帶電粒子在電場中運(yùn)動(dòng)的三個(gè)處理方法

◇ 楊宗禮

帶電粒子在電場中的運(yùn)動(dòng)問題涉及較多的概念和規(guī)律，是一個(gè)綜合性很強(qiáng)的考點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).帶電粒子在電場中的運(yùn)動(dòng)對(duì)空間想象能力、分析綜合能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問題的能力有較高的要求，是高考考查考生多項(xiàng)能力極好的載體.分析近幾年的高考物理試題可知，帶電粒子在電場中的運(yùn)動(dòng)是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，每年高考都會(huì)考查到，復(fù)習(xí)時(shí)要對(duì)這部分知識(shí)格外重視，同時(shí)要掌握好帶電粒子在電場中運(yùn)動(dòng)的處理方法.

1 用運(yùn)動(dòng)的分解思想處理

分解思想是高中物理有效處理復(fù)雜運(yùn)動(dòng)問題的重要手段，在處理帶電粒子在勻強(qiáng)電場或電場與重力場組成的復(fù)合場中做曲線運(yùn)動(dòng)的問題時(shí)，運(yùn)動(dòng)的合成與分解法比較常見，一般將粒子比較復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)分解為沿電場方向和垂直于電場方向的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)來求解，緊抓運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性特征，巧借分運(yùn)動(dòng)化難為易，化繁為簡.

例1如圖1所示，一質(zhì)量為m、電荷量為q(q＞0)的液滴，在電場強(qiáng)度大小為、方向水平向右的勻強(qiáng)電場中運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡在豎直平面內(nèi).A、B為其運(yùn)動(dòng)軌跡上的兩點(diǎn)，已知該液滴在A點(diǎn)的速度大小為v0，方向與豎直方向的夾角為30°；它運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)速度方向與豎直方向的夾角為60°.求A、B兩點(diǎn)間的電勢差.

圖1

本題液滴在水平方向受電場力作用，豎直方向受重力作用，這兩個(gè)力均為恒力，液滴做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，因此可以用正交分解法處理.先將復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)分解為兩個(gè)相互垂直的直線運(yùn)動(dòng)，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)合成的觀點(diǎn)去求復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的有關(guān)物理量.

【高考真題賞析1】(2019年全國卷Ⅲ)空間存在一方向豎直向下的勻強(qiáng)電場，O、P是電場中的兩點(diǎn).從O點(diǎn)沿水平方向以不同速度先后發(fā)射兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球A、B.A不帶電，B的電荷量為q(q＞0).A從O點(diǎn)發(fā)射時(shí)的速度大小為v0，到達(dá)P點(diǎn)所用時(shí)間為t；B從O點(diǎn)到達(dá)P點(diǎn)所用時(shí)間為.重力加速度為g，求：

(1)電場強(qiáng)度的大??；

(2)B運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能.

(1)設(shè)電場強(qiáng)度的大小為E，小球B運(yùn)動(dòng)的加速度為a.根據(jù)牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和題給條件，有

(2)設(shè)B從O點(diǎn)發(fā)射時(shí)的速度為v1，到達(dá)P點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為Ek，O、P兩點(diǎn)的高度差為h，根據(jù)動(dòng)能定理

本題中不帶電小球做平拋運(yùn)動(dòng)，帶電小球做類平拋運(yùn)動(dòng).兩種運(yùn)動(dòng)均屬于勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，處理方法均為分解法，均可分解為沿初速度方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和沿合外力方向且初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng).

2 用能量觀點(diǎn)處理

由于電場力做功與粒子在電場中運(yùn)動(dòng)的路徑無關(guān)，只取決于始、末位置的電勢差，即WAB＝qUAB，因此用功能關(guān)系法處理粒子在勻強(qiáng)電場或非勻強(qiáng)電場中的直線運(yùn)動(dòng)或曲線運(yùn)動(dòng)問題都是有效的.

例2如圖2所示，在O點(diǎn)放置一個(gè)正電荷，在過O點(diǎn)的豎直平面內(nèi)的A點(diǎn)，自由釋放一個(gè)帶正電的小球，小球的質(zhì)量為m、電荷量為q.小球落下的軌跡如圖中虛線所示，它與以O(shè)為圓心、R為半徑的圓(圖中實(shí)線表示)相交于B、C兩點(diǎn)，O、C在同一水平線上，∠BOC＝30°，A距離OC的豎直高度為h.若小球通過B點(diǎn)的速度為v，試求：

圖2

(1)小球通過C點(diǎn)的速度大小.

(2)小球由A到C的過程中電勢能的增加量.

(1)因B、C兩點(diǎn)電勢相等，小球由B到C只有重力做功，由動(dòng)能定理得

(2)由A到C應(yīng)用動(dòng)能定理得

由電勢能變化與電場力做功的關(guān)系得

1)對(duì)于類似本題受變力作用的帶電體的運(yùn)動(dòng)，必須借助能量觀點(diǎn)來處理.即使都是恒力作用的問題，用能量觀點(diǎn)處理通常也更簡捷.

