一類(lèi)平面脈沖系統(tǒng)的穩(wěn)定性與相圖研究

李路遙，申建華

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 311121)

0 引言

任意一個(gè)二維常系數(shù)線性微分系統(tǒng)u′=Au,其中A為非退化的常數(shù)矩陣，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換之后，就可以轉(zhuǎn)化成3種標(biāo)準(zhǔn)形式之一.本文討論如下標(biāo)準(zhǔn)形式的脈沖系統(tǒng)：

(1)

近年來(lái)，關(guān)于脈沖微分方程的研究已有較多深刻結(jié)果[1-7]，但有關(guān)脈沖微分方程幾何理論的研究還不多，主要困難是不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的相空間理論還不完善.本文旨在研究系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定性和相圖特征，得到的結(jié)果顯示系統(tǒng)(1)有比系統(tǒng)u′(t)=A1u(t) 更加復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)性質(zhì).

1 主要結(jié)果

經(jīng)過(guò)計(jì)算，不難得到系統(tǒng)(1)的解為

(2)

其中i=1,2,u1=x,u2=y,σ1=α,σ2=β,u01=x0,u02=y0.為了得到系統(tǒng)(1)更加復(fù)雜的相圖特征，需要引入一個(gè)引理，由于證明過(guò)程較為簡(jiǎn)單，這里不做證明.

令Sk={(xk(t),yk(t))|xk=(1+α)k-1x0eλ1(t-t0),yk=(1+β)k-1y0eλ2(t-t0),k=1,2,3,…}, 則{Sk}是曲線族.事實(shí)上，系統(tǒng)(1)的相圖在曲線族{Sk}上.

若1+α=0或1+β=0，當(dāng)t>t1,x(t)=0，或y(t)=0，系統(tǒng)(1)的相圖在y-軸或x-軸上.因此，僅需考慮下列兩種情形：Ⅰ)α>-1,β>-1；Ⅱ)α>-1,β<-1，或α<-1,β>-1，或α<-1,β<-1.

對(duì)于情形Ⅰ，容易得到

(3)

從而可以看出，點(diǎn)(x(tk+),y(tk+))和曲線Sk在同一象限上，且(x(tk+),y(tk+))在曲線Sk+1上.因此，曲線Sk和Sk+1在同一象限內(nèi).由于xk(t),yk(t)都是關(guān)于t的單調(diào)函數(shù)，從而由引理1知：

(4)

此時(shí)，對(duì)系統(tǒng)(1)相圖的特征及解的穩(wěn)定性，有以下結(jié)論.

定理1對(duì)系統(tǒng)(1)有：

3) 當(dāng)Δ1>0時(shí)，系統(tǒng)(1)的相圖是間斷連續(xù)的，且λ1<0,λ2<0時(shí)，系統(tǒng)(1)的解是漸近穩(wěn)定的；當(dāng)λ1>0,λ2>0時(shí)，系統(tǒng)(1)是無(wú)窮擴(kuò)散的.

(5)

當(dāng)λ1<0，可得

(6)

(7)

于是，當(dāng)m→+∞時(shí)，

因此，當(dāng)m→+∞時(shí)有x(t)→0.同理可得，當(dāng)λ2<0時(shí)，y(t)是有界的，而且y(t)→0.從而當(dāng)λ1<0,λ2<0時(shí)系統(tǒng)(1)是漸近穩(wěn)定的.

當(dāng)λ1>0，從式(5)可以得到

(8)

于是對(duì)?t∈(tm,tm+1]，當(dāng)m→+∞時(shí)，

即x(t)→+∞(t→+∞).同理可得，當(dāng)λ2>0時(shí)，有y(t)→+∞(t→+∞).從而系統(tǒng)(1)是無(wú)窮擴(kuò)散的.

下證穩(wěn)定性.由于

(9)

類(lèi)似于1)的證明，可以得到當(dāng)λ1>0,λ2>0時(shí)，系統(tǒng)(1)是漸近穩(wěn)定的.當(dāng)λ1<0,λ2<0時(shí)，系統(tǒng)(1)是無(wú)窮擴(kuò)散的.

3) Δ1>0，由于tk+Δ1>tk，系統(tǒng)(1)在任意兩個(gè)相鄰區(qū)間(tk,tk+1]和(tk-1,tk]上沒(méi)有重疊部分，因此相圖間斷連續(xù).下證穩(wěn)定性.由于

所以，當(dāng)λ1<0,λ2<0,ln|1+α|<0,ln|1+β|<0時(shí)，有

當(dāng)λ1>0,λ2>0,ln|1+α|>0,ln|1+β|>0時(shí)，有

所以，當(dāng)λ1<0,λ2<0時(shí)，系統(tǒng)(1)是漸近穩(wěn)定的.當(dāng)λ1>0,λ2>0時(shí)，系統(tǒng)(1)是無(wú)窮擴(kuò)散的.

