基于MODWT 變換的海洋重力觀測航行數(shù)據(jù)濾波方法

孫鶴泉，金紹華，張宇

（海軍大連艦艇學(xué)院 軍事海洋與測繪系，遼寧 大連 116018）

海洋測量船搭載海洋重力儀實(shí)施重力測量時(shí)，重力儀在受地球自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的離心力影響的同時(shí)，還受到測量船移動(dòng)產(chǎn)生的附加離心力的影響，出現(xiàn)厄特弗斯效應(yīng)，產(chǎn)生額外的擾動(dòng)加速度，擾動(dòng)加速度與重力加速度相混疊，影響海洋重力測量的精度。在海洋重力測量中，厄特弗斯效應(yīng)是主要誤差源，是所有修正項(xiàng)中最大的影響項(xiàng)，海洋重力測量數(shù)據(jù)需要經(jīng)過多項(xiàng)修正，才能得到重力空間異常、布格異常成果。厄特弗斯效應(yīng)無法通過改進(jìn)儀器和增加附屬設(shè)備來消除，只能通過相應(yīng)的數(shù)據(jù)處理進(jìn)行修正（韓孝輝等，2017）。

對海洋重力測量數(shù)據(jù)進(jìn)行厄特弗斯改正時(shí)要用到測量船航速和航向角的數(shù)據(jù)，海洋調(diào)查規(guī)范要求測量船在海洋重力測量過程中沿著設(shè)計(jì)測線勻速直線航行，航速和航向角誤差要在規(guī)定的范圍內(nèi)（國家海洋局，2007）。受海況及環(huán)境因素影響，差分GPS 得到的航速和航向角時(shí)間序列存在較大誤差，需要對航速和航向角數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波處理來削弱這些誤差的影響，提高航速和航向角的測量精度，滿足海洋調(diào)查規(guī)范要求（張會等，2011）。

噪聲干擾無處不在，從含噪信號中濾除干擾，提高信噪比具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。根據(jù)噪聲能量集中在高頻，有效信號的能量分布在低頻這一特點(diǎn)，研究人員提出了多種降噪濾波方法，面對眾多的濾波方法，需要對濾波器類型與參數(shù)進(jìn)行合理選擇。多數(shù)常規(guī)濾波器是前驗(yàn)性的，即對信號和噪聲的分布類型進(jìn)行特定假設(shè)，利用信號中噪聲的一些特征或統(tǒng)計(jì)參數(shù)才能很好地實(shí)現(xiàn)濾波，降低了濾波器對信號與噪聲的自適應(yīng)功能。在缺乏先驗(yàn)知識的情況下，采用小波變換進(jìn)行降噪處理成為研究人員的一種很好選擇。在采用定量化的Lipschitz 條件來確定小波收縮閾值的基礎(chǔ)上，本文提出了一種利用具有平移不變性的最大重疊離散小波變換（Maximal Overlap Discrete Wavelet Transform，MODWT）進(jìn)行海洋重力觀測中航速和航向角數(shù)據(jù)濾波的算法，并通過分析實(shí)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證了算法的可靠性。

1 理論基礎(chǔ)

只考慮加性噪聲，可以將觀測信號X（t）分解為如公式（1）所示的兩部分：

其中，f（t）表示信號中的有效部分；n（t）表示信號中的高斯噪聲或高頻波動(dòng)；本文算法主要用來消除或抑制公式（1）中的第二項(xiàng)n（t）。

1.1 MODWT 變換

MODWT 變換是小波分析領(lǐng)域中較新的一種形式，也是離散正交小波變換的一種變形拓展。與正交小波變換相比，MODWT 變換是一種高冗余度非正交變換，但具有平移不變性，可以彌補(bǔ)正交小波變換的固有缺陷。與正交小波一樣，MODWT 變換也可以通過塔形算法進(jìn)行高效計(jì)算，只需將正交小波變換在濾波器設(shè)計(jì)上做些細(xì)微的修改即可實(shí)現(xiàn)MODWT 變換，且計(jì)算復(fù)雜性與FFT 算法相同（Donald et al,2000）。本文采用MODWT 變換是因?yàn)槠渚邆淙缦绿攸c(diǎn)：

（1）J 級的正交小波變換要求信號序列的長度為2J的整數(shù)倍，而MODWT 變換對信號序列的長度沒有要求；

（2） 通過MODWT 變換實(shí)現(xiàn)信號的多分辨率分析，變換的細(xì)節(jié)部分和光滑部分是與零相位濾波器相關(guān)的，可以提取出原信號中的關(guān)鍵特征；

（3） 信號序列的循環(huán)平移的MODWT 變換與信號序列的MODWT 變換的循環(huán)平移相對應(yīng)；

（4） 可利用MODWT 變換的小波系數(shù)和尺度系數(shù)進(jìn)行信號的方差分析。

其中，t=0，1，…，N-1。

1.2 高斯噪聲

1.3 收縮閾值

與正交小波變換一樣，公式（1）中信號X（t）的特征可以用其MODWT 變換的小波系數(shù)來描述：較大的系數(shù)對應(yīng)較多的信息、較小的系數(shù)對應(yīng)較少的信息。根據(jù)數(shù)值大小來衡量小波系數(shù)在信號中所占比重，利用MODWT 小波進(jìn)行信號降噪就是對絕對值較小的小波系數(shù)進(jìn)行閾值收縮處理（Donald et al，2000），把低于閾值的小波系數(shù)作為噪聲進(jìn)行置零或收縮處理。

