關(guān)注特例 有效轉(zhuǎn)化“特殊”與“一般”
——從2020高考數(shù)學(xué)若干題談起

廣東省深圳外國語學(xué)校龍華高中部(518110) 吳惠玲

特殊與一般的思想方法一直深受數(shù)學(xué)教育的重視.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確提出邏輯推理素養(yǎng)——六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一,邏輯推理包含從特殊到一般的推理以及從一般到特殊的推理,前者主要涉及歸納和類比形式,后者主要指演繹形式[1].其次,特殊與一般的思想方法屬于三大數(shù)學(xué)基本思想之一——推理的范疇.數(shù)學(xué)基本思想有助于數(shù)學(xué)自身的產(chǎn)生與發(fā)展,也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者應(yīng)當(dāng)具備的基本思維特征[2].再者,積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)也需要經(jīng)歷歸納推理和演繹推理的過程[3].因此,發(fā)展學(xué)生的特殊與一般思想,對積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng),尤其對邏輯推理的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力無疑具有重要意義.

一、特殊與一般思想是什么

特殊與一般的思想是包含特殊化和一般化,這兩個(gè)是相反的過程.波利亞提到,“特殊化是從對象的一個(gè)給定集合,轉(zhuǎn)而考慮那包含在這集合內(nèi)的較小的集合”,一般化則與之相反[4].無論是特殊化還是一般化,都涉及特殊情形的考慮.特殊化時(shí),從給定的大集合里,如何選擇其中特殊元素作為詳細(xì)考慮的對象;一般化時(shí),如何選擇特殊情形,作為分析一般情形的依據(jù)和基礎(chǔ).特殊情形的認(rèn)識(shí)角度是多樣的,例如,極端的、起主導(dǎo)作用的、有代表性的、可類比的[4].關(guān)于類比在特殊與一般思想的轉(zhuǎn)化,郭玉峰等結(jié)合數(shù)列大題進(jìn)行展開[5].本文將結(jié)合2020年的高考數(shù)學(xué)題,分析其他特殊情形,體會(huì)“特殊性”與“一般性”.

二、如何尋找有用的特殊情形

2020年全國卷和新高考卷也多次滲透了特殊與一般的思想方法.當(dāng)然,也可用其它的數(shù)學(xué)思想方法解決問題,本文重點(diǎn)是如何運(yùn)用特殊與一般思想分析高考題.2020年全國Ⅰ卷的第20 題解析幾何,第21 題函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合,全國ⅠⅠⅠ卷第17 題數(shù)列,新高考(山東)第21 題函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合等試題,它們的知識(shí)背景是學(xué)生熟悉的,也是常見的,但要在有限的答題時(shí)間內(nèi)完成,仍有一些難度.若能運(yùn)用特殊與一般的思想方法,可以增強(qiáng)題目的方向感,盡量減少未知的事物,看清題目的內(nèi)在聯(lián)系.可見,特殊與一般思想方法不是具體的數(shù)學(xué)知識(shí),而是對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)方式,特別的,當(dāng)遇見一個(gè)陌生的問題,能夠自主觀察分析特例的相關(guān)性質(zhì),并推廣到包含這特例的一類事物也具有同一性質(zhì),這是有效的途徑,符合學(xué)生認(rèn)知新事物的規(guī)律.

下面,將根據(jù)具體題目進(jìn)行分析.

(一)“一般化”的典型例題

例1(2020年高考全國Ⅰ卷理科第20 題)已知A、B分別為橢圓E:+y2=1(a ＞1)的左、右頂點(diǎn),G為E的上頂點(diǎn),=8,P為直線x=6 上的動(dòng)點(diǎn),PA與E的另一交點(diǎn)為C,PB與E的另一交點(diǎn)為D.

(1)求E方程;

(2)證明: 直線CD過定點(diǎn).

