水力裂縫動(dòng)態(tài)擴(kuò)展的壓裂液濾失模型

羅 攀 ，王 崟 ，黃 昊 ，孫 曉 ，穆景福

（1.陜西延長(zhǎng)石油（集團(tuán)）有限責(zé)任公司研究院，陜西西安710075；2.陜西省頁(yè)巖氣勘探開(kāi)發(fā)工程技術(shù)研究中心，陜西西安710075；3.中國(guó)石油長(zhǎng)慶油田分公司采油十一廠，甘肅慶陽(yáng) 745000）

水力裂縫作為壓裂液濾失模型的邊界，決定了濾失區(qū)域的大小，對(duì)濾失量具有重要影響。壓裂過(guò)程中，水力裂縫長(zhǎng)度逐漸增加，濾失區(qū)域逐漸變大，濾失量也會(huì)逐漸增加，而通常的濾失模型計(jì)算時(shí)采取了裂縫最終達(dá)到的固定長(zhǎng)度，濾失速度開(kāi)始時(shí)最大，然后遞減，顯然，這是違背物理事實(shí)的。經(jīng)典濾失理論認(rèn)為濾失是一維的，并且水力裂縫邊界的長(zhǎng)度不變，但實(shí)際濾失應(yīng)該是二維甚至三維的，特別是當(dāng)滲透率較高時(shí)，濾失空間的多維性更加明顯，裂縫邊界長(zhǎng)度對(duì)濾失的影響很大。由任書(shū)泉、古法剛[1]提出的濾失模型考慮了侵入?yún)^(qū)前沿移動(dòng)等多種因素，比經(jīng)典濾失理論考慮的更多，更接近實(shí)際，但同樣并未考慮濾失的多維性以及裂縫長(zhǎng)度的變化；任嵐[2]等提出了考慮壓裂液平面流動(dòng)的二維濾失模型，并以差分法求得數(shù)值解，更加適合高滲地層中壓裂液濾失速度隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)，但也沒(méi)有給出裂縫長(zhǎng)度變化對(duì)濾失速度的影響；李勇明[3]等在考慮裂縫性地層的濾失時(shí)，建立了雙重介質(zhì)模型，并以正交變換求解，但同樣也未考慮濾失的多維性與裂縫邊界的動(dòng)態(tài)擴(kuò)展；游先勇[4]等研究了天然裂縫成簇分布的濾失規(guī)律；夏富國(guó)[5-7]等考慮天然裂縫對(duì)濾失的影響?？傊?，現(xiàn)有研究多考慮裂縫在空間的變化，但很少考慮裂縫在時(shí)間上的變化。裂縫動(dòng)態(tài)擴(kuò)展使濾失問(wèn)題變得很復(fù)雜，但卻是不容忽略的條件，考慮后可以使現(xiàn)實(shí)問(wèn)題得到更清晰更準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)。本文根據(jù)有限差分法實(shí)現(xiàn)了考慮裂縫動(dòng)態(tài)擴(kuò)展的二維壓裂液濾失模型的求解，研究了裂縫動(dòng)態(tài)擴(kuò)展對(duì)濾失的影響，證實(shí)了裂縫長(zhǎng)度的變化對(duì)濾失有著重要影響。

1 濾失模型

考慮壓裂液的二維濾失和裂縫動(dòng)態(tài)擴(kuò)展，在矩形區(qū)域上建立二維濾失的偏微分方程。

式中：p 為地層壓力，Pa；x、y 分別為研究區(qū)域的長(zhǎng)度和寬度，m；η 為導(dǎo)壓系數(shù)，m2/s；t 為濾失時(shí)間，s。

考慮到裂縫兩側(cè)的濾失情形具有對(duì)稱(chēng)性，取1/4 區(qū)域進(jìn)行研究，每條邊界具有不同的邊界條件（圖1）。

圖1 網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)和邊界條件示意圖

左側(cè)邊界為對(duì)稱(chēng)邊界，即該邊界上壓裂液沿 x方向的濾失速度為0，其邊界條件為：

式中： pi1，為第一列節(jié)點(diǎn)的壓力值，Pa； pi2，為第二列節(jié)點(diǎn)的壓力值，Pa；i 為x 方向上的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)編號(hào)。

右側(cè)邊界和上側(cè)邊界均為定壓邊界，為原始油藏壓力，其邊界條件為：

式中： pi為原始油藏壓力，Pa； pi,n為最右一列網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的壓力值，Pa； pm，j為最上一行網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的壓力值，Pa； j 為y 方向上的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)編號(hào)。

下側(cè)邊界的條件較為復(fù)雜，其中，水力裂縫長(zhǎng)度的公式為：

式中：L 為水力裂縫長(zhǎng)度，m；vel 為裂縫擴(kuò)展速度，m/s； tv為裂縫擴(kuò)展時(shí)間，s。

0 < x ≤L 的部分邊界對(duì)應(yīng)水力裂縫，該部分邊界取定壓邊界條件：

式中： pf為裂縫內(nèi)壓力，Pa。

L

綜合可得：

式中： p1，j為第一行網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的壓力值，Pa； p2，j為第二行網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的壓力值，Pa。

