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    結(jié)構(gòu)力學(xué)靜定拱內(nèi)力的矩陣化求解方法

    2020-12-11 09:29:18袁良健
    工程技術(shù)研究 2020年20期
    關(guān)鍵詞:拉桿跨度內(nèi)力

    袁良健,王 子

    (1.中鐵第四勘察設(shè)計院集團(tuán)有限公司,湖北 武漢 430063;2.東南大學(xué) 土木工程學(xué)院,江蘇 南京 210096)

    1 概述

    靜定拱結(jié)構(gòu)通常可分為三鉸拱和帶拉桿的拱,根據(jù)鉸的位置不同亦可分為平拱和斜拱,如圖1所示。三鉸拱在實(shí)際工程運(yùn)用中通常作為承壓構(gòu)件,其受力特點(diǎn)為在豎向荷載作用下,拱趾將產(chǎn)生水平推力。與相同跨度的簡支梁相比,由于水平推力的存在,拱各截面的彎矩通常較小,而截面的軸力值較大,因而能跨越更大的跨度,曲線優(yōu)美,采用磚、砌塊、混凝土等材料建成的拱結(jié)構(gòu)通常能更好地發(fā)揮材料的特性。此外,拱的矢跨比(矢高與跨度的比值)對其受力有重大影響,實(shí)際工程中拱的矢跨比通常為1/10~1。

    圖1 靜定拱的分類

    2 內(nèi)力矩陣方程的建立

    欲求截面K的內(nèi)力值,截取AK部分為隔離體,如圖2(b)所示,假設(shè)FNK與x軸的夾角為α(此處規(guī)定x軸沿著逆時針轉(zhuǎn)動到與FNK重合時所轉(zhuǎn)過的角度為α,故左半拱0°≤α≤90°,右半拱的90°≤α≤180°),則FSK與y軸的夾角為α,對該部分隔離體分別由∑Fx=0、∑Fy=0和∑MK=0得:

    將式(1)~式(3)寫成矩陣形式:

    同理,若欲求解右半拱截面D的內(nèi)力,如圖2(c)所示,相應(yīng)的內(nèi)力矩陣方程如下:

    圖2 三鉸拱算例

    綜上,式(4)為拱的內(nèi)力矩陣方程,式(6)為該矩陣方程的解。

    3 矩陣化求解的一般步驟

    (1)根據(jù)拱軸線方程及幾何信息,確定待求截面的幾何坐標(biāo)參數(shù),建立坐標(biāo)矩陣[T];

    (2)建立待求的內(nèi)力列向量[Fi];

    (3)對結(jié)構(gòu)整體或局部隔離體建立平衡方程,求解結(jié)構(gòu)的支反力和某些拉桿的內(nèi)力值。

    (4)截取待求截面處相連的隔離體,建立綜合外荷載列向量[FP];

    (5)建立內(nèi)力矩陣方程并求解待求的內(nèi)力。

    4 參數(shù)化分析和實(shí)例驗(yàn)證

    靜定拱結(jié)構(gòu)在某特定荷載作用下,各個截面的內(nèi)力變化主要體現(xiàn)在坐標(biāo)矩陣和綜合外荷載向量的不同。例如在計算機(jī)軟件Matlab中輸入拱的軸線方程,可計算出任意截面位置x處的sinα和cosα的值。在特定荷載作用下,綜合外荷載列向量呈現(xiàn)分段的規(guī)律分布,可建立其關(guān)于位置坐標(biāo)參數(shù)x的函數(shù)表達(dá)式,從而建立坐標(biāo)矩陣和綜合外荷載列向量之間關(guān)于x的對應(yīng)關(guān)系,實(shí)現(xiàn)參數(shù)化分析和求解。

    以靜定帶拉桿的拱為例,如圖3所示,驗(yàn)證前述方法。假設(shè)拱的軸線方程為,其中f=4m,L=18m。截面K距離坐標(biāo)原點(diǎn)的水平距離xK=3m,代入軸線方程可得yK=20/9m,sinα=0.51,cosα=0.86,易求得支座A的水平反力FAx=0,豎向反力FAy=90kN(↑)。截取AFDC部分為隔離體,由∑MC=0得:FNFG=135kN;取節(jié)點(diǎn)G由∑Fx=0得:FNFA=136.86kN。故可建立方程式如下:

    求解方程得:

    圖3 驗(yàn)證實(shí)例

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