學(xué)生可能存在的困難證明直線CD過定點(diǎn),也即求出具體的定點(diǎn).這是求定點(diǎn)問題,學(xué)生平時(shí)肯定遇見過這類問題,按部就班的做法即可,設(shè)P(6,t),則點(diǎn)列出直線CD的方程化簡得到點(diǎn)斜式在考場上,直接求定點(diǎn)要求學(xué)生具備較強(qiáng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,探索某個(gè)未知問題的難度往往比證明某個(gè)已知結(jié)論的難度大.學(xué)生對于某個(gè)問題沒有全局的認(rèn)識(shí),容易盲目求解,倘若能夠事先對問題有大概了解,知道問題的一些內(nèi)在聯(lián)系,將有助于快而準(zhǔn)地解決問題.

圖1

教學(xué)思路解析運(yùn)用特殊與一般思想方法克服上述困難.由(1)知,橢圓E為+y2=1.第(2)問,從特殊情形出發(fā),先分析直線CD有何特點(diǎn),能否推理猜測定點(diǎn)是什么.直線CD是動(dòng)態(tài)的,隨點(diǎn)P的變化而變化.P為直線x=6 上的動(dòng)點(diǎn),這是P點(diǎn)的一般性,關(guān)鍵在于如何尋找特殊情形.在直線x=6 上取兩次P點(diǎn),為避免混淆,分別記為P1,P2.如圖1,情形①:P1(6,0),由于此時(shí)的直線CD為直線AB,所以直接用直線AB表示;情形②:P2為直線x=6 上除(6,0)外的任意一點(diǎn),設(shè)P2(6,t)(t/=0),作出直線CD.也即定點(diǎn)既在直線AB上,也在直線CD上,那么這兩條直線的交點(diǎn)就是定點(diǎn)F,也即定點(diǎn)在x軸上.寫出直線CD方程后,直接令y=0,求出

“特殊化”的思維過程不需要體現(xiàn)于解答的書寫中,但是學(xué)生必須明白,為什么直接令y=0.因此,在教學(xué)過程中,學(xué)生要經(jīng)歷尋找特殊情形的過程,這是非常關(guān)鍵的一步.那么,如何在諸多特殊情形中選擇呢? 有代表性的特殊情形可以更加厘清思路,看清問題的本質(zhì).例如,上述的特殊情形,若P1也是任意取的,那么由P1,P2分別得到的兩條直線CD,便于區(qū)分,記為C1D1,C2D2,畫草圖時(shí),其交點(diǎn)的位置準(zhǔn)確性不高,從而猜測定點(diǎn)的位置變得困難.當(dāng)然,特殊情形的尋找也非一日之功,日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中需多加體驗(yàn)與練習(xí).例2 也是運(yùn)用特殊到一般思想方法的典型例子.

例2已知橢圓C:=1(a ＞b ＞0)經(jīng)過點(diǎn)M(2,1),其離心率是直線l:y=+m(m ＜0)交橢圓C于A,B兩點(diǎn).

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(ⅠⅠ)求ΔMAB內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo).

學(xué)生可能存在的困難如何利用ΔMAB內(nèi)切圓圓心的相關(guān)幾何性質(zhì),并代數(shù)化? 三角形內(nèi)切圓圓心是內(nèi)心,幾何性質(zhì)有: 三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn),內(nèi)心到三邊的距離相等.常規(guī)的做法是,設(shè)內(nèi)心坐標(biāo)為(x0,y0),求出三邊所在直線的方程,利用點(diǎn)到直線的距離公式表示d1,d2,d3,其中d1,d2,d3分別為(x0,y0)到直線MA,MB,AB的距離.再根據(jù)d1=d2=d3,求解x0.這種做法理論可行,但實(shí)際操作困難.

思路解析第(ⅠⅠ)問,運(yùn)用特殊與一般的思想方法,若能猜出內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo),那么證明橫坐標(biāo)的數(shù)值比直接求橫坐標(biāo)簡單,學(xué)生有方向和目的,而不是盲目運(yùn)算.如何猜測內(nèi)心的橫坐標(biāo)? 這是關(guān)鍵! ΔMAB內(nèi)心的動(dòng)態(tài)變化來源于直線l(如圖2),特殊情形很多,例如l過橢圓的右頂點(diǎn),這是最有利于猜測內(nèi)心橫坐標(biāo)的特殊情形嗎? 解答過程發(fā)現(xiàn),仍有較大的運(yùn)算量.