2)電場中功能關(guān)系問題的分析方法：

a)受力情況分析和運(yùn)動(dòng)情況分析.

b)分析各力做功的情況，做正功還是負(fù)功.

c)分清有多少種能量參與，哪種能量增加，哪種減少.

d)選擇動(dòng)能定理或能量守恒定律列出方程式.

3 運(yùn)用等效思想處理

等效類比法是物理學(xué)中的常用方法.用等效類比的方法，可將復(fù)雜的物理情境轉(zhuǎn)化為簡單、熟悉的情境.在勻強(qiáng)電場中的帶電體除受到電場力外，一般還會(huì)受到重力等其他外力的作用，這類問題應(yīng)用等效重力法，即將重力和電場力的合力看成一等效重力，然后運(yùn)用類比法，通常都能較簡捷地解決問題.運(yùn)用等效的觀點(diǎn)對(duì)物理過程進(jìn)行分析，不僅有利于我們對(duì)物理問題的解答，還有助于知識(shí)的靈活運(yùn)用，對(duì)促進(jìn)知識(shí)和能力的遷移、思維的拓展，都有很大的幫助.

例3如圖3所示，空間有一水平向右的勻強(qiáng)電場，半徑為r的絕緣光滑圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi)，O是圓心，AB是豎直方向的直徑.一質(zhì)量為m、電荷量為＋q(q＞0)的小球套在圓環(huán)上，并靜止在P點(diǎn)，OP與豎直方向的夾角θ＝37°.不計(jì)空氣阻力.已知重力加速度為g，cos 37°＝0.8.若要使小球從P點(diǎn)出發(fā)能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，求小球初速度的大小應(yīng)滿足的條件.

圖3

當(dāng)小球靜止在P點(diǎn)時(shí)，小球的受力情況如圖4所示，先求出重力與電場力的合力F，將這個(gè)合力視為一個(gè)“等效重力”，

圖4

1)帶電粒子在勻強(qiáng)電場和重力場組成的復(fù)合場中做圓周運(yùn)動(dòng)的問題，是高中物理教學(xué)中一類重要而典型的題型.對(duì)于這類問題，若采用常規(guī)方法求解，過程復(fù)雜，運(yùn)算量大.若采用“等效法”求解，則能避開復(fù)雜的運(yùn)算，過程比較簡捷.

2)把握三點(diǎn)，正確解答該類問題.

a)把電場力和重力合成一個(gè)等效力，稱為等效重力，將視為“等效重力加速度”.

b)等效重力的反向延長線與圓軌跡的交點(diǎn)為帶電體在等效重力場中運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn).等效最“高”點(diǎn)與最“低”點(diǎn)的尋找：確定重力和電場力的合力的大小和方向，然后過圓周圓心作等效重力作用線的反向延長線，反向延長線交圓周上的那個(gè)最高點(diǎn)即為圓周的等效最“高”點(diǎn)，延長線交圓周的那個(gè)最低點(diǎn)為等效最“低”點(diǎn).

c)將物體在重力場中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律遷移到等效重力場中分析求解.

4 三法并用

解答一道復(fù)雜的帶電粒子在電場中運(yùn)動(dòng)的習(xí)題或高考題目，往往三種方法要同時(shí)運(yùn)用.

例4如圖5所示，半徑R＝0.8 m的光滑絕緣導(dǎo)軌固定于豎直平面內(nèi)，加上某一方向的勻強(qiáng)電場時(shí)，帶正電的小球沿軌道內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng).圓心O與A點(diǎn)的連線與豎直方向成一角度θ，在A點(diǎn)時(shí)小球?qū)壍赖膲毫N＝120 N，此時(shí)小球的動(dòng)能最大.若小球的最大動(dòng)能比最小動(dòng)能多32 J，且小球能夠到達(dá)軌道上的任意一點(diǎn)(不計(jì)空氣阻力).則：

圖5

(1)小球的最小動(dòng)能是多少?小球受到重力和電場力的合力是多少?

(2)現(xiàn)小球在動(dòng)能最小的位置突然撤去軌道，并保持其他量都不變，若小球在0.04 s后的動(dòng)能與它在A點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能相等，求小球的質(zhì)量.

(1)小球在電場和重力場的復(fù)合場中運(yùn)動(dòng)，因?yàn)樾∏蛟贏點(diǎn)具有最大動(dòng)能，所以復(fù)合場的方向由O指向A，在AO延長線與圓的交點(diǎn)B處小球具有最小動(dòng)能EkB.設(shè)小球在復(fù)合場中所受的合力為F，則有

帶電小球由A運(yùn)動(dòng)到B的過程中，重力和電場力的合力做功，根據(jù)動(dòng)能定理有－F·2R＝EkBEkA＝－32 J.由此可得F＝20 N，EkB＝8 J，即小球的最小動(dòng)能為8 J，重力和電場力的合力為20 N.