(10)

可以看出點(diǎn)(x(tk+),y(tk+))和曲線Sk不在同一象限，但與曲線Sk-1在同一象限，這也說(shuō)明曲線Sk+1與曲線Sk不在同一象限，但與曲線Sk-1在同一象限.由于xk(t),yk(t)都是關(guān)于t的單調(diào)函數(shù)，從而由引理1知：

(11)

此時(shí)，對(duì)系統(tǒng)(1)相圖的特征及解的穩(wěn)定性，有以下結(jié)論.

定理2對(duì)系統(tǒng)(1)有：

系統(tǒng)的熱容Ct是熱水器的固有屬性，文獻(xiàn)[7]中通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的樣本點(diǎn)進(jìn)行最小二乘法的擬合并通過(guò)線性回歸進(jìn)行校核分析，得到的最終待定系數(shù)Ct的取值為21.7～25.3 kJ/K。在此，將熱水溫升與加熱時(shí)間的數(shù)學(xué)模型導(dǎo)入MATLAB軟件進(jìn)行模擬計(jì)算，系統(tǒng)熱容Ct以2為步長(zhǎng)進(jìn)行劃分，其余參數(shù)取均值且保持不變，具體參數(shù)見(jiàn)表1，熱水溫升與加熱時(shí)間的關(guān)系曲線如圖3所示。

于是有

(12)

當(dāng)λ1<0時(shí)容易得到

(13)

因此

從而

(14)

因此x(t)→0(t→+∞).同理可得，當(dāng)λ2<0時(shí)，y(t)→0(t→+∞).從而系統(tǒng)(1)是漸近穩(wěn)定的.當(dāng)λ1>0，從式(13)可得

(15)

(16)

即x(t)→+∞(t→+∞).同理可得，當(dāng)λ2>0時(shí)，有y(t)→+∞(t→+∞).從而系統(tǒng)(1)是無(wú)窮擴(kuò)散的.

于是有

(17)

因此，類(lèi)似1)的證明，可以得到以下結(jié)論：當(dāng)λ1>0,λ2>0時(shí)，系統(tǒng)(1)是漸近穩(wěn)定的；當(dāng)λ1<0,λ2<0時(shí)，系統(tǒng)(1)是無(wú)窮擴(kuò)散的.

(18)

于是有

因此，可以得到以下結(jié)論：當(dāng)λ1<0,λ2<0時(shí)，

當(dāng)λ1>0,λ2>0時(shí)，

所以當(dāng)λ1<0,λ2<0時(shí)，系統(tǒng)(1)是漸近穩(wěn)定的；當(dāng)λ1>0,λ2>0時(shí)，系統(tǒng)(1)是無(wú)窮擴(kuò)散的.

2 數(shù)值模擬

下面僅給出當(dāng)λ1<0,λ2<0時(shí)的數(shù)值模擬.

對(duì)于情形Ⅰ，當(dāng)α>-1,β>-1時(shí)，取定參數(shù)λ1=-0.6,λ2=-0.3,x0=100,y0=120,tk=5k.

(a)函數(shù)圖

(a)函數(shù)圖

由圖1、2可以看出系統(tǒng)(1)是漸近穩(wěn)定的，且此時(shí)相圖在整個(gè)區(qū)間上看起來(lái)是連續(xù)的，但實(shí)際是間斷連續(xù)的.

3) 當(dāng)Δ1>0時(shí)，取α=-0.36,β=-0.2，得到的函數(shù)圖和相圖見(jiàn)圖3.

由圖3可以看出系統(tǒng)(1)是漸近穩(wěn)定的，且此時(shí)相圖在整個(gè)區(qū)間上明顯是間斷連續(xù)的.

考慮情形Ⅱ，即α>-1,β<-1，或α<-1,β>-1，或α<-1,β<-1.

從圖4可以看出系統(tǒng)(1)是漸近穩(wěn)定的，從圖5可以看出相圖在整個(gè)區(qū)間上看起來(lái)是連續(xù)的，但實(shí)際上是間斷連續(xù)的.

從圖6可以看出系統(tǒng)(1)是無(wú)窮擴(kuò)散的，從圖7可以看出相圖在兩個(gè)象限上看起來(lái)是連續(xù)的，但其實(shí)是間斷連續(xù)的.

但在不同象限的相圖見(jiàn)圖9.

由圖8、圖9可以發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)(1)是漸近穩(wěn)定的，而且相圖明顯是間斷連續(xù)的.