不妨考慮直線l的另一種特殊,即極端情形: 與橢圓相切,如圖3.此時(shí)l:y=?2,切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,ΔMAB退化成一條線段,可猜想ΔMAB內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為2,即∠AMB的角平分線所在的直線為x=2,與x軸垂直,轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言,證明kAM+kBM=0.

圖2

圖3

例1 和例2 都體現(xiàn)一般化的思維過程,分別觀察分析有代表性和極端的特殊情形.雖然尋找特殊情形的過程以及猜想的過程不需要體現(xiàn)于解答過程中,但對于解答過程的思路有明顯的導(dǎo)向作用.

例3(2020年高考全國ⅠⅠⅠ卷理科第17 題)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=3an ?4n.

(1)計(jì)算a2,a3,猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明;

(2)求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn.

題目解析此題明顯體現(xiàn)了特殊與一般的思想方法,觀察分析a1,a2,a3,··· ,的值,猜想an.由于a1=3,a2=5,a3=7,特點(diǎn)非常明顯,可以快速猜測an=2n+1.

在平常訓(xùn)練中,可以對題目的問法稍加改動(dòng),第(1)問改為: 求an.學(xué)生發(fā)散思維,可以遞推公式變形為an+1?2(n+1)?1=3(an ?2n ?1),得到an?2n?1=0.這要求學(xué)生有較高的等式變形能力.另一種較為迅速的做法即運(yùn)用特殊與一般思想,歸納推理得到an.教師可以和學(xué)生探索多種方法、看問題的多種視角,比較不同思想方法的適用性.

(二)“特殊化”的典型例題

例4(2020年高考全國Ⅰ卷理科第21 題)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2?x.

(1)當(dāng)a=1 時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)x≥0 時(shí),f(x)≥+1,求a的取值范圍.

題目解析第(2)問的函數(shù)構(gòu)造有多種方法,例如,1○g(x)=ex+ax2?x ??1,從而當(dāng)x≥0 時(shí),g(x)≥0 恒成立; 2○g(x)=當(dāng)x≥0時(shí),g(x)≤1 恒成立; 3○g(x)=當(dāng)x≥0 時(shí),g(x)≥a恒成立.情形①可以運(yùn)用特殊與一般的思想,情形②需運(yùn)用分類思想,情形③對g′(x)因式分解的要求較高.

現(xiàn)詳細(xì)探討情形①.首先估計(jì)a的取值范圍,有

解(1)略.(2)依題意,得f(2)≥5,有a≥

令g(x)=ex+ax2?x ??1,(x∈[0,+∞)).以下證明,當(dāng)a≥時(shí),有g(shù)(x)≥ 0 成立.顯然g′(x)=ex+2ax??1,由于ex≥1+x+所以

例5(2020年高考山東卷理科第21 題)已知函數(shù)f(x)=aex?1?lnx+lna.

(1)當(dāng)a=e 時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;

(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

解(1)略.(2)因?yàn)閒(x)≥1,所以f(1)=a+lna≥1.設(shè)g(x)=x+ lnx,g′(x)=1 +＞0,g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又g(1)=1,則當(dāng)0＜x ＜1 時(shí),g(x)≤1;x≥1 時(shí),g(x)≥1,因此,若f(x)≥1,一定有a≥1,又f′(x)=aex?1?易知f′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,因?yàn)?a ?1)＜0,所以存在唯一x0＞0,使得f′(x0)=aex0?1?=0,且當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),f′(x)＜0;當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),f′(x)＞0,且有l(wèi)nx0=?lna ?x0+1,因此

所以f(x)≥1 恒成立,從而a∈[1,+∞).

例4 和例5 均是“特殊化”過程的體現(xiàn).解題過程中,對a的范圍一無所知,可以取幾個(gè)較為簡單的特殊情形,快速縮小a的取值范圍,減少分類討論;同時(shí)借助縮小的范圍,推理出正確的取值范圍.