(2)帶電小球在B處時(shí)撤去軌道后，小球做類平拋運(yùn)動(dòng)，即在BA方向上做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，在垂直于BA方向上做勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)小球的質(zhì)量為m，則

1)第(1)問中，帶電小球在勻強(qiáng)電場和重力場組成的復(fù)合場中做圓周運(yùn)動(dòng)，將重力和電場力的合力看成等效重力，根據(jù)小球的動(dòng)能最大確定等效最低點(diǎn)的位置，合力的方向確定等效最高點(diǎn)的位置，然后根據(jù)動(dòng)能定理求解.在第(2)問中用正交分解法處理，帶電小球在復(fù)合場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，帶電小球在B處時(shí)撤去軌道后，在BA方向上做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，在垂直于BA方向上做勻速運(yùn)動(dòng).

2)本題綜合運(yùn)用了等效重力法、正交分解法、動(dòng)能定理求解，避開了復(fù)雜的運(yùn)算，較簡捷地解決了問題.

【高考真題賞析2】(2020年全國卷Ⅰ)在一柱形區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)電場，柱的橫截面積是以O(shè)為圓心，半徑為R的圓，AB為圓的直徑，如圖6所示.質(zhì)量為m，電荷量為q(q＞0)的帶電粒子在紙面內(nèi)自A點(diǎn)先后以不同的速度進(jìn)入電場，速度方向與電場的方向垂直.已知?jiǎng)傔M(jìn)入電場時(shí)速度為零的粒子，自圓周上的C點(diǎn)以速率v0穿出電場，AC與AB的夾角θ＝60°.運(yùn)動(dòng)中粒子僅受電場力作用.

圖6

(1)求電場強(qiáng)度的大?。?/p>

(2)為使粒子穿過電場后的動(dòng)能增量最大，該粒子進(jìn)入電場時(shí)的速度應(yīng)為多大?

(3)為使粒子穿過電場前后動(dòng)量變化量的大小為mv0，該粒子進(jìn)入電場時(shí)的速度應(yīng)為多大?

(1)由題意知在A點(diǎn)速度為零的粒子會(huì)沿著電場線方向運(yùn)動(dòng)，由于q＞0，故電場線由A指向C，根據(jù)幾何關(guān)系可知xAC＝R.所以根據(jù)動(dòng)能定理有

(2)根據(jù)題意可知要使粒子動(dòng)能增量最大，則沿電場線方向移動(dòng)距離最多，做AC垂線并且與圓相切，切點(diǎn)為D，即粒子要從D點(diǎn)射出時(shí)沿電場線方向移動(dòng)距離最多，粒子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)幾何關(guān)系有x＝Rsin 60°＝v1t，而電場力提供加速度qE＝ma.

圖7

(3)因?yàn)榱Ｗ釉陔妶鲋凶鲱惼綊佭\(yùn)動(dòng)，粒子穿過電場前后動(dòng)量變化量大小為mv0，即在電場方向上速度變化為v0，過C點(diǎn)作AC的垂線會(huì)與圓周交于B點(diǎn)，故由題意可知粒子會(huì)從C點(diǎn)或B點(diǎn)射出.

當(dāng)粒子從C點(diǎn)射出時(shí)初速度為0；當(dāng)從B點(diǎn)射出時(shí)由幾何關(guān)系有.電場力提供加速度有qE＝ma.

1)第(1)問中根據(jù)動(dòng)力學(xué)條件確定由靜止開始運(yùn)動(dòng)的帶電粒子僅在恒定電場力作用下一定做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，AC就是運(yùn)動(dòng)路徑，應(yīng)用動(dòng)能定理即可求得電場強(qiáng)度的大小.第(2)問中使粒子動(dòng)能增量最大，電場力對(duì)帶電粒子做功最多，則在電場力方向的投影距離最大，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解.第(3)問中要用分解思想處理粒子穿過電場前后動(dòng)量變化量，帶電粒子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，初速度方向上動(dòng)量不變，粒子穿過電場前后動(dòng)量變化量大小為mv0，即在電場方向上速度變化為v0，過C點(diǎn)作AC的垂線會(huì)與圓周交于B點(diǎn)，故由題意可知粒子會(huì)從C點(diǎn)或B點(diǎn)射出.

2)本題作為壓軸題，計(jì)算量并不大，但對(duì)學(xué)生物理思維的深刻性要求較高，著重考查學(xué)生對(duì)規(guī)律的靈活運(yùn)用，有利于學(xué)生終身發(fā)展的關(guān)鍵能力的培養(yǎng)，著力提升學(xué)生物理學(xué)科核心素養(yǎng).