在對MODWT 小波系數(shù)進(jìn)行閾值收縮處理過程中，閾值的選取直接影響到小波降噪的處理效果。閾值選擇過大，會導(dǎo)致過濾波，信號過度光滑，丟失邊緣等局部特征；閾值選擇過小，則造成欠濾波，噪聲抑制不夠，達(dá)不到降噪目的。為了避免過濾波和欠濾波的出現(xiàn)，本文以假設(shè)觀測信號光滑連續(xù)為前提，利用表征函數(shù)正則性的Lipschitz條件來確定合適的收縮閾值。

如果函數(shù)f（x）滿足Lipschitz 條件，那么存在常數(shù)L，對定義域內(nèi)任意兩個(gè)自變量，有公式（6）成立。

公式（6）是定性描述表征函數(shù)正則性的Lipschitz 條件，所有文獻(xiàn)中關(guān)于常數(shù)L 的計(jì)算方法并無太多介紹。為了能夠定量使用Lipschitz 條件，本文對公式（6）進(jìn)行了改進(jìn)。利用Donoho 等（1995a，1995b） 提出的MAD 中位數(shù)閾值估算方法獲得初始閾值（Donald et al，2000），依次小幅增大閾值，直到重構(gòu)信號滿足公式（7）所示的條件為止，實(shí)現(xiàn)信號重構(gòu)。

2 算法測試

為了驗(yàn)證上述算法的降噪性能，模擬生成如圖1 所示的理想信號和隨機(jī)加噪信號。

圖1 理想模擬信號與隨機(jī)加噪信號

利用傳統(tǒng)頻域低通濾波方法對圖1（b）中的加噪信號進(jìn)行光滑處理，得到如圖2（a）所示結(jié)果，圖2（b）則為利用本文算法分析得到的結(jié)果。

對比圖2 中的兩組分析結(jié)果可以看出，本文算法在消除噪聲的同時(shí)，很好地保留了信號的局部特征；進(jìn)一步計(jì)算兩種方法的信噪比，分別為29.82、33.32，也能夠體現(xiàn)出本文算法的優(yōu)勢。

圖2 降噪處理后的信號

3 數(shù)據(jù)分析

下面提供了兩組實(shí)測信號及處理結(jié)果，用來驗(yàn)證本文方法的可靠性和實(shí)用性。圖3 和圖5 中列出了在中國南海某區(qū)域進(jìn)行重力測量時(shí)的航速和航向角數(shù)據(jù)，從圖中的曲線可以看出，原始觀測數(shù)據(jù)中存在明顯的噪聲干擾?？紤]到小波的光滑性、消失矩和緊支區(qū)間等因素，本文選用db-3 小波作為基函數(shù)，圖4 和圖6 中列出了采用本文方法處理后的濾波結(jié)果。

圖3 第一組實(shí)測航行數(shù)據(jù)曲線

圖4 降噪濾波后的第一組航行數(shù)據(jù)曲線

圖5 第二組實(shí)測航行數(shù)據(jù)曲線

圖6 降噪濾波后的第二組航行數(shù)據(jù)曲線

圖3 中相鄰測點(diǎn)的角度差最大為3.43毅、速度差最大達(dá)到0.42 節(jié)，圖5 中相鄰測點(diǎn)的角度差最大為4.03毅、速度差最大達(dá)到0.4 節(jié)，且為高頻波動(dòng)，顯然是因?yàn)椴ɡ说群r因素導(dǎo)入的噪聲干擾，航速和航向角誤差已經(jīng)超出規(guī)范規(guī)定的范圍（國家海洋局，2007）。圖4 中相鄰測點(diǎn)的角度差最大為0.99毅、速度差最大達(dá)到0.004 節(jié)，圖6 中相鄰測點(diǎn)的角度差最大為0.74毅、速度差最大達(dá)到0.021 節(jié)，很好地抑制了信號中的噪聲成分，符合規(guī)范要求。同時(shí)本文方法準(zhǔn)確地保留了信號的局部特征，便于后期對數(shù)據(jù)進(jìn)行分段處理。

4 結(jié)論

海洋調(diào)查數(shù)據(jù)中的噪聲干擾對數(shù)據(jù)后期分析和參數(shù)計(jì)算的影響很大，削弱噪聲干擾能夠顯著提高數(shù)據(jù)信噪比，突出觀測數(shù)據(jù)中的關(guān)鍵特征。本文利用MODWT 變換和改進(jìn)的定量化Lipschitz 條件，從高斯噪聲小波系數(shù)的分布特性入手，提出了一種海洋重力觀測中含噪航行數(shù)據(jù)的濾波方法。本文方法能夠準(zhǔn)確重構(gòu)觀測數(shù)據(jù)中的有效信號，在去除噪聲干擾的同時(shí)，又不致重構(gòu)信號失真。對比本文提供的模擬信號和兩組實(shí)測數(shù)據(jù)及濾波處理結(jié)果，可以驗(yàn)證本文方法的可靠性與有效性。