初始條件為整個(gè)求解域上的壓力均為原始油藏壓力，即：

求得壓力分布后，根據(jù)裂縫壁面上的壓力梯度即可得到裂縫壁面上的濾失速度：

式中：v 為濾失速度，10-3m/s；k 為滲透率，μm2；μ 為液體黏度，mPa·s。

可以得到整條裂縫上的平均濾失速度：

2 模型求解

為保證收斂性，本文采用古典五點(diǎn)隱式差分法對(duì)模型進(jìn)行求解，離散后的方程如下所示：

式中：n、n+ 1分別為時(shí)間節(jié)點(diǎn)的編號(hào)； Δt 為時(shí)間步長(zhǎng)，s；Δ x為 x 方向網(wǎng)格長(zhǎng)度，m；Δ y 為 y 方向網(wǎng)格長(zhǎng)度，m；為第n 個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)所有空間節(jié)點(diǎn)的壓力值，Pa。

上式共有i×j 個(gè)未知數(shù)和i×j 個(gè)方程，構(gòu)成i×j 階的線性方程組，可由tn時(shí)刻的已知壓力分布求得tn+1時(shí)刻的壓力分布，如此迭代下去便能求解。

3 結(jié)果分析

考慮裂縫動(dòng)態(tài)擴(kuò)展后的壓力分布隨時(shí)間變化較大，特別是在裂縫擴(kuò)展階段，濾失前沿不斷向油層深部推進(jìn)，濾失區(qū)域不斷擴(kuò)大，與定長(zhǎng)度裂縫的濾失情況區(qū)別較大。計(jì)算所用的參數(shù)如表1 所示，圖2～4 為使用差分法編程求解得到的壓力分布。圖2 為裂縫擴(kuò)展30 min 時(shí)的壓力分布，裂縫未擴(kuò)展到的地方仍然為原始油藏壓力，說(shuō)明擴(kuò)展階段的裂縫并不是以最終長(zhǎng)度參與濾失。

表1 計(jì)算時(shí)所取的主要參數(shù)

圖3 為裂縫擴(kuò)展60 min 時(shí)的壓力分布，水力裂縫長(zhǎng)度為30 min時(shí)的2倍，壓力分布范圍相應(yīng)更大，原先 30 min 內(nèi)形成的裂縫的壓力分布范圍也更大。

圖4 為裂縫擴(kuò)展90 min 時(shí)的壓力分布，裂縫擴(kuò)展至研究區(qū)域邊界。

由圖2～4 可以明顯看出，不同濾失時(shí)刻裂縫的壓力影響范圍不同，且裂縫越靠近初始端，對(duì)應(yīng)的壓力影響范圍越大。

圖2 裂縫擴(kuò)展30 min 時(shí)的壓力分布

圖3 裂縫擴(kuò)展60 min 時(shí)的壓力分布

圖4 裂縫擴(kuò)展90 min 時(shí)的壓力分布

考慮裂縫動(dòng)態(tài)擴(kuò)展后的濾失曲線與經(jīng)典濾失曲線不同的是，濾失速度存在一個(gè)上升階段，這個(gè)階段對(duì)應(yīng)裂縫擴(kuò)展階段。隨著裂縫增長(zhǎng)，濾失區(qū)域越來(lái)越大，因而濾失速度會(huì)變大，而裂縫停止增長(zhǎng)后，濾失速度逐漸變小，此時(shí)的濾失速度變化規(guī)則與經(jīng)典理論一致。

由圖5 可知，地層滲透率越高，裂縫擴(kuò)展階段濾失速度能達(dá)到的峰值越高；地層滲透率較低時(shí)，濾失速度的峰值也較低，濾失速度變化較小，裂縫動(dòng)態(tài)擴(kuò)展的影響也較小。

圖5 不同滲透率地層的濾失速度變化曲線

圖6 為不同裂縫擴(kuò)展速度下的濾失速度變化曲線，除了裂縫擴(kuò)展速度不同，其余參數(shù)均相同。由圖可知，裂縫擴(kuò)展越快，濾失速度到達(dá)峰值的時(shí)間越早，且濾失速度峰值也越高。濾失速度到達(dá)峰值對(duì)應(yīng)著裂縫擴(kuò)展到終點(diǎn)，即裂縫擴(kuò)展越快濾失速度達(dá)到峰值也越早；裂縫擴(kuò)展速度較慢時(shí)，不僅濾失速度達(dá)到峰值的時(shí)間晚，而且由于地層進(jìn)液更充分，峰值也會(huì)較??；當(dāng)裂縫擴(kuò)展速度極快時(shí)，濾失速度增長(zhǎng)期極短，濾失速度曲線與定長(zhǎng)裂縫的濾失速度曲線非常接近。因此，在脆性大、液體推進(jìn)快的地層，液體的初始濾失速度會(huì)更快，這種地層若需降低初始濾失速度，可以考慮增大液體黏度、加粉砂等措施。

4 結(jié)論

（1）裂縫動(dòng)態(tài)擴(kuò)展對(duì)濾失曲線有較大影響，裂縫擴(kuò)展階段的濾失速度會(huì)隨濾失時(shí)間的增加而增加。

（2）地層滲透率較大和裂縫擴(kuò)展速度較快時(shí)，裂縫動(dòng)態(tài)擴(kuò)展對(duì)濾失速度的影響更加明顯。

圖6 不同裂縫擴(kuò)展速度下的濾失速度變化曲線

（3）首次建立了考慮裂縫動(dòng)態(tài)擴(kuò)展的濾失二維模型，相對(duì)于定長(zhǎng)裂縫模型更接近物理實(shí)際，對(duì)認(rèn)清濾失過(guò)程，指導(dǎo)壓裂設(shè)計(jì)具有一定意義。