩者無(wú)異,則橢圓中結(jié)論通用.

結(jié)論運(yùn)用在計(jì)算中不只是能快速、準(zhǔn)確地求出兩根之和、積、判別式、弦長(zhǎng)等常用數(shù)據(jù),其更大的優(yōu)勢(shì)是代入后保留了同分母形式,無(wú)疑簡(jiǎn)化了形式,可提高后續(xù)計(jì)算準(zhǔn)確率.教學(xué)時(shí)不宜急于推廣結(jié)論,一定要等到學(xué)生經(jīng)過(guò)一定量的曲直聯(lián)立的充分練習(xí)后再進(jìn)行.教學(xué)中教師首先應(yīng)培養(yǎng)的是學(xué)生們的核心素養(yǎng),切勿本末倒置,建議可放于一輪復(fù)習(xí)中.