三、教學(xué)建議——關(guān)注特例,實(shí)現(xiàn)特殊化和一般化

從2020年高考數(shù)學(xué)若干題的解答思路談起,分析如何運(yùn)用特殊與一般思想,體現(xiàn)選擇特例的重要作用,實(shí)現(xiàn)關(guān)鍵的“一般化”和有效的“特殊化”.為此,呼應(yīng)高考數(shù)學(xué)落實(shí)數(shù)學(xué)思想方法,以下兩方面值得關(guān)注:

(一)數(shù)學(xué)教學(xué)中,應(yīng)有目的、有計(jì)劃滲透特殊與一般思想

特殊與一般思想不是具體的數(shù)學(xué)知識(shí),而是承載于數(shù)學(xué)內(nèi)容中,對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí),最終目的是使學(xué)生獲得簡化問題或解決未知的能力.現(xiàn)今,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的研究與落實(shí)進(jìn)行得如火如荼,數(shù)學(xué)最重要的價(jià)值是數(shù)學(xué)最終能培養(yǎng)和提高普通群眾在社會(huì)中的素質(zhì)[6].因此,數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中應(yīng)有目的地滲透特殊與一般思想,讓其成為解決新問題、適應(yīng)新情境的一種思想和工具,而不是干巴巴的知識(shí)點(diǎn).

在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中,也應(yīng)當(dāng)計(jì)劃地滲透特殊與一般思想,而不是等到高三總復(fù)習(xí)時(shí)再提及可以用“特殊化”和“一般化”的方式解題.因?yàn)樘厥馀c一般思想的構(gòu)建經(jīng)歷潛意識(shí)、明朗和形成、深化三個(gè)階段.[7]這是從接觸特殊與一般思想,到內(nèi)化運(yùn)用的過程.本文只結(jié)合了解析幾何、數(shù)列和導(dǎo)數(shù)問題進(jìn)行分析,在其它數(shù)學(xué)知識(shí)上也可以滲透,例如簡單幾何體的體積.棱臺(tái)的體積公式是其中S′,S分別為棱臺(tái)的上、下底面面積,h為棱臺(tái)的高.對其進(jìn)行“特殊化”處理,棱臺(tái)上底面面積為0 時(shí),棱臺(tái)退化成棱錐,也即當(dāng)棱臺(tái)上、下底面面積相等時(shí),棱臺(tái)變成棱柱,也即V=Sh.這是學(xué)生非常熟悉的棱錐和棱柱的體積公式.同樣的,圓臺(tái)的體積公式也可以“特殊化”處理.“特殊化”不但能夠讓學(xué)生聯(lián)系已學(xué)知識(shí),還能對新知識(shí)加深印象.

此外,教學(xué)中一般函數(shù)與指對冪函數(shù)、周期函數(shù)與任意三角函數(shù)、一維與多維、實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)等相關(guān)知識(shí)也可滲透特殊與一般思想,建立新舊知識(shí)的聯(lián)系,構(gòu)建良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu),豐富學(xué)生對特殊與一般的體會(huì)與理解.

(二)引導(dǎo)學(xué)生尋找合適的特例,有效實(shí)現(xiàn)“特殊”與“一般”的轉(zhuǎn)化

特例的尋找不是隨意的,需要經(jīng)過思考和選擇.無論是特殊化還是一般化,都面臨著特例的選擇.合適的特例,讓特殊化的意義更加明顯,能讓一般化的方向更為準(zhǔn)確.本文結(jié)合具體的例題,分析特例的一些情形,例如有代表性的、極端的、簡單的等等.無論是何種特例,目的都是讓問題的本質(zhì)更加清晰,讓問題的解決變得更加簡單.特例選擇如何才算合適,沒有固定的說法,依賴于學(xué)習(xí)者自身的學(xué)習(xí)和認(rèn)知經(jīng)驗(yàn).因此,需要多次練習(xí),多觀察研究對象的特例.

總之,數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重特殊與一般的思想方法,這對于認(rèn)識(shí)新情境新問題具有重要作用,培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力.特殊化涉及一般情形下如何找到有用的特殊情形,一般化涉及如何尋找合適的特殊情形才有利于推廣到一般,二者都強(qiáng)調(diào)特殊情形的作用,因此尋找特殊情形也是教師和學(xué)生共同探索和體會(